Доказательство неверности теоремы Кантора

[mihaild]

Alexeev_Andrey в сообщении #1143643 писал(а):

Для начала, натуральные числа бывают конечные и (вот она сила отрицания, заполняющая собой все в полноте!) и неконечные, бесконечные

Это - уже не натуральные числа. Термин "натуральные числа" прочно занят одной конкретной структурой (точнее двумя - с нулем и без нуля).

Alexeev_Andrey в сообщении #1143643 писал(а):

Для обозначения бесконечности и значок существует $\infty$

Да, и иногда мне кажется, что лучше бы этого значка не было:) Слишком уж многое им обозначают в разных случаях.

Alexeev_Andrey в сообщении #1143643 писал(а):

$\{…0, 0, 0, 1\}$

А это что такое? Если у вас бесконечные последовательности, то последнего элемента нет. Если более сложные структуры (например, пары последовательностей) - то об этом нужно сказать.
Вообще, вы, видимо, хотите ввести какое-то обобщение натуральных чисел. Для этого нужно, например
-аккуратно определить, что будет носителем
-определить арифметику (сложение и умножение)
-показать, что какое-то подмножество ваших "натуральных чисел" изоморфно обычным натуральным числам
-(очень желательно) показать, что какие-то "полезные" свойства натуральных чисел у вас сохраняются (например, что есть индукция, или вполне упорядоченность, или что-то еще)

Alexeev_Andrey в сообщении #1143643 писал(а):

тогда рассмотрим все точки на одной полоске квадрата, что вдоль оси y и представляет континуальный интервал, ей на прямой должна соответствовать некая непрерывность

Не знаю, что такое "непрерывность", но, судя по корню, что-то связанное с топологией - и нет, биекция между квадратом и отрезком не обязана как-то согласовываться с топологией.
(даже соответствующая теорема есть: "отображение: 1) непрерывно 2) биективно 3) сохраняет размерность - выбирайте любые два")

[Someone]

(Оффтоп)

Alexeev_Andrey в сообщении #1143643 писал(а):

…

Господи, какое же нагромождение безграмотного бреда!

[Alexeev_Andrey]

mihaild в сообщении #1143669 писал(а):

Это - уже не натуральные числа. Термин "натуральные числа" прочно занят одной конкретной структурой (точнее двумя - с нулем и без нуля).

Да, согласен, в конце я и пишу в итоге, что это ненатуральные числа (что и так понятно). А термин ввожу – бесконечно большие натуральные числа (вроде, корректно), ибо связаны с они натуральными числами, потому что бывают и бОльшие величины, коль множество подмножеств всегда больше по величине. Да это и так понятно, что вводимые мной числа - не натуральные-конечные. И в общем-то я даю четкое определение, как их строить. Но о формализме с обозначениями я подумаю.

mihaild в сообщении #1143669 писал(а):

Да, и иногда мне кажется, что лучше бы этого значка не было:) Слишком уж многое им обозначают в разных случаях.

Согласен, что разное подразумевается.

mihaild в сообщении #1143669 писал(а):

А это что такое? Если у вас бесконечные последовательности, то последнего элемента нет. Если более сложные структуры (например, пары последовательностей) - то об этом нужно сказать.
Вообще, вы, видимо, хотите ввести какое-то обобщение натуральных чисел. Для этого нужно, например
-аккуратно определить, что будет носителем
-определить арифметику (сложение и умножение)
-показать, что какое-то подмножество ваших "натуральных чисел" изоморфно обычным натуральным числам
-(очень желательно) показать, что какие-то "полезные" свойства натуральных чисел у вас сохраняются (например, что есть индукция, или вполне упорядоченность, или что-то еще)

$\{…0, 0, 0, 1\}$ - это я так попытался обозначить конец бесконечно строящегося множества, некорректно, поспешил, у меня формализм не поспевает за идеей. Да, формализмом я займусь, просто стихийно пока выразил идею. Сложение же и умножение бесконечно больших натуральных чисел определяется как сложение и умножение бесконечных рядов по членам.

mihaild в сообщении #1143669 писал(а):

