2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Минимизация без использования производной
Сообщение07.09.2016, 15:18 
Аватара пользователя


27/02/12
3883
wrest в сообщении #1149830 писал(а):
Значит, грузы надо поменять местами.

Да какая разница, в конце концов?
Что позволяет Вам быть уверенным, что статическая модель с грузами даст верный ответ?
Как Вы, применительно к Вашей задаче, вытащите из этой модели тот же $x=8$?
Когда задача сводится к закону преломления, то уверенность нам дает принцип Ферма.
А равновесие грузов?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимизация без использования производной
Сообщение07.09.2016, 16:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
wrest
Пора брать крокодила за пасть. Считаю, что пока всё понятно. Осталось совсем немного. Вернёмся к первой картинке.
Изображение
Построим такое семейство треугольников, чтобы в каждом из них отношение зелёного катета к гипотенузе (синей) было равно отношению скорости движения крокодила в воде к скорости по земле.

Горизонтальные серые линии обозначают берега реки. В точке $C$ находится крокодил. В точке $G$ находится зебра. Крокодил выбирает точку $A$ на другом берегу и проходит отрезок $CA$. Тем самым крокодил выбирает один из треугольников семейства.

Будем считать, что наш крокодил зелёный (потому что движется по зелёному катету), но у него есть друг — синий крокодил. Синий крокодил движется к той же зебре по следующим правилам:
$\bullet$ Он всегда начинает свой путь из вершины $B$ того же треугольника, который выбрал зелёный крокодил.
$\bullet$ Он начинает движение одновременно с зелёным крокодилом.
$\bullet$ Он движется сначала по синей гипотенузе (отсюда его название «синий») до точки $A$, а затем, так же, как и зелёный, по отрезку $AG$.
$\bullet$ Независимо ни от чего синий крокодил движется с сухопутной скоростью зелёного крокодила на всём своём пути.

Поскольку зелёный катет $CA$ во столько же раз меньше гипотенузы $BA$, во сколько скорость зелёного крокодила меньше скорости синего на этих отрезках, время движения зелёного по $CA$ и синего по $BA$ равны (то есть они встречаются в точке $A$ и дальше бегут вместе). Так как на участке $AG$ скорости у них одинаковы, полное время движения обоих крокодилов совпадает. И мы можем рассматривать время движения синего крокодила, что проще.

У синего крокодила постоянная по модулю скорость. Кроме того, он, в силу вышесказанного, всегда начинает свой путь с фиолетовой вертикальной прямой. Следовательно, кратчайшее время движения получается тогда, когда весь его путь лежит на прямой. То есть — когда выбран такой треугольник, у которого вершина $B$ лежит на горизонтальной прямой $AG$.

Легко видеть, что в этом случае синус «угла падения» зелёного крокодила на береговую линию равен отношению зелёного катета к синей гипотенузе, лежащей на береговой линии. То есть — отношению скоростей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимизация без использования производной
Сообщение07.09.2016, 17:03 


05/09/16
12038
miflin в сообщении #1149842 писал(а):
wrest в сообщении #1149830 писал(а):
Значит, грузы надо поменять местами.

Да какая разница, в конце концов?
Что позволяет Вам быть уверенным, что статическая модель с грузами даст верный ответ?


Быть уверенным позволяет расчет, который дает верный результат.

-- 07.09.2016, 17:38 --

svv в сообщении #1149858 писал(а):
wrest
Пора брать крокодила за пасть.

...

Следовательно, кратчайшее время движения получается тогда, когда весь его путь лежит на прямой. То есть — когда выбран такой треугольник, у которого вершина $B$ лежит на горизонтальной прямой $AG$.

Легко видеть, что в этом случае синус «угла падения» зелёного крокодила на береговую линию равен отношению зелёного катета к синей гипотенузе, лежащей на береговой линии. То есть — отношению скоростей.


Да, похоже что все правильно. Причем, если точка $G$ лежит левее точки $A$ (при условии что точка $B$ уже лежит на прямой $AG$), то крокодил двигается только по реке, напрямую к $G$, т.е. к зебре.

Супер, спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимизация без использования производной
Сообщение07.09.2016, 17:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
Спасибо и Вам. Что непонятно — спрашивайте.
Возможна также ситуация, когда вершина $B$ находится в воде или даже «на нашем» берегу. В этом случае путь синего крокодила полностью или частично проходит по воде. Но по правилам синий крокодил всё равно по обоим участкам движется с той скоростью, с какой зелёный по суше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимизация без использования производной
Сообщение07.09.2016, 18:16 
Аватара пользователя


27/02/12
3883
wrest в сообщении #1149863 писал(а):
Быть уверенным позволяет расчет, который дает верный результат.

Так покажите, что модель с грузиками дает верный результат, что это не случайное совпадение с результатом,
полученным самодостаточными методами (с помощью производной или закона преломления),
что этот метод тоже самодостаточен. Хотелось бы увидеть логику решения. Интересно ведь... :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимизация без использования производной
Сообщение07.09.2016, 18:45 


05/09/16
12038
miflin в сообщении #1149886 писал(а):
wrest в сообщении #1149863 писал(а):
Быть уверенным позволяет расчет, который дает верный результат.

