2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Длинные линии
Сообщение03.09.2016, 17:34 


16/07/14
201
У меня небольшой вопрос по методике решения некоторых задач с длинными линиями из ТОЭ. Меня интересует расчет переходных процессов в однородных длинных линиях с потерями, но в случаях когда с обоих концов линии есть сложная цепь. Допустим вот такая рандомная цепь:
Изображение
В учебниках по ТОЭ обычно, переходные процессы, решаются для линий либо без активных потерь, либо для линий без "искажений". И в общих чертах задачи можно представить так: с одной стороны есть источник энергии, с другой нагрузка, и нужно найти скажем отраженные волны или найти токи и напряжения в определенный момент времени и длинны на линии. Все типы рассматриваемых задачек крутятся вокруг телеграфного уравнения:
$ \frac{\partial^2 u(x,t) }{\partial x^2}-LC\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2}-(RC+GL)\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}-GRu(x,t) = 0$ или
$ \frac{\partial^2 i(x,t) }{\partial x^2}-LC\frac{\partial^2 i(x,t)}{\partial t^2}-(RC+GL)\frac{\partial i(x,t)}{\partial t}-GRi(x,t) = 0$ которые
приводятся к неоднородному одномерному гиперболическому уравнению второго порядка в частных производных с помощью введения неизвестной функции:
$u(x,t)= \exp^{-\mu t}w(x,t)$ где $\mu=\frac{LG+RC}{2LC}$, что приводит к уравнению:
$ \frac{\partial^2 w(x,t) }{\partial t^2}-\frac{1}{LC}\frac{\partial^2 w(x,t)}{\partial x^2}-\frac{LG-RC}{2LC}w(x,t) = 0$
а в свою очередь это уравнение имеет точные решения, при краевой задаче, скажем точное решение можно взять из матфизики Тихонового Самарского (система 69-71).
Проблема вот в чем: для решения необходимо знать краевые и начальные условия, ну собственно и подставить их уже в решение, а хитрость тут в том, что напряжения и токи с обоих сторон в задаче на картинке, зависят друг от друга через длинную линию. Стандартные задачки я решу, а тут не представляю как подступиться....
Так как товарищ Мунин задаст вопрос в какие книжки я смотрел, сразу их перечислю:
1. Уравнения математической физики А.Н. Тихонов, А.А. Самарский (1 параграф 8 пункт выр. 69-71, также стр 74, 76, 78, 62)
2. Уравнения в частных производных Математической физики Н.С. Кошляков (стр 88 глава 7 прим. метода хар. к изуч. кол. в эл. лин.)
3. Уравнения математической физики И.Г. Арамович, В.И. Левин (стр 55 п.3 метод фурье, п.5, п.7 Эл. кол. в длинных однородных линиях)
4. Курс высшей математики Том II В.И. Смирнов (194 пункт Телеграфные уравнения)
5. Практический курс по уравнениям математической физики В.П. Пикулин, С.И. Поохожаев (глава 2 Гиперболические задачи)
6. Теоретические основы электротехники Л.Р. Нейман, К.С. Демирчян (глава 17 эл. цепи с распр. парам. при перех. проц.)
7. Теоретические основы электротехники Часть 3 Г.М. Торбенков (глава 16 эл. цепи с распр. парам. при перех. проц.)
8. Теоретическая электротехника К.Шимони (параграф 39-42).
Про попытки решения:
Собственно можно прикопаться и сказать, что не приведено попыток решения, однако, я перешерстил приличное количество литературы, и могу сказать, точно что в целом авторы всегда обходят стороной подобные задачки. Из учебников могу подчеркнуть, что обычно, когда нагрузка линии сложная, вычисляют входное сопротивление линии с учетом нагрузки и. таким образом решают задачку для нахождения левого краевого условия, однако в данном случае так поступить низя изза источника напряжения, и это меня очень смущает. Как решать такую задачку?, мне даже не важно добраться до формулы напряжения и токов в линии, а хотя бы верно составить необходимую систему уравнений для краевых условий, которые совместно с телеграфным уравнением можно решить на ЭВМ. Мне важно узнать сам принцип решения задачек, когда краевые условия зависят друг от дружки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Длинные линии
Сообщение03.09.2016, 18:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
specialist в сообщении #1148774 писал(а):
обычно, когда нагрузка линии сложная, вычисляют входное сопротивление линии с учетом нагрузки и. таким образом решают задачку для нахождения левого краевого условия, однако в данном случае так поступить низя изза источника напряжения, и это меня очень смущает.

Почему низя-то? Берёте левую подцепь как двухполюсник, и анализируете её до упора (Лапласом, наверное). Получаете некоторое ОДУ, связывающее напряжение и ток на этом двухполюснике. Это ОДУ и надо подставить как краевое условие.

Да, получится нечто посложнее, чем просто в книжках (обычно там ОДУ максимум 1 порядка - "краевые условия 3 рода"), но вполне численно решаемое.

specialist в сообщении #1148774 писал(а):
когда краевые условия зависят друг от дружки.

А они у вас, вроде, славабогу, не зависят друг от дружки. Если я правильно прочитал схему, то у вас там взаимных индуктивностей и емкостей нет, и зависимых источников - тоже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Длинные линии
Сообщение03.09.2016, 18:11 


16/07/14
201
Munin в сообщении #1148781 писал(а):
А они у вас, вроде, славабогу, не зависят друг от дружки. Если я правильно прочитал схему, то у вас там взаимных индуктивностей и емкостей нет, и зависимых источников - тоже.
эм, а между ними же ток течет, пусть и волнами, но все же течет, я все еще в смущении

 Профиль  
                  
 
 Re: Длинные линии
Сообщение03.09.2016, 18:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Ну, каждое из них (краевых условий) есть всё-таки уравнение. А уравнения друг от дружки не зависят.