Не знаю, что такое "непрерывность", но, судя по корню, что-то связанное с топологией - и нет, биекция между квадратом и отрезком не обязана как-то согласовываться с топологией.
(даже соответствующая теорема есть: "отображение: 1) непрерывно 2) биективно 3) сохраняет размерность - выбирайте любые два")

Да, про топологию я уже осознал. Просто не понятно, почему неверно: между счетным числом равных интервалов и вещественной прямой существует биекция (как композиция счетного числа биекций интервалов), прямо укладываем интервалы вдоль вещественной прямой. Берем квадрат, рассматриваем его несчетное число (вертикальных) интервалов. Между каждым (вертикальным) интервалом из квадрата и каким-то пусть одинаковым по длине, равной единице, интервалом на прямой также существует биекция. Возьмем счетное число (вертикальных) интервалов на квадрате и рассмотрим биекцию с прямой как композицию счетного числа биекций между счетным числом интервалов квадрата и прямой. Куда девать несчетное число интервалов? Я просто хочу понять, где здесь ошибка. Над доказательством про биекцию квадрата и интервала с впихиванием координат в разложение я подумаю. То есть мы как бы растворяем квадрат в прямой...

-- 15.08.2016, 15:32 --

Someone в сообщении #1143680 писал(а):

(Оффтоп)

Alexeev_Andrey в сообщении #1143643 писал(а):

…

Господи, какое же нагромождение безграмотного бреда!

Проявите свой грамотный ум! Пока вижу (-1).

-- 15.08.2016, 15:48 --

arseniiv в сообщении #1143656 писал(а):

Нет. Если $|A\times B| = |A\times B'|$, это не означает $|B| = |B'|$.

(Мощность континуума обозначается $\mathfrak c$ (код видно, если навести мышку на формулу), а $\mathbb C$ — это практически везде множество комплексных чисел.)

Я постараюсь быть более корректным, я вместо $\mathbb C$ имел ввиду просто $C$, произвольное непрерывное континуальное множество (от слова континуум).

Я правильно понял, что под $|A|$ вы понимаете просто мощность множества? То есть если я счетное множество умножаю на континуальное множество, что равно континуальному множеству, то по мощности это может быть также, если я одно континуальное множество умножу на другое континуальное? Ну это следует из доказательства, что интервал равномощен квадрату, я бы хотел досконально это понять на примерах.

[mihaild]

Alexeev_Andrey в сообщении #1144192 писал(а):

Но о формализме с обозначениями я подумаю.

Alexeev_Andrey в сообщении #1144192 писал(а):

у меня формализм не поспевает за идеей

А попробуйте сначала формализовать хотя бы до уровня, чтобы можно было начать разбираться.

Еще один вариант - задать аксиомами, какие именно свойства вы хотите от вашей структуры. Потом надо будет проверять существование структуры с данными свойствами, но это уже более понятно, как делать.

Можете попробовать почитать про ординалы - возможно, вы их пытаетесь придумать?

Alexeev_Andrey в сообщении #1144192 писал(а):

Сложение же и умножение бесконечно больших натуральных чисел определяется как сложение и умножение бесконечных рядов по членам.

То есть вы хотите рассмотреть формальные ряды $\sum_{n=0}^\infty x_i 2^n, x_i \in \{0, 1\}$? (натуральные числа естественным образом отождествляются с такими рядами с конечным числом ненулевых членов)
Теперь надо определить сложение и умножение для случая бесконечного числа ненулевых членов.

Alexeev_Andrey в сообщении #1144192 писал(а):

Возьмем счетное число (вертикальных) интервалов на квадрате и рассмотрим биекцию с прямой как композицию счетного числа биекций между счетным числом интервалов квадрата и прямой. Куда девать несчетное число интервалов?

Добро пожаловать в мир бесконечных множеств, где множество может быть равномощно собственному подмножеству - и более того, его можно разбить даже на бесконечное число множеств, равномощных ему самому (в данном случае - даже на несчетное).
Т.е. ошибки в том, что можно "небольшим куском" квадрата "замостить" прямую нет - действительно можно. Ошибка в том, что из этого еще не следует, что точками прямой нельзя замостить весь квадрат.

[Someone]

Alexeev_Andrey в сообщении #1144192 писал(а):

Проявите свой грамотный ум! Пока вижу (-1).

