Нужно ли физикам преобразование Лапласа? Не устарело ли оно?

[nevezhda]

Повторяя математику по старому учебнику, дошёл до преобразования Лапласа. Вроде бы оно нужно лишь для того, чтобы быстрее вычислять некоторые интегралы и быстрее решать некоторые дифференциальные уравнения. Если так, то не устарело ли оно с появлением компьютеров, как логарифмическая линейка устарела с появлением калькуляторов?
Если же им по-прежнему пользуются физики, то в чём эта польза состоит?

[Metford]

Отвечу только по своему опыту.
Преобразование Лапласа больше всего мне нравилось применять везде к решению систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Чтобы не искать никаких собственных векторов в случае кратных собственных значений матрицы системы. Оригинал по изображению в этих случаях восстанавливается легко и непринуждённо.

Некоторые ряды очень здорово суммируются с помощью преобразования Лапласа.

Про интегралы Вы сами сказали: зная несколько преобразований из таблицы, некоторые интегралы можно считать в уме. Вот этим время от времени пользуюсь. Дифференциальные уравнения тоже часто удобно решать так.

Интегральные уравнения типа свёртки в некоторых случаях решаются таким способом.

В общем, мне этот метод решения задач всегда очень нравился: зачастую прост в применении и довольно-таки универсален. Хвалебное слово окончено

[arseniiv]

nevezhda
Сравнение с линейкой несколько некорректно. Математика, стоящая за линейкой, со сцены не сошла (и не сойдёт, да и кот её там наплакал). Математика, стоящая за алгоритмами, используемыми СКА, тоже никуда не денется. Всё равно кому-нибудь её надо будет знать (как минимум разработчикам СКА), а так же кому-нибудь будет даже удобно её знать. Чем больше операций мы можем провернуть в голове, пока не настал век интеграции компьютеров поближе к ней, тем в общем случае лучше.

[warlock66613]

Никогда не мог понять, в чем коренное отличие преобразования Лапласа от преобразования Фурье. Вроде бы последнее даёт те же преимущества, разве нет?

[Metford]

В моём представлении, так (наверняка что-нибудь огрублю, тогда буду признателен за коррективы). Если взять, скажем уравнения в частных производных, то преобразования Фурье и Лапласа используются принципиально одинаково, но применительно к несколько разным вещам. В одном случае требуется, чтобы функция была задана на всей числовой оси (про одномерный случай говорю), в другом - только при $t>0$. Это с позиций приложений.
Ну, и потом у Фурье всё-таки комплексность присутствует в определении.
Если это недостаточно существенное различие, то что было бы существенным?

[warlock66613]

Существенное различие - это такая задача, в которой применимо преобразование Лапласа, но замена его на преобразование Фурье для получения тех же результатов совершенно невозможна. Если такого нет, то я не вижу никакой нужды в преобразовании Лапласа, так как преобразование Фурье идейно проще.

[Metford]

Ну, хорошо. Скажем, обычная задача Коши: ОДУ плюс условие на функцию (и её производные) в нуле. Преобразование Фурье разве работает? По крайней мере, столь же просто, как преобразование Лапласа.

[warlock66613]

Я могу ошибаться, но вроде бы косинус-преобразование Фурье отлично работает в такой задаче (могу попробовать расписать подробно).

[Metford]

Можно не расписывать, идея понятна. Только неужели косинус преобразование Фурье будет вычислять легче, чем изображение по Лапласу? Впрочем, вполне допускаю, что будет 50/50.
Надо подумать, какие ещё задачи по Лапласу решаются...

[sergei1961]

У каждого своя область применения. По-моему это во многом определяется ещё и тем, что преобразование Фурье действует в ОДНОМ пространстве, скажем эль два (или в паре родственных пространств как весовые эль пэ), а для пр. Лапласа такого ОДНОГО естественного пространства нет.
Кстати название пр. ЛАПЛАСА исторически некорректно, Лаплас к его изобретению и первым применениям никакого отношения не имеет, оно было придумано совсем другим человеком.

[warlock66613]

Даже если и сложнее. Преобразование Фурье - оно очень простое идейно (ну не то, которое "косинус" конечно, а то которое нормальное комплексное, но они точно ближе друг к другу, чем к Лапласу). Это импульсное представление, это обратная решётка, это спектрограмма, это кот из комикса xkcd. Это практически член семьи. А преобразование Лапласа - это какой-то его злобный двойник из параллельной вселенной, страшный и непонятный.

[Metford]

sergei1961 в сообщении #1147436 писал(а):

оно было придумано совсем другим человеком.

Не Хевисайда имеете в виду?

warlock66613 в сообщении #1147437 писал(а):

А преобразование Лапласа - это какой-то его злобный двойник из параллельной вселенной, страшный и непонятный.

У Вас предубеждение против преобразования Лапласа!

[Munin]

warlock66613 в сообщении #1147437 писал(а):

Это импульсное представление, это обратная решётка, это спектрограмма, это кот из комикса xkcd.

Это линза...

[DeBill]

Преобразование Фурье - это красиво и удобно. Это - роскошный лимузин. Но ездит он токо по асфальту.
Преобразование Лапласа по сравнению с ним - танк, не боящийся грязи.
Это - группы и полугруппы. Лаплас (и его родичи)- для широченного класса эволюционных уравнений, где Фурье не проедет.
Да, операционное исчисление изначально использовалось для решения конкретных ур-й.
Но о его устарелости грить некорректно - так же, как некорректно грить об устарелости чисел после появления кулькуляторов.

[Metford]

DeBill в сообщении #1147447 писал(а):

Преобразование Лапласа по сравнению с ним - танк, не боящийся грязи.

Собственно, так я к нему всегда и относился. (Фразу к себе выписал)

DeBill в сообщении #1147447 писал(а):

Это - группы и полугруппы.

Можно немного подробностей? Я представляю себе, что преобразование Фурье связано с представлением группы вещественных чисел со сложением в качестве операции. А преобразование Лапласа как в этот контекст вписывается?