maxmatemнельзя, аксиома Архимеда - одна из следующих задач в этом листке.
-- 12.08.2016, 15:22 --3. Пусть множества
и
непусты. Верно ли, что
и
ограничены тогда и только тогда, когда ограничено множество
а)
;
б)
?
Решение.
а)
(Здесь я использую известное неравенство
без доказательства)
Пусть
и
ограничены, т.е.
и
. Но тогда для произвольных элементов
верно неравенство
(по зад.6 листка 7), что, согласно зад.2, и означает ограниченность множества
.
Пусть множество
ограничено, т.е.
.
Из этих неравенств следует, что для фиксированного элемента
и
будут выполняться неравенства
,
а для фиксированного элемента
и
-- неравенства
. Это и означает, по определению, что множества
и
ограничены.
б) Нет, неверно. Контрпример: пусть
-- множество положительных чисел,
. Тогда
-- ограничено, в то время как
неограничено (согласно зад.1).
-- 12.08.2016, 15:33 --4. Доказать равносильность определений 4 и 5.
Определение 4. Число
называется точной верхней (нижней) гранью множества
, если
1)
;
2)
.
Определение 5. Число
называется точной верхней (нижней) гранью множества
, если
есть наименьшая (наибольшая) из верхних (нижних) граней множества
.
Доказательство.
На примере определения точной верхней грани. Для точной нижней грани поменять знаки неравенств.
Пусть
-- точная верхняя грань множества
согласно определению 4.
Согласно пункту 1),
является одной из верхних граней множества
. Согласно пункту 2), никакое число меньшее
не является верхней гранью множества
, т.е.
-- наименьшая верхняя грань множества
(определение 5).
Пусть теперь
-- наименьшая из верхних граней множества
. Значит,
неравенство
не выполнено, т.е.
(определение 4).
-- 12.08.2016, 15:35 --5. Найти точную верхнюю и нижнюю грани множества
, если они существуют:
а)
.
б)
.
в)
.
г)
.
-- 12.08.2016, 15:36 --6. У каждого множества существует не больше одной точной верхней (нижней) грани.
Доказательство.
(Для точной верхней грани. Для точной нижней грани поменять знаки неравенств).
Пусть
-- точные верхние грани множества
. Если бы
, то
-- согласно пункту 2) определения 4, и тогда
не являлось бы верхней гранью. Аналогично, если бы
, то
, и тогда
не являлось бы верхней гранью. Значит
. Таким образом, все точные верхние грани множества
равны друг другу, т.е. существует не больше одной точной верхней грани.