К сожалению, пока не вижу ничего осмысленного, так что повода проявлять "грамотный ум" не вижу. Вижу какие-то "бесконечно большие натуральные числа" и "бесконечно малые рациональные числа", причём, ни то, ни другое не определяется. В стандартной математике ни того, ни другого просто нет.

Кстати, а Вы знаете определение конечного множества?

Alexeev_Andrey в сообщении #1144192 писал(а):

я бы хотел досконально это понять на примерах.

Попробуйте в качестве примера разобраться с кривой Пеано (непрерывное отображение отрезка на квадрат). Вдруг поймёте.

И категорически не советую представлять себе прямую, на которой точки стоят как соприкасающиеся кегли. Это ложный образ, ведущий в тупик. Если же кегли — не точки, то тем более.

Alexeev_Andrey в сообщении #1143643 писал(а):

Действительно, если мы рассмотрим интервал $(0, 1)$, и возьмем его $n$ раз, то это просто можно биективно отобразить на интервал $n\cdot (0,1)$, равный $(0, n)$.

Я не понял, как Вы из $n$ интервалов $(0,1)$ получаете один интервал $(0,n)$. Это можно сделать, но несколько нетривиально. Поясните свою мысль.

Alexeev_Andrey в сообщении #1143643 писал(а):

А далее $n$ счетно можно устремить к бесконечности.

Устремление $n\to\infty$, вообще говоря, никакой биекции не даёт, её нельзя получить как предел биекций, о которых Вы пишете (но не предъявляете) в предыдущей цитате.

[arseniiv]

Alexeev_Andrey в сообщении #1144192 писал(а):

Я правильно понял, что под $|A|$ вы понимаете просто мощность множества?

Да.

[Alexeev_Andrey]

Продолжу начатое ранее, уцепившись за бесконечно большое натуральное число, которое я строго определил, и числа определил как указал mihaild в виде бесконечных сумм степеней двоек с множителем 0 или 1 (а бесконечно малые рациональные числа определил как бесконечные суммы степеней $\frac1 2$ с множителем 0 или 1, то есть просто как бесконечные двоичные разложения некоторых вещественных чисел, - по-моему, все предельно просто):

1. $N(10)$ - самое большое бесконечное число в десятичном разложении также равно $(-1)$. А именно $10 \cdot N(10) = 10 \cdot (9+9^2+9^3+...) =$ $(1+9) \cdot (9+9^2+9^3...) = 9+9^2+9^3+... + 9^2+9^3... = N(10) - 9$, то есть $N(10) = -1$. Легко проверить, что это верно для любого основания, значит максимально большое бесконечное натуральное (да, как естественное расширение конечного натурального ряда) число не зависит от способа представления. Также и иные не зависят от представления.

И теперь фокус: $N(2)+1 = 1+1+2+2^2+2^3... = 2+2+2^2+2^3... =$ $2(1+1+2+2^2+2^3...) = 2(1+N(2))$. Отсюда следует, что $N(2)+1=2+2N(2)$, следовательно также $N(2)=-1$! То есть как ни крути! А тогда $N(2)+1 = 0$. Ничто. Начало пути... начало всего натурального ряда сначала... $N(2)+2 = 1 = 2+1+2+2^2+2^3... = 1+ 2+2+2^2+2^3...=$ $1+(2^2+2^2+2^3... )$. Удивительно, сумма в скобках просто исчезает, коллапсируется, вот он математический коллапс!.. Удивительно, вот самоколапсирующаяся сумма: $2+2+2^2+2^3...= 0.!$

Так как бесконечные натуральные числа не зависят от представления, то обозначим $max(N) = max(\infty)=m(N)=m(\infty)= -1.$
Тогда $(1+ m(\infty))=1+9+9 \cdot 10+9 \cdot 10^2+9 \cdot 10^3+…= $ $10+9 \cdot 10+9 \cdot 10^2+9 \cdot 10^3=$ $10^3+9 \cdot 10^3+… = 0$. Удивительно! То есть мы имеем строго положительную исчезающую, коллапсирующую на глазах сумму, - мистика! Это верно и для любого натурального основания системы представления чисел.

