Совпадение теорем

[Sinoid]

Здравствуйте! Скажите, пожалуйста, вот если условие теоремы представляет из себя конъюнкцию нескольких предложений, то будет ли множество противоположных от обратных теорем совпадать со множеством обратных от противоположных теорем? Я вот рассмотрел случай условия из двух предложений, так если я не ошибся, второе множество является собственным подмножеством первого (они не совпадают). Прав ли я?

[maxmatem]

можно конкретный пример

[пианист]

Разве то и другое не будет $\{\neg b \Rightarrow \neg a_1, \neg b \Rightarrow \neg a_2\}$?
(Теорема, имеется в виду, $(a_1\&a_2) \Rightarrow b$.)
Или что это за множества такие?

[Someone]

Если прямая теорема — $A\Rightarrow B$, то обратная имеет вид $B\Rightarrow A$. Конкретный вид $A$ и $B$ здесь не важен.

То есть, теорема, обратная $C_1\& C_2\Rightarrow B$, имеет вид $B\Rightarrow C_1\& C_2$.

[Sinoid]

maxmatem в сообщении #1146656 писал(а):

можно конкретный пример

Пожалуйста. Итак, вот теорема $a_{1}\wedge a_{2}\rightarrow b$. Представлю ее тремя равносильными способами:

$$\begin{equation}a_{1}\wedge a_{2}\rightarrow b\cong a_{1}\rightarrow(a_{2}\rightarrow b)\cong a_{2}\rightarrow(a_{1}\rightarrow b)\end{equation}$$

Получается, что противоположными теоремами для теоремы (1) будут такие: $\neg a_{1}\vee\neg a_{2}\rightarrow \neg b$, $\neg a_{1}\rightarrow a_{2}\wedge \neg b$, $\neg a_{2}\rightarrow a_{1}\wedge \neg b$ и, соответственно, теоремами, обратными для противоположных, будут такие теоремы: $\neg b\rightarrow\neg a_{1}\vee\neg a_{2}$, $a_{2}\wedge\neg b\rightarrow\neg a_{1}$, $a_{1}\wedge\neg b\rightarrow\neg a_{2}$, все они тождественны друг другу, что хорошо. Давайте, чтобы легче было понимать, я обратные теоремы поделю на две группы. К первой группе я отнесу такие: $b\rightarrow a_{1}\wedge a_{2}$, $(a_{2}\rightarrow b)\rightarrow a_{1}$, $(a_{1}\rightarrow b)\rightarrow a_{2}$. У этих теорем обратные такие: $\neg b\rightarrow\neg a_{1}\vee\neg a_{2}$, $a_{2}\wedge\neg b\rightarrow\neg a_{1}$, $a_{1}\wedge\neg b\rightarrow\neg a_{2}$, что совпадает с теоремой, полученной выше. А вот обратные теоремы второй группы: $a_{1}\rightarrow(b\rightarrow a_{2})\cong a_{1}\wedge b\rightarrow a_{2}$ и $a_{2}\rightarrow(b\rightarrow a_{1})\cong a_{2}\wedge b\rightarrow a_{1}$ имеют такие противоположные теоремы: у первой теоремы их 2: $\neg a_{1}\rightarrow b\wedge\neg a_{2}$ и $\neg a_{1}\vee\neg b\rightarrow\neg a_{2}$; у второй теоремы их тоже 2: $\neg a_{2}\rightarrow b\wedge\neg a_{1}$ и $\neg a_{2}\vee\neg b\rightarrow\neg a_{1}$. Но ведь эти теоремы не совпадают с единственной теоремой, обратной для противоположных, полученной выше.

[Someone]

Кстати, ещё есть противоположная теорема. Если у нас есть теорема $A\Rightarrow B$, то противоположной будет теорема $\neg A\Rightarrow\neg B$.

В частности, противоположной теореме $C_1\& C_2\Rightarrow B$ будет теорема $\neg(C_1\& C_2)\Rightarrow\neg B$, то есть, $\neg C_1\vee\neg C_2\Rightarrow\neg B$.

В классической логике противоположная теорема равносильна обратной.

P.S. Символ "$\&$" имеет тот же смысл, что "$\wedge$".

-- Пт авг 26, 2016 15:26:29 --

Sinoid
Пока писал, ещё одно ваше сообщение появилось. Какую-то ерунду Вы написали. Нет никакого "множества обратных теорем", обратная теорема одна.

[mihaild]

Если "обратная теорема" - это синтаксическое преобразование выражения вида $A \rightarrow B$, то оно неустойчиво к эквивалентным преобразованиям.
$((\top \rightarrow A) \rightarrow B) \leftrightarrow (\top \rightarrow (A \rightarrow B))$, но обратной к первой будет (после эквивалентных преобразований) $B \rightarrow A$, а ко второй - $\top$.
Так что такое преобразование можно применять только к формулам, но не к классам эквивалентных формул.

[Sinoid]

Someone в сообщении #1146753 писал(а):

Какую-то ерунду Вы написали. Нет никакого "множества обратных теорем", обратная теорема одна.

Да это-то я в глубине понимаю, хочу разобраться, но, с другой стороны, вот теорема

Sinoid в сообщении #1146751 писал(а):

$$\begin{equation}a_{1}\wedge a_{2}\rightarrow b\cong a_{1}\rightarrow(a_{2}\rightarrow b)\cong a_{2}\rightarrow(a_{1}\rightarrow b)\end{equation}$$

почему наряду с такой обратной теоремой

Sinoid в сообщении #1146751 писал(а):

: $b\rightarrow a_{1}\wedge a_{2}$

я не могу считать обратной для теоремы (1) такую:

Sinoid в сообщении #1146751 писал(а):

$(a_{2}\rightarrow b)\rightarrow a_{1}$

? А ведь это совершенно разные формулы.