Так покажите, что модель с грузиками дает верный результат, что это не случайное совпадение с результатом,
полученным самодостаточными методами (с помощью производной или закона преломления),
что этот метод тоже самодостаточен. Хотелось бы увидеть логику решения. Интересно ведь... :-)


Мне пока трудно с рисунками на этом форуме их надо где-то размещать и давать ссылки, поэтому попробую просто текстом.

Логика модели с грузами верна потому что в нее изначально заложена формула, аналогичная закону преломления:

Проекция силы, с которой действует на кольцо груз равна весу груза умноженному на синус угла под которым относительно стержня к кольцу идет веревка (т.к. груз тянет вдоль веревки, а кольцо может двигаться только вдоль стержня). Равновесие достигается когда обе силы (с которым веревки тянут кольцо) равны.
Поэтому автоматически получается закон преломления в виде
$m_1\sin\alpha=m_2\sin\beta$ и $\frac{m_2}{m_1}=\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}$ что и представляет собой формулу закона преломления. Выбором $m_1$ и $m_2$ таким что $m_1=k/v_1$ а $m_2=k/v_2$ где $v_1$, $v_2$ -- скорости в первой и второй среде, $m_1$ и $m_2$ массы первого и второго грузов, а $k$ -- любое положительное число (например единица), мы и получаем верное решение.
Выше описан обратный подход (нам известна формула и мы моделируем её веревками блоками и грузами), но я думаю что есть и прямой (который показывает почему надо делать именно так). Вот выше, с зеленым и синим крокодилом, показан прямой подход, без предварительного знания закона преломления к которому надо прийти.

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимизация без использования производной
Сообщение07.09.2016, 19:39 
Аватара пользователя


27/02/12
3883
wrest в сообщении #1149895 писал(а):
Поэтому автоматически получается закон преломления в виде

Ну, это не самодостаточность модели, если она опирается на закон преломления.
Связь задачи с законом преломления естественна - и там, и там фигурируют скорости.
А вот как напрямую связать равновесие грузов и минимальное время движения, не зная ничего ни о производных,
ни о преломлении, мне неясно. Впрочем, больше не буду докучать. Извините за назойливость. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимизация без использования производной
Сообщение07.09.2016, 22:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
miflin
Берём колечко, привязываем к нему две верёвки длиной $L_1$ и $L_2$. Пропускаем через дырки.
К концу первой верёвки привязываем груз весом $P_1$, к концу второй груз весом $P_2$.
Пусть горизонтальный участок первой верёвки (от кольца до дырки) имеет длину $\ell_1$, а вертикальный (от дырки до груза) $h_1$. У второй верёвки горизонтальный участок $\ell_2$, вертикальный $h_2$. Длины всех этих участков зависят от положения кольца, причём
$L_1=\ell_1+h_1\quad \quad L_2=\ell_2+h_2$

Потенциальная энергия грузов в поле силы тяжести:
$U=-P_1 h_1- P_2 h_2+C=P_1(\ell_1-L_1)+P_2(\ell_2-L_2)+C$
Произвольную постоянную $C$ выберем так, чтобы $-P_1L_1-P_2 L_2+C$ обращалось в нуль (это возможно, потому что это выражение не зависит от положения кольца). Тогда
$U=P_1 \ell_1+P_2 \ell_2$
Пусть веса грузов обратно пропорциональны скоростям:
$P_1=\frac{k}{v_1} \quad\quad P_2=\frac{k}{v_2}$
Тогда
$U=k\left(\frac{\ell_1}{v_1}+\frac{\ell_2}{v_2}\right)=k(t_1+t_2)=k t$,
где $t_1,t_2,t$ — время движения по воде, по суше и полное. Поэтому $U$ и $t$ достигают минимума при одном и том же положении кольца.
Кольцо остановится в положении, когда $U$ минимальна и укажет точку выхода крокодила на сушу, дающую минимальное $t$.

Из формул более непосредственно получаются веса грузов $P_1=\frac 1 4\text{Н}$ и $P_2=\frac 1 5\text{Н}$. Но такие веса были бы непонятны «обывателю». Поэтому, пользуясь произволом в выборе $k$, их домножили на $20$ и получили $5\text{Н}$ и $4\text{Н}$ соответственно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимизация без использования производной
Сообщение07.09.2016, 23:33 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
wrest в сообщении #1149895 писал(а):
Мне пока трудно с рисунками на этом форуме их надо где-то размещать и давать ссылки
Специально для вас существует топик, ссылка на который находится слева от поля быстрого ответа. Если вам что-то непонятно в интерфейсе хостинга postimage, можете спрашивать лично у меня; я буду терпеливо тыкать вас носом в ихние кнопочки, пока вы всё не уясните.

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимизация без использования производной
Сообщение08.09.2016, 07:24 
Аватара пользователя


27/02/12
3883
svv, спасибо!
Признаюсь, вчера мелькнула ленивая мысль - "разве что через минимум потенциальной энергии...",
но я её не пытался развить в силу природной, опять же, лени. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимизация без использования производной
Сообщение08.09.2016, 09:32 


05/09/16
12038
miflin в сообщении #1149920 писал(а):
А вот как напрямую связать равновесие грузов и минимальное время движения, не зная ничего ни о производных,
ни о преломлении, мне неясно.

Мне тоже было не ясно, поэтому после последних четырех слов первого сообщения этой темы я поставил вопросительный знак.
Спасибо тов. svv за наводку на тот факт, что равновесие в системе с блоками и грузами соответствует минимуму суммы потенциальных энергий грузов.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 41 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group