Минимизация без использования производной

[miflin]

wrest в сообщении #1149830 писал(а):

Значит, грузы надо поменять местами.

Да какая разница, в конце концов?
Что позволяет Вам быть уверенным, что статическая модель с грузами даст верный ответ?
Как Вы, применительно к Вашей задаче, вытащите из этой модели тот же $x=8$?
Когда задача сводится к закону преломления, то уверенность нам дает принцип Ферма.
А равновесие грузов?...

[svv]

wrest
Пора брать крокодила за пасть. Считаю, что пока всё понятно. Осталось совсем немного. Вернёмся к первой картинке.

Построим такое семейство треугольников, чтобы в каждом из них отношение зелёного катета к гипотенузе (синей) было равно отношению скорости движения крокодила в воде к скорости по земле.

Горизонтальные серые линии обозначают берега реки. В точке $C$ находится крокодил. В точке $G$ находится зебра. Крокодил выбирает точку $A$ на другом берегу и проходит отрезок $CA$. Тем самым крокодил выбирает один из треугольников семейства.

Будем считать, что наш крокодил зелёный (потому что движется по зелёному катету), но у него есть друг — синий крокодил. Синий крокодил движется к той же зебре по следующим правилам:
$\bullet$ Он всегда начинает свой путь из вершины $B$ того же треугольника, который выбрал зелёный крокодил.
$\bullet$ Он начинает движение одновременно с зелёным крокодилом.
$\bullet$ Он движется сначала по синей гипотенузе (отсюда его название «синий») до точки $A$, а затем, так же, как и зелёный, по отрезку $AG$.
$\bullet$ Независимо ни от чего синий крокодил движется с сухопутной скоростью зелёного крокодила на всём своём пути.

Поскольку зелёный катет $CA$ во столько же раз меньше гипотенузы $BA$, во сколько скорость зелёного крокодила меньше скорости синего на этих отрезках, время движения зелёного по $CA$ и синего по $BA$ равны (то есть они встречаются в точке $A$ и дальше бегут вместе). Так как на участке $AG$ скорости у них одинаковы, полное время движения обоих крокодилов совпадает. И мы можем рассматривать время движения синего крокодила, что проще.

У синего крокодила постоянная по модулю скорость. Кроме того, он, в силу вышесказанного, всегда начинает свой путь с фиолетовой вертикальной прямой. Следовательно, кратчайшее время движения получается тогда, когда весь его путь лежит на прямой. То есть — когда выбран такой треугольник, у которого вершина $B$ лежит на горизонтальной прямой $AG$.

Легко видеть, что в этом случае синус «угла падения» зелёного крокодила на береговую линию равен отношению зелёного катета к синей гипотенузе, лежащей на береговой линии. То есть — отношению скоростей.

[wrest]

miflin в сообщении #1149842 писал(а):

wrest в сообщении #1149830 писал(а):

Значит, грузы надо поменять местами.

Да какая разница, в конце концов?
Что позволяет Вам быть уверенным, что статическая модель с грузами даст верный ответ?

Быть уверенным позволяет расчет, который дает верный результат.

-- 07.09.2016, 17:38 --

svv в сообщении #1149858 писал(а):

wrest
Пора брать крокодила за пасть.

...

Следовательно, кратчайшее время движения получается тогда, когда весь его путь лежит на прямой. То есть — когда выбран такой треугольник, у которого вершина $B$ лежит на горизонтальной прямой $AG$.

Легко видеть, что в этом случае синус «угла падения» зелёного крокодила на береговую линию равен отношению зелёного катета к синей гипотенузе, лежащей на береговой линии. То есть — отношению скоростей.

Да, похоже что все правильно. Причем, если точка $G$ лежит левее точки $A$ (при условии что точка $B$ уже лежит на прямой $AG$), то крокодил двигается только по реке, напрямую к $G$, т.е. к зебре.

Супер, спасибо!

[svv]

Спасибо и Вам. Что непонятно — спрашивайте.
Возможна также ситуация, когда вершина $B$ находится в воде или даже «на нашем» берегу. В этом случае путь синего крокодила полностью или частично проходит по воде. Но по правилам синий крокодил всё равно по обоим участкам движется с той скоростью, с какой зелёный по суше.

[miflin]

wrest в сообщении #1149863 писал(а):

Быть уверенным позволяет расчет, который дает верный результат.

Так покажите, что модель с грузиками дает верный результат, что это не случайное совпадение с результатом,
полученным самодостаточными методами (с помощью производной или закона преломления),
что этот метод тоже самодостаточен. Хотелось бы увидеть логику решения. Интересно ведь...

[wrest]

miflin в сообщении #1149886 писал(а):

wrest в сообщении #1149863 писал(а):

Быть уверенным позволяет расчет, который дает верный результат.

Так покажите, что модель с грузиками дает верный результат, что это не случайное совпадение с результатом,
полученным самодостаточными методами (с помощью производной или закона преломления),
что этот метод тоже самодостаточен. Хотелось бы увидеть логику решения. Интересно ведь...

