Чем отличается тождество от равенства

[wrest]

Поясните пожалуйста различие терминов "тождество" и "равенство".
В чем отличие между "а равно b" и "а тождественно равно b".

В википедии написано как-то непонятно, с одной стороны, тождество это то что выполняется всегда, а равенство не всегда, а с другой, там сразу же написано что и тождество может выполняться не всегда.

Например $5^2=25$ это просто тождество (и равенство?)
А $a^2/a=a$ это тождество, но справедливое не всех $a$
Является ли $a^2/a=a$ также и равенством?

Еще я так понял, что равенство (например в алгебре), это какое угодно выражение, которое содержит знак "равно", то есть например выражение $x+1=x-1$ является равенством, но не является тождеством, т.к. никогда не выполняется.

[warlock66613]

Понятием "тождество" в интересующем вас смысле оперируют чаще в приложениях (в той же физике), а не собственно в математике. И, в принципе, это нестрогий термин (в метаматематике есть строгое понятие "тождество", но это несколько иное).

Когда про некоторое алгебраическое равенство говорят, что "это тождество", то хотят подчеркнуть, что оно справедливо при любых значениях входящих в него переменных. Что подразумевается под "любыми" значениями надо выяснять из контекста, но это обычно очевидно.

Математики же ожидаемо предпочитают оперировать не понятием "тождество", противопоставленным просто "равенству", а одним понятием "равенство", но применяя его к разным объектам. Так, вместо того, чтобы сказать, что $\sin^2 x = 1-\cos^2x$ - это тождество, математик скорее будет говорить о равенстве двух функций: $f_1(x)=\sin^2 x$ и $f_2(x)=1 - \cos^2 x$. А в случае простого равенства (такого как $1+x=1-x$) речь будет идти о равенстве значений функций при каком-то значении аргумента.

Вообще, слово "тождественно" (в выражениях "тождественно равно", "тождественно выполянется") используется, чтобы подчеркнуть силу, общность утверждения, независимость его от какого-то подразумеваемого условия - в таком смысле это слово нередко используется и при изложении собственно математических, неприкладных результатов.

А слово "тождественность" вообще по сути синоним слова "равенство". Так, в примере выше можно было сказать, что функции тождественны, что означало бы ровно то же самое.

[Munin]

Я бы сказал, что $1+x=x-1$ является уравнением, которое не имеет решений (корней), и поэтому равенство никогда не выполняется.
А вот $1+x=x+1$ тоже можно рассматривать как уравнение, но его решениями являются все точки, в которых оно имеет смысл (вся область допустимых значений). Поэтому оно может быть названо тождеством.
Обычно учеников сначала знакомят с уравнениями, у которых корень - одна точка, или несколько (квадратное уравнение), и ставится задача найти эти корни. Но это всего лишь частный случай. Вот примеры уравнений, у которых бесконечно много корней, но которые не являются тождествами:

$\sin x=1/2;$
$x=|x|;$
$\sin x=|\sin x|$ (в двух последних примерах корни образуют даже непрерывные множества).

С другой стороны, слово "тождество" может звучать в связи с темой тождественных преобразований: что можно делать с уравнением, пока мы его решаем или преобразуем. В этом смысле замена $a^2/a\to a$ не является тождественной - надо учитывать область допустимых значений, иначе может появиться лишнее решение $a=0$ (а может и не появиться). И замена $a\to a^2/a$ тоже не тождественная - может потеряться решение $a=0.$

[Sonic86]

wrest в сообщении #1151280 писал(а):

Поясните пожалуйста различие терминов "тождество" и "равенство".
В чем отличие между "а равно b" и "а тождественно равно b".