[mihaild]

Sinoid, сформулируйте, пожалуйста, определение "теоремы", которым вы хотите пользоваться, и совместимое с ним определение "обратной теоремы".
Если вы хотите считать, что $a_{1}\wedge a_{2}\rightarrow b$ и $a_{1}\rightarrow(a_{2}\rightarrow b)$ - это одна и та же теорема, то определение Someone обратной теоремы не подходит.

[Sinoid]

mihaild в сообщении #1146771 писал(а):

Sinoid, сформулируйте, пожалуйста, определение "теоремы", которым вы хотите пользоваться, и совместимое с ним определение "обратной теоремы".

Эти определения совпадают с определениями, данными Someone. Правда, там противоположная и обратная теоремы, определенные Someone, называются аккуратнее - утверждениями, а вот утверждение, обратное противоположному утверждению (для теоремы), уже называется теоремой (обратной противоположной).

[mihaild]

Sinoid, тогда $a_{1}\wedge a_{2}\rightarrow b$ и $a_{1}\rightarrow(a_{2}\rightarrow b)$ - это разные теоремы, и нет ничего удивительного в том, что обратные к ним - тоже разные. Т.е. эквивалентные преобразования теоремы не сохраняют обратную теорему даже с точностью до эквивалентности.

[arseniiv]

Да тут проблема вроде как не в этом. Я не понял, откуда взялись

Sinoid в сообщении #1146751 писал(а):

обратные теоремы второй группы: $a_{1}\rightarrow(b\rightarrow a_{2})\cong a_{1}\wedge b\rightarrow a_{2}$ и $a_{2}\rightarrow(b\rightarrow a_{1})\cong a_{2}\wedge b\rightarrow a_{1}$

Кто сказал, что можно переворачивать внутренние импликации? Внешняя одна, остальные иррелевантны.

[Sinoid]

mihaild в сообщении #1146878 писал(а):

Sinoid, тогда $a_{1}\wedge a_{2}\rightarrow b$ и $a_{1}\rightarrow(a_{2}\rightarrow b)$ - это разные теоремы, и нет ничего удивительного в том, что обратные к ним - тоже разные.

А тогда почему в одном из учебников приводится такое


решение такой задачи: Для каждой из следующих теорем найдите все теоремы, т.е. верные утверждения, обратные и противоположные ей (если они есть и теорему, противоположную обратной:
а) Если $a=0$ и $b=0$, то $a^2+b^2=0$ ($a$ и $b$-действительные числа)?

[Someone]

Чтобы не было путаницы, давайте мы всё-таки будем записывать теорему в виде $A_1,A_2,\ldots,A_n\vdash B$, где $A_1,A_2,\ldots,A_n$ — посылки теоремы, а $B$ — её заключение. Эта запись означает, что высказывание (формула) $B$ выводима из высказываний $A_1,A_2,\ldots,A_n$. Кроме посылок, в выводе могут использоваться правила вывода и аксиомы, которых много (аксиомы и правила вывода исчисления высказываний, аксиомы и правила вывода исчисления предикатов, аксиомы равенства, собственно математические аксиомы = аксиомы предметной теории), и которые обычно не указываются в списке посылок. Случай $n=0$ не исключается, то есть, теорема может не иметь посылок: $\vdash B$; в таком случае $B$ выводится из аксиом.

Собственно, $A_1,A_2,\ldots,A_n\vdash B$ тогда и только тогда, когда $A_1\wedge A_2\wedge\ldots\wedge A_n\vdash B$, и тогда и только тогда, когда $\vdash(A_1\wedge A_2\wedge\ldots\wedge A_n)\Rightarrow B$. Но если первая и вторая теоремы имеют один и тот же смысл, то смысл третьей теоремы явно отличается от первых двух: её посылки (которых нет) явно не равносильны посылкам первой и второй теорем, и заключение третьей теоремы отличается от заключения первой и второй.

Заметим, что посылки первой и второй теорем равносильны, так как $A_1,A_2,\ldots,A_m\vdash A_1\wedge A_2\wedge\ldots\wedge A_n$, и $A_1\wedge A_2\wedge\ldots\wedge A_n\vdash A_k$ для всех $k\in\{1,2,\ldots,n\}$.

Вы хотите рассмотреть теоремы $A_1\wedge A_2\vdash B$ и $A_1\vdash A_2\Rightarrow B$. Эти теоремы явно имеют разный смысл, поскольку их посылки и заключения не равносильны. Обратные к ним, естественно, также различны: $B\vdash A_1\wedge A_2$ и $A_2\Rightarrow B\vdash A_1$.

P.S. Символ "$\vdash$" принадлежит алфавиту метатеории (языку исследователя), поэтому содержащие его выражения не являются формулами предметной теории.

Sinoid в сообщении #1146897 писал(а):

А тогда почему в одном из учебников приводится такое

Что это за учебник такой?

[arseniiv]

Sinoid
Странные дела. У обычного определения (единственного) обратного утверждения можно найти обоснование:

Someone в сообщении #1146753 писал(а):

В классической логике противоположная теорема равносильна обратной.

которое не работает для букета обратных утверждений, определяемого в цитате, потому что они, как там же и сказано, не равносильны.