Рассмотрим другой случай: пусть ваши $L_2$ и $L_4$ - это половинки какого-то трансформатора (а длинная линия свёрнута в кольцо). Тогда уравнения окажутся зависимыми: в левое уравнение будет входить величина из правого, а в правое - величина из левого. Они станут решаться уже не по отдельности, а только как система. Соответственно, вся краевая задача станет похожа на задачу с периодическими условиями (со склеенными концами). Её, конечно, тоже можно решать численно, но более осторожно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Длинные линии
Сообщение03.09.2016, 18:50 
Заслуженный участник


21/09/15
998
specialist
Это теоретическая задача или практическая?
Если практическая, то в симуляторах заменяют длинные линии лестничной схемой с сосредоточенными параметрами

 Профиль  
                  
 
 Re: Длинные линии
Сообщение03.09.2016, 18:59 


27/08/16
10253
Аналитически, а не в спайсе? Вырежьте из схемы источники - получите линейный четырехполюсник. Состоящий из трёх последовательно включённых четырехполюсников: двух схем на дискретных элементах слева и справа и длинной линии посредине. Каждый из них описывается в частотной области любой из множества эквивалентных матриц, которые считаются стандартными методами. Вычисляете соответствующие матрицы, потом соединяете три четырехполюсника последовательно. Будет громоздко, так что, используйте какую-нибудь систему символьной математики. Перейдите обратно во временную область - получите импульсные характеристики.

 Профиль  
                  
 
 Re: Длинные линии
Сообщение03.09.2016, 19:09 


16/07/14
201
AnatolyBa, теоретическая, мне очень интересно как это решить. Крепко подумаю, над предложением Muninа, соберусь с силами и напишу более корректный ответ.

-- 03.09.2016, 20:13 --

realeugene в сообщении #1148793 писал(а):
Аналитически, а не в спайсе? Вырежьте из схемы источники.
тогда бы получилась просто стандартная задачка. pspice я еще не подключал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Длинные линии
Сообщение03.09.2016, 19:15 


27/08/16
10253
specialist в сообщении #1148794 писал(а):
тогда бы получилась просто стандартная задачка.


Так а что в этой задаче нестандартного?

 Профиль  
                  
 
 Re: Длинные линии
Сообщение03.09.2016, 19:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
При фиксированной частоте она и есть стандартная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Длинные линии
Сообщение03.09.2016, 19:20 


27/08/16
10253
У линейных схем импульсные и частотные характеристики связаны стандартным преобразованием.

 Профиль  
                  
 
 Re: Длинные линии
Сообщение03.09.2016, 19:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Если вы приведёте (со ссылкой на литературу) частотную характеристику длинной линии, это будет полезным вкладом в обсуждение. Рядом можно и импульсную.

 Профиль  
                  
 
 Экспонента в показателе которой
Сообщение03.09.2016, 19:46 


27/08/16
10253
Munin в сообщении #1148801 писал(а):
Если вы приведёте (со ссылкой на литературу) частотную характеристику длинной линии, это будет полезным вкладом в обсуждение. Рядом можно и импульсную.

О, а вы, выходит, об этом не знали?
Я помню, что в литературе это есть, но искать мне сейчас лень. Думаю, несложно вывести и без литературы, для начала записав S-матрицу для согласованой с комплексным характеристическим импедансом длинной линии нагрузкой. Матрица будет антидиагональная:

$S=\begin{pmatrix}0&e^{-\gamma L}\\ e^{-\gamma L}&0\end{pmatrix}$

где $\gamma$ - комплексный коэффициент затухания, а $L$ - длина линии. Эту матрицу можно преобразовать в более подходящую по какой-нибудь стандартной формуле, которая, обязательно, должна быть в перечисленных топикстартером учебниках, или, даже, вывести формулу преобразования самостоятельно, исходя из полученных соотношений между токами и напряжениями.

 Профиль  
                  
 
 Re: Длинные линии
Сообщение03.09.2016, 21:07 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3788
Бурашево
 i  Бессодержательные сообщения realeugene и amon удалены.

 Профиль  
                  
 
 Re: Длинные линии
Сообщение03.09.2016, 22:20 


27/08/16
10253
Добавлю относительно нескольких источников. Они на схеме нарисованы как источники тока, но подписаны как напряжения. Предполагаю, что они всё же источники напряжения с нулевым внутренним сопротивлением. Так как схема линейная, то отклик схемы на несколько источников одновременно равен сумме откликов схемы на каждый источник напряжения, когда все остальные источники закорочены.

 Профиль  
                  
 
 Re: Длинные линии
Сообщение04.09.2016, 11:20 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3788
Бурашево
realeugene в сообщении #1148866 писал(а):
Так как схема линейная, то отклик схемы на несколько источников одновременно равен сумме откликов схемы на каждый источник напряжения, когда все остальные источники закорочены.
В стартовом сообщении темы автор пишет о анализе переходных процессов (правда ключей у него нигде на схеме не изображено). Так вот, следуя вашему совету, не можем ли мы потерять независимые начальные условия?

Скажем, источник на одной стороне линии может вносить вклад в напряжение на какой-либо ёмкости или ток через индуктивность на момент коммутации на другой стороне линии. Вопрос автора темы был, похоже, в этом.

Нечто похожее мелькнуло в сообщении #827179

Я тоже посматриваю в сторону принципа суперпозиции, но надо разобраться, что будет с начальными условиями. Причём не важно длинная там линия или нет - просто есть линейная цепь, под воздействием нескольких источников и в заданный момент времени (скажем ноль) имеет место коммутация.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group