wrestПора брать крокодила за пасть. Считаю, что пока всё понятно. Осталось совсем немного. Вернёмся к первой картинке.
Построим такое семейство треугольников, чтобы в каждом из них отношение зелёного катета к гипотенузе (синей) было равно отношению скорости движения крокодила в воде к скорости по земле.
Горизонтальные серые линии обозначают берега реки. В точке
находится крокодил. В точке
находится зебра. Крокодил выбирает точку
на другом берегу и проходит отрезок
. Тем самым крокодил выбирает один из треугольников семейства.
Будем считать, что наш крокодил зелёный (потому что движется по зелёному катету), но у него есть друг — синий крокодил. Синий крокодил движется к той же зебре по следующим правилам:
Он всегда начинает свой путь из вершины
того же треугольника, который выбрал зелёный крокодил.
Он начинает движение одновременно с зелёным крокодилом.
Он движется сначала по синей гипотенузе (отсюда его название «синий») до точки
, а затем, так же, как и зелёный, по отрезку
.
Независимо ни от чего синий крокодил движется
с сухопутной скоростью зелёного крокодила на всём своём пути.
Поскольку зелёный катет
во столько же раз меньше гипотенузы
, во сколько скорость зелёного крокодила меньше скорости синего на этих отрезках, время движения зелёного по
и синего по
равны (то есть они встречаются в точке
и дальше бегут вместе). Так как на участке
скорости у них одинаковы, полное время движения обоих крокодилов совпадает. И мы можем рассматривать время движения синего крокодила, что проще.
У синего крокодила постоянная по модулю скорость. Кроме того, он, в силу вышесказанного, всегда начинает свой путь с фиолетовой вертикальной прямой. Следовательно, кратчайшее время движения получается тогда, когда весь его путь лежит на прямой. То есть — когда выбран такой треугольник, у которого вершина
лежит на горизонтальной прямой
.
Легко видеть, что в этом случае синус «угла падения» зелёного крокодила на береговую линию равен отношению зелёного катета к синей гипотенузе, лежащей на береговой линии. То есть — отношению скоростей.