Мне пока трудно с рисунками на этом форуме их надо где-то размещать и давать ссылки, поэтому попробую просто текстом.

Логика модели с грузами верна потому что в нее изначально заложена формула, аналогичная закону преломления:

Проекция силы, с которой действует на кольцо груз равна весу груза умноженному на синус угла под которым относительно стержня к кольцу идет веревка (т.к. груз тянет вдоль веревки, а кольцо может двигаться только вдоль стержня). Равновесие достигается когда обе силы (с которым веревки тянут кольцо) равны.
Поэтому автоматически получается закон преломления в виде
$m_1\sin\alpha=m_2\sin\beta$ и $\frac{m_2}{m_1}=\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}$ что и представляет собой формулу закона преломления. Выбором $m_1$ и $m_2$ таким что $m_1=k/v_1$ а $m_2=k/v_2$ где $v_1$, $v_2$ -- скорости в первой и второй среде, $m_1$ и $m_2$ массы первого и второго грузов, а $k$ -- любое положительное число (например единица), мы и получаем верное решение.
Выше описан обратный подход (нам известна формула и мы моделируем её веревками блоками и грузами), но я думаю что есть и прямой (который показывает почему надо делать именно так). Вот выше, с зеленым и синим крокодилом, показан прямой подход, без предварительного знания закона преломления к которому надо прийти.

[miflin]

wrest в сообщении #1149895 писал(а):

Поэтому автоматически получается закон преломления в виде

Ну, это не самодостаточность модели, если она опирается на закон преломления.
Связь задачи с законом преломления естественна - и там, и там фигурируют скорости.
А вот как напрямую связать равновесие грузов и минимальное время движения, не зная ничего ни о производных,
ни о преломлении, мне неясно. Впрочем, больше не буду докучать. Извините за назойливость.

[svv]

miflin
Берём колечко, привязываем к нему две верёвки длиной $L_1$ и $L_2$. Пропускаем через дырки.
К концу первой верёвки привязываем груз весом $P_1$, к концу второй груз весом $P_2$.
Пусть горизонтальный участок первой верёвки (от кольца до дырки) имеет длину $\ell_1$, а вертикальный (от дырки до груза) $h_1$. У второй верёвки горизонтальный участок $\ell_2$, вертикальный $h_2$. Длины всех этих участков зависят от положения кольца, причём
$L_1=\ell_1+h_1\quad \quad L_2=\ell_2+h_2$

Потенциальная энергия грузов в поле силы тяжести:
$U=-P_1 h_1- P_2 h_2+C=P_1(\ell_1-L_1)+P_2(\ell_2-L_2)+C$
Произвольную постоянную $C$ выберем так, чтобы $-P_1L_1-P_2 L_2+C$ обращалось в нуль (это возможно, потому что это выражение не зависит от положения кольца). Тогда
$U=P_1 \ell_1+P_2 \ell_2$
Пусть веса грузов обратно пропорциональны скоростям:
$P_1=\frac{k}{v_1} \quad\quad P_2=\frac{k}{v_2}$
Тогда
$U=k\left(\frac{\ell_1}{v_1}+\frac{\ell_2}{v_2}\right)=k(t_1+t_2)=k t$,
где $t_1,t_2,t$ — время движения по воде, по суше и полное. Поэтому $U$ и $t$ достигают минимума при одном и том же положении кольца.
Кольцо остановится в положении, когда $U$ минимальна и укажет точку выхода крокодила на сушу, дающую минимальное $t$.

Из формул более непосредственно получаются веса грузов $P_1=\frac 1 4\text{Н}$ и $P_2=\frac 1 5\text{Н}$. Но такие веса были бы непонятны «обывателю». Поэтому, пользуясь произволом в выборе $k$, их домножили на $20$ и получили $5\text{Н}$ и $4\text{Н}$ соответственно.

[Aritaborian]

wrest в сообщении #1149895 писал(а):

Мне пока трудно с рисунками на этом форуме их надо где-то размещать и давать ссылки

Специально для вас существует топик, ссылка на который находится слева от поля быстрого ответа. Если вам что-то непонятно в интерфейсе хостинга postimage, можете спрашивать лично у меня; я буду терпеливо тыкать вас носом в ихние кнопочки, пока вы всё не уясните.

[miflin]

svv, спасибо!
Признаюсь, вчера мелькнула ленивая мысль - "разве что через минимум потенциальной энергии...",
но я её не пытался развить в силу природной, опять же, лени.

[wrest]

miflin в сообщении #1149920 писал(а):

А вот как напрямую связать равновесие грузов и минимальное время движения, не зная ничего ни о производных,
ни о преломлении, мне неясно.

Мне тоже было не ясно, поэтому после последних четырех слов первого сообщения этой темы я поставил вопросительный знак.
Спасибо тов. svv за наводку на тот факт, что равновесие в системе с блоками и грузами соответствует минимуму суммы потенциальных энергий грузов.