ИМХО, правильная ориентация здесь на кванторы - "существует" и "для любого".
Предложения вида $A(x)=B(x)$ для того, чтобы быть высказываниями, должны быть обвешаны кванторами (поскольку иначе их истинность зависит от параметров $x$). В простейшем случае:
1. $(\forall x\in D) A(x)=B(x)$ - для всех $x$ из $D$ верно, что $A(x)=B(x)$
2. $(\exists x\in D) A(x)=B(x)$ - существует $x$ из $D$ такой, что $A(x)=B(x)$
Соотношения типа 1 лучше понимать как уточнение понятия тождества, соотношения типа 2 - как уточнение понятия соотношения типа равенства. Если нечто является тождеством, то из него следует, что аналогичное высказывание, получаемое заменой квантора, является равенством.
Если параметров нет, то высказывание вида $A=B$ тоже является и тождеством и равенством.
А вот когда параметров много и кванторы разные, тогда эта терминология вообще плохо работает Поэтому лучше ориентироваться именно на кванторы. Сразу отпадает бессмысленное отношение "тождественное равенство" (м.б. и не совсем бессмысленное, но явно синтаксические, лежащее за пределами понимания равенства как диагонали декартова квадрата).
Советую просто что-нибудь почитать по логике типа Игошина - там все просто, зато потом таких вопросов не возникает и проблем с терминологией, не надо использовать кустарное обращение к примерам высказываний и т.п.
Следует также обратить внимание на область действия $D$. Обычно о ней вообще не говорят, из-за после этого возможна наркомания типа:

wrest в сообщении #1151280 писал(а):

тождество может выполняться не всегда.

Теперь с помощью этого попробуйте ответить на Ваши вопросы самостоятельно Если попробуете, то я помогу.

[atlakatl]

Munin в сообщении #1151309 писал(а):

Я бы сказал, что $1+x=1-x$ является уравнением, которое не имеет решений (корней), и поэтому равенство никогда не выполняется.

$x=0$ чем не устраивает?

[Dmitriy40]

wrest
Короче говоря тождество - равенство, выполняющееся при любых значениях аргумента(ов) и одинаковых областях допустимых значений этого аргумента(ов) слева и справа от знака "=".
Равенство же не обязано соответствовать этим двум условиям - может или ОДЗ слева и справа разные или не при любых значениях аргументов равенство выполняется (может даже ни при одном не выполняться).
Соответственно, тождественные преобразования - равенства, не изменяющие ОДЗ.
Равенство, включающее неизвестные (аргументы) - называется уравнением.

Sonic86 в сообщении #1151313 писал(а):

2. $(\exists x\in D) A(x)=B(x)$ - существует $x$ из $D$ такой, что $A(x)=B(x)$

Сюда не входит равенство (уравнение) $x-1=x+1$, что есть плохо. Т.е. существование $x \in D$ не является обязательным условием. Скорее обязательным можно считать противоположное, не для всех $x$ выполняется равенство или слева и справа разные $D$ (в ином случае получается тождество).

[Sonic86]

Dmitriy40 в сообщении #1151328 писал(а):

Сюда не входит равенство (уравнение) $x-1=x+1$, что есть плохо.

Мое дело предложить Вам нормальный инструмент, Ваше дело - его использовать или продолжить использовать неопределенные мутные понятия.
Можно, конечно, здесь наткнуться на использование понятия "задача", но это - уже совсем другой вопрос...

[wrest]

Sonic86 в сообщении #1151313 писал(а):

Теперь с помощью этого попробуйте ответить на Ваши вопросы самостоятельно Если попробуете, то я помогу.

Я только вижу, что "тождество" более сильное выражение чем "равенство", но и то и другое может быть справедливо (выполняться) или нет в зависимости от каких-то условий, поэтому если я читаю "a равно b" и "а тождественно равно b", я не вижу разницы и думаю что "а и b равны друг другу всегда".

Замечание тов. Munin насчет уравнения понятно, об уравнении говорят когда заранее неизвестно для каких значений переменных оно выполняется (есть ли корни), и именно нахождение всех или некоторых этих условий (или определение что таких условий не существует) представляет цель записи уравнения.

Если перейти к физике, то запись например закона Ньютона $F=ma$ это уравнение, равенство или тождество? Обычно говорят, что это уравнение. Так говорят потому, что не для любых троек $F$, $m$ и $a$ оно выполняется?

Также, хотел бы спросить про отличие знака равенства $=$ от знака тождества $\equiv$. Как я понял тов. Sonic86, знак тождества на знак равенства можно заменить всегда без потери истинности, а вот наоборот заменить можно только окружив выражение кванторами.