Тогда хорошо известные и красивые формулы можно записать и так:

$e^{\pi i} = m(\infty)$

$ i^2 = m(\infty)$

То есть числа слева равны максимуму натуральной бесконечности.

Итог: бесконечность натурального ряда оказывается закольцованной(!), упираясь прямо в $0$. И вот оно: если к максимально большому натуральному числу добавить $1$, то есть попытаться сделать его еще больше на $1$, как естественно строится натуральный ряд, то мы получаем $N(2)+1 = 0$, то есть ничто. Если добавить еще $1$, то числовой натуральный ряд у нас начинается с начала. Удивительно, натуральная бесконечность закольцована через бесконечно большие числа, которых континуум, то есть через континуум.

Просто функция $2^n$ растет намного круче в буквальном смысле, чем просто линейная функция n, которая не поспевает за ней. Все мы помним задачу о шахматах и зернах…

Мы также имеем еще интересное соотношение $N(2) \cdot N(2) = (- 1) \cdot (-1) = (1+2+2^2+2^3...)(1+2+2^2+2^3...) = 1$
То есть $1+2+2^2+2^3...$
$ + 2+2^2+2^3...$
$ + 2^2+2^3...$
$... = 1$.
Что имеет диагональную симметрию, то есть равно можно суммировать по диагонали.
Можно также проверить, что $1/$максимально бесконечно большое число = максимально бесконечно большое число.

2. Задача о кеглях уже свидетельствует нам, что в Природе существует только не более чем счетное число натуральных тел, то есть Все в природе счетно. Бесконечную делимость мы и сама Природа не можем организовать в силу отрицания, в силу того, что мы находимся во вторичной реальности, которая есть отрицание первичной базовой. А именно в первичной, базовой, постоянной идеальности есть делимость до бесконечности, при переходе во вторичную ее нет, при интегральном переходе (ну это я разъясню позже, как строится мироздание, кратко: от постоянно идеальной – к переменчивой материальной), то есть мы имеем уже множество натуральных тел строго положительной длины.
Наш мир натурален, состоит из счетного числа предметов.
Мы живем в мире тел, поэтому мы не можем делить до бесконечности, то есть до точек тела. Это следует из-за того, что мы в отрицании находимся во вторичной, материальной реальности.

Для любого хоть бесконечно малого тела существует $N$ (натуральное), что длина $1/N$ меньше длины этого тела. Что равносильно, что любое разбиение бесконечности на тела счетно. Меня даже самого этот результат несколько удивил! То есть, во всей Вселенной может существовать только не более чем счетное число натуральных тел, вещей. То есть, все звезды исчислимы, количество песка исчислимо, все исчислимо, все счетно. Бесконечность же представляет единое материальное, протяженное тело, которое дискретно разбивается на непрерывные тела. Пространство же между отдельными твердыми телами можно мыслить себе как облачные тела, обтекающие остальные предметы. Тогда как каждое тело как единица, как целостность представляет собой некую непрерывность, существование, интеграл (интегральную целостность).
Само понятие натуральный ряд – от слова натура, свидетельствует о счете натуральных величин, материальных тел. Сущность натуральной бесконечности в том, что в ней может существовать не более чем счетное число тел.

3. 1/3 - плохая рациональная дробь с точки зрения делимости, она скорее иррациональная, ибо при делении $1$ или $10$ на $3$ кто-то всегда оказывается обижен, мы не можем точно разделить на 3 целостность. Хотя в троичной системе счисления дробь и выглядит как $0,1$. Здесь дело в делимости... Причем основание системы счисления говорит о том, на скольких будет делиться предмет. Не важно, что дробь выглядит как рациональное число, она неконечна в двоичной системе счисления, ибо повторюсь, кто-то всегда будет обижен при делении целостности на $3$, и все время придется мельчить. (Поэтому, соображая на троих, всегда кому-то достанется меньше).

