Нужно ли физикам преобразование Лапласа? Не устарело ли оно?

[sergei1961]

Metford - преобразование Лапласа придумал Йозеф Петцваль:
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Bio ... tzval.html
(как и многое другое)

[DeBill]

Metford
Да также - но для полугрупп.
Пр-е Лапласа - основной инструмент в теории полугрупп операторов (и абстрактных уравнений типа $\dot{u}=Au$).

[sergei1961]

И кстати есть практически неизвестная общественности теория действительного обращения пр. Лапласа без всяких комплексных чисел и контурного интегрирования.

[Metford]

sergei1961, к своему стыду должен признаться, что такая фамилия раньше даже не попадалась... Спасибо!

sergei1961 в сообщении #1147455 писал(а):

И кстати есть практически неизвестная общественности теория действительного обращения пр. Лапласа без всяких комплексных чисел и контурного интегрирования.

Ну, уж начали говорить - так договаривайте. Хотя бы вкратце. Лично мне Вы сегодня просто глаза открываете на это преобразование, хотя пользовался им часто.

DeBill, там, где читал о преобразовании Фурье в связи с группами, про преобразование Лапласа не говорилось - а у меня как-то ассоциаций не возникло. Где бы можно об этом почитать? Интересно сравнить.

[sergei1961]

Действительное обращение пр. Лапласа при помощи нескольких явных элементарных действительных преобразований, одна из возможных ссылок:
А.Г.Рамм, Многомерные обратные задачи рассеяния. Мир, 1994, с.240 и далее.
Ряд работ есть по прикладным приложениям такого подхода на русском, по теории у японов, при желании найдёте поиском.

[Viktor92]

Metford в сообщении #1147398 писал(а):

зная несколько преобразований из таблицы, некоторые интегралы можно считать в уме. Вот этим время от времени пользуюсь.

А где можно об этих методах почитать? Первый раз слышу о применении преобразования Лапласа к взятию интегралов.

[Metford]

Viktor92, да, в общем, метод предельно прост. Например, есть интеграл

$$\int\limits_0^{+\infty}e^{-3t}\cos 4tdt.$$

Его можно вычислять, как известно, два раза по частям интегрируя, или с переходом к комплексной экспоненте от косинуса. А если Вы помните, что изображение функции $\cos\omega t$ есть $\frac{p}{p^2+\omega^2}$, то Вы сразу выдаёте ответ $3/25$.

Или ещё пример. Интеграл

$$\int\limits_0^{+\infty}\frac{\cos 2t-\cos 3t}{t}dt.$$

Здесь сначала ищем изображение разности косинусов - по той же формуле, что в предыдущем примере, а потом применяем теорему об интегрировании изображения (по-моему так она называется)

$$\frac{f(t)}{t}\to \int\limits_p^{+\infty}F(p)dp$$

И полагаем после этого $p=0$. Получаем ответ $\ln 1.5$.

Вот подобными методами немало интегралов можно вычислить. Книгу конкретную сейчас с ходу не вспомню, нужно посмотреть.

[sergei1961]

Применение пр. Лапласа к взятию интегралов, да есть формулы в операционном исчислении. Не только.
Например, есть сложные формулы для рядов и интегралов от функции через интегралы от преобразований Л. (например, в справочнике Прудников, Брычков, Маричев). Современный метод вычисления интегралов от спецфункций, на котором основана MATHEMATICA, целиком основан на родственнике пр. Лапласа -пр. Меллина (теорема Слейтер-Маричева).

[Viktor92]

Metford в сообщении #1147911 писал(а):

Или ещё пример. Интеграл

Первый пример понял, а во втором я так понимаю нашли изображение разности косинусов, его проинтегрировали по p, т.о. найдём подъинтегралное выражение исходного интеграла $f(t)/t$, а потом проводим ещё одно интегрирование?

[sergei1961]

Разность косинусов-это стандартный тип общих интегралов, интегралы Фруллани, см. Фихтенгольца, тут скрип...Лаплас не нужен.

[Metford]

Viktor92 в сообщении #1147928 писал(а):

Первый пример понял, а во втором я так понимаю нашли изображение разности косинусов, его проинтегрировали по p

Всё, в этом месте уже получается практически то, что требуется. В данном случае роль функции $f(t)$ играет разность косинусов, соответственно, $F(p)$ - её изображение. Поэтому искомый интеграл - изображение функции $f(t)/t$, которое получается интегрированием функции $F(p)$.

Про интегралы Фруллани - это да. Но мне, например, запоминать этот тип интегралов не хотелось. Вывод его связан, насколько я помню, с интегрированием по параметру (которое обосновывать замучаешься). Поэтому я для себя остановился на вычислении через преобразование Лапласа.

[пианист]

Власов применил к своему уравнению Фурье и потерял рассеяние Ландау.
Ландау применил Лапласа и нашел потерянное.

[Munin]

пианист
Интересно! Расскажите поподробнее!

[Pavia]

Поправте меня, если я неправ.
Пусть задана передаточная функция в s-области.
$H(s)=\frac{1}{s^2-1}$
Имеем полюсы в точках
$s=+1$
$s=-1$

Цитата:

общее условие: линейная система является устойчивой тогда и только тогда, когда полюсы ее функции передачи лежат в левой комплексной полуплоскости.

Наша функция неустойчивая.

Применим обратное преобразование Лапласа , а затем прямое преобразование Фурье. В принципе сязь известна и всё решается проще через подстановку.
Фурье-область
$H(j\omega)=\frac{1}{(j\omega)^2-1}=\frac{-1}{(\omega)^2+1}$
! Полюсов не имеем.
Так как $\omega$ действительная переменная.
Это что же она стала вдруг устойчивой?
Поэтому устойчивость системы(фильтров, конструкций) проверяют как минимум в s-области с использованием преобразование Лапласа, в Фурье области проверить нельзя.

[Red_Herring]

В принципе можно обойтись преобразованием Фурье с параметром в верхней комплексной полуплоскости, но в некоторых случАях преобразование Лапласа удобнее. Вообще интегральные преобразования полезны.