В "математике" вопрос задал поскольку вроде как это ближе к математике.
Хотя источник вопроса был такой, что иногда попадаются сочетания слов типа "при таких условиях этот объект такой-то тождественно обращается в нуль" -- а ведь можно просто сказать "при таких условиях этот объект обращается в нуль", значит какая-то разница имеется, а какая -- непонятно.

Пара примеров употребления.
Фихтенгольц в известном трехтомнике (просто это выловилось гуглем, а не то что вот именно Фихтенгольц или матрицы Якоби интересует) пишет

Цитата:

... Назовем рангом матрицы Якоби (в области D) наивысший из порядков определителей, образованных из элементов этой матрицы и не обращающихся в нуль тождественно в D.

Зачем тут слово "тождественно"? Правильно ли я понимаю, что речь в этом коротком предложении, если не читать что написано до и после него, идет о том, что для каждого элемента матрицы $f_i_j(x)$ существует хотя бы один такой $x_i_j$ при котором этот элемент матрицы не равен нулю (если я правильно понимаю теги, то как-то так: $\forall f_i_j(x),\exists x_i_j\in D f_i_j(x_i_j)>0$ ).

Dmitriy40 в сообщении #1151328 писал(а):

Равенство, включающее неизвестные (аргументы) - называется уравнением.

Там же, через пару страниц, Фихтенгольц пишет

Цитата:

Продифференцируем по $x_\mu_+_1$ уравнения (24), считая $x_1, ...,x_\mu$ функциями (25) от $y_1,...,y_\mu,x_\mu_+_1,...,x_n;$ мы получим равенства:
...
линейные относительно...

То есть, дифференцируя уравнения, мы получаем уже не уравнения, а равенства!

-- 15.09.2016, 15:52 --

Dmitriy40 в сообщении #1151328 писал(а):

Короче говоря тождество - равенство, выполняющееся при любых значениях аргумента(ов) и одинаковых областях допустимых значений этого аргумента(ов) слева и справа от знака "=".

Да, так понятней. Соответственно, "тождественно обращается в нуль в ОДЗ" -- значит "равно нулю везде в ОДЗ".

[warlock66613]

wrest в сообщении #1151348 писал(а):

запись например закона Ньютона $F=ma$ это уравнение, равенство или тождество?

Это равенство, которое можно рассматривать как уравнение (а можно и не рассматривать). И я не могу придумать причины называть это тождеством.

[Munin]

wrest в сообщении #1151348 писал(а):

Замечание тов. Munin насчет уравнения понятно, об уравнении говорят когда заранее неизвестно для каких значений переменных оно выполняется (есть ли корни), и именно нахождение всех или некоторых этих условий (или определение что таких условий не существует) представляет цель записи уравнения.

У вас тут есть некоторая путаница, которую я хотел бы по возможности исправить.

Вы под "уравнением" понимаете задачу. Которая поставлена, и которую нужно решить. А это не всегда так. В математике под "уравнением" очень часто понимается объект. Он лежит на столе, никого не трогает, его не обязательно надо решать. Его можно решить. С ним можно ещё что-то сделать. Проанализировать. Включить в систему с другим уравнением. Преобразовать. Мало ли. При этом, задачи тоже могут быть поставлены, но другие.

Это довольно частая ситуация в математике, когда какую-то вещь начинают рассматривать не как задачу, а как объект, и исследовать уже по-разному. При этом, "ответы на задачу" могут быть известными и включёнными в неё. Или нет. Тогда отдельно можно искать "ответы", а отдельно можно исследовать объект, не занимаясь таким поиском.

Непонимание такого "исследовательского" взгляда часто тормозит учеников, и иногда бесит преподавателей. Например, есть расхожее преподавательское утверждение, что "решить интеграл невозможно". Его можно вычислить. А можно и не вычислять. Интеграл сам по себе - это объект. А если ученику задают что-то, то его задача звучит как "вычислить интеграл", а не просто "решить интеграл".

Ещё очень школьный пример: дробь. Мы приходим к дробям, занимаясь делением чисел. Но потом оказывается, что дроби - это самостоятельные объекты. Какая-нибудь дробь $\tfrac{2}{3}$ не требует, чтобы я занимался делением $2$ на $3.$ Она просто стоит на своём месте на числовой прямой, между нулём и единицей, и никуда не торопится. С ней можно сделать что-то другое, например, возвести в степень. Можно рассмотреть всё множество дробей (включая целые числа, которые, разумеется, тоже дроби), и обсудить его свойства.

wrest в сообщении #1151348 писал(а):

Также, хотел бы спросить про отличие знака равенства $=$ от знака тождества $\equiv$.

Знак $\equiv$ используют кто во что горазд. Тут не сложилось стандарта.

wrest в сообщении #1151348 писал(а):

просто это выловилось гуглем, а не то что вот именно Фихтенгольц или матрицы Якоби интересует

Хорошо бы вы привели примеры из вашей практики. Потому что надо сориентироваться хотя бы в том, на каком уровне вы находитесь, и для какого уровня излагать. (7 класс, 11 класс, 1 курс, 3 курс техвуза, 5 курс мехмата - предъявляют совершенно разные требования.)

[arseniiv]

Munin в сообщении #1151393 писал(а):

Знак $\equiv$ используют кто во что горазд.

Ну, кроме сравнений по модулю, традиционно записываемых с $\equiv$.

[wrest]

Munin в сообщении #1151393 писал(а):

Потому что надо сориентироваться хотя бы в том, на каком уровне вы находитесь, и для какого уровня излагать. (7 класс, 11 класс, 1 курс, 3 курс техвуза, 5 курс мехмата - предъявляют совершенно разные требования.)

Мне страшно вам отвечать на этот вопрос. Не 5 курс мехмата точно, остальное подойдет :)
Ближе всего 3 курс техвуза, но чувствую что вы ответите, что не надо было прогуливать и должен и так это знать. В техвузе преподавали классический анализ (дифференциальное и интегральное исчисление, включая функции комплексных переменных) если так можно выразиться, полностью, а функциональный анализ слегка.

Фихтенгольц, к слову, был моим любимым учебником по матану. "Официальным" был, кажется, Кудрявцев, но в студенческой среде бытовало твердое убеждение что Фихтенгольц лучше, ну и мне так казалось тоже.

[Munin]

(Оффтоп)

wrest в сообщении #1151413 писал(а):

Мне страшно вам отвечать на этот вопрос.

Ну почему? Не надо стесняться своего уровня. Всегда рядом есть какие-то большие дяди, и в то же время внизу шебуршится мелочь пузатая. Даже наоборот, смышлёные школьники младших классов вызывают уважение.

Я начал отвечать как школьнику, но видно, что вам больше подходит уровень, выбранный Sonic86. Да, обычно так: "равенство" $F(x)=G(x)$ может подразумевать, а может и не подразумевать, что мы обсуждаем какой-то конкретный $x.$ А "тождество" $F(x)=G(x)$ означает всегда $\forall\,x\,\,F(x)=G(x).$ В частности, слово "тождественно" очень часто приговаривают при обсуждении функций - функций как объектов.

Например, в Фихтенгольце

Цитата:

Назовем рангом матрицы Якоби (в области $\mathscr{D}$) наивысший из порядков определителей, образованных из элементов этой матрицы и не обращающихся в нуль тождественно в $\mathscr{D}.$

(Пункт 216, стр. 537, изд. 2003)

подразумевается, что матрица Якоби - переменная величина, функция от той точки, в которой берётся отображение. И эта функция рассматривается в некоторой области. И в этой области определители не должны обращаться в нуль как функции.

[arseniiv]

На этой же волне словами «тождественная <константа>» (например, тождественный нуль) называется функция подходящего количества аргументов, всюду равная <константе>.

-- Чт сен 15, 2016 20:27:00 --

Хотя или не называется, т. к. попадалась такая конструкция, кажется, только в равенствах какой-то другой функции.

[user14284]

wrest в сообщении #1151280 писал(а):

Поясните пожалуйста различие терминов "тождество" и "равенство".

Предлагаю ТС не усложнять себе жизнь, а считать их синонимами. Вы ничего не потеряете.

(Оффтоп)

Вообще многие фактически равносильные понятия, которые школа и начальные курсы вузов учат разделять, куда выгодней, наоборот, отождествлять. Взять хотя бы производную с дифференциалом (на всякий случай не буду развивать эту тему). Короче, чуть реже чем всегда мыслить в рамках одного термина банально проще. А контекст есть всегда.