4. Мое доказательство гипотезы континуума, основанное на представлении того, что континуальность связана с непрерывностью, а все дискретные множества счетны, рассыпалось в Канторову пыль... Действительно, Канторово множество есть континуальное дискретное множество. Оно как раз показывает, что континуальность не связана с непрерывностью, оно и строится как удаление всякой непрерывности из интервала, где остаются дискретные точки. Причем это множество строится по программе $2^n$, а именно берется интервал с двумя конечными границами, добавляется в него еще две точки, получается три интервала, один выкидывается, в два оставшихся еще по две точки добавляется, то есть $4=2^2$, и т.д. То есть по программе $2^n$, это как раз программа построения всех подмножеств любого множества с числом элементов n. Эта же программа $2^n$ есть программ построения просто множества непрерывных точек на интервале, то есть самого интервала. А именно берем интервал, наносим одну точку на него, делим пополам, получаем $2$ интервала, каждый делим пополам, получаем $2^2 = 4$ интервала, далее каждый делим пополам, получаем $8$ и т.д., в результате мы при переходе к бесконечному счетному числу итераций получим все вещественные числа на интервале. Ибо двоичная система и есть не что иное как деление пополам всюду и тем самым получение в конце концов зажиманием всех вещественных точек.

Также, подобно Канторову множеству можно строить, добавляя на одной итерации сколько угодно точек и выкидывая половину интервалов, тогда мы будем иметь некий полином по каким-то конечным элементам, не обязательно по $2$, а по $3, 4, 5$ и т.д. То есть сразу много интервалов добавлять и выкидывать половину интервалов подобно построению Канторова множества. И в конце концов будем получать дискретный континуум.

Но вот что мне не нравится в этом, так это то, что какое-то (дырявое) дискретное множество оказывается во взаимно-однозначном соответствии с непрерывным. То есть будто это одно и то же. Но это все равно, что говорить о пыли и целом предмете, теле. Вот такую вот подлость подложил мне континуум... (я думал так, что дискретные – счетные множества, непрерывные же получаются при отрицании дискретности интегрированием, вместе с чем связно счетность переходит в несчетность, но оказалось, что бывают дискретные континуальные, то есть такие, что если вы будете пытаться их склеить по одному разу, то вам и вечности не хватит!). Поэтому я ввожу понятие "тельности" множества, а именно - величину непрерывных тел, которым может быть представлено множество. То есть три непрерывных интервала - множество тельности $3$, то есть имеет три непрерывных, односвязных тела.
Так вот с точки зрения тельности, один интервал - это одно тело, имеющее положительную длину, а множество Кантора - континуум тел, да даже не тел, а выродившихся тел, состоящее из континуума точек, дискретной пыли от тела, где мера-длина каждой точки равна $0$, то есть и сумма мер равна $0$, а не $1$, $1$-це по мере длины равна выкинутая непрерывность. Хоть эти множества и биективны получаются?! Кстати, с точки зрения топологии, если, к примеру, перейти в $3$-мерное пространство, то бублик и шар - разные тела, разные множества, а с точки зрения тельности - одинаковые, ибо они оба односвязные (непрерывные).

Заметим, если два тела имеют хотя бы одну общую точку, то они представляют одно тело, типа сросшиеся тела. А, например, интервал и полузамкнутый интервал с выколотой точкой соприкосновения - разные тела, ибо у них нет общей точки, точки связности, что устанавливает непрерывность. Ну вот с точки зрения тел, интервал неравномощен квадрату, ибо в одном одно тело, а в квадрате континуум тел с точки зрения одномерности. А с точки зрения двухмерности, квадрат - это одно тело. Вся бесконечность – одно тело, интервал – одно тело, они биективны и однотельны. Два непересекающихся интервала и бесконечность биективны, но разнотельны.

Тельность характеризует непрерывность, связность, интегральную целостность, то есть однотельность. Ну, то есть тельность – односвязность.

P. S. Если кто может подскажите, как поставить пробелы в данном техе, чтобы сдвинуть формулу на любую длину от левого края, и как правильнее переносить формулы, нигде не нашел?

[Xaositect]

То, что Вы написали в первом пункте, хорошо известно. Ваши "бесконечные числа" называются $2$-адическими числами (частный случай $p$-адических чисел).

[mihaild]

Alexeev_Andrey в сообщении #1144224 писал(а):

а бесконечно малые рациональные числа определил как бесконечные суммы степеней $\frac1 2$ с множителем 0 или 1

Вот с ними такой трюк не пройдет - если у вас есть единица хотя бы в одном разряде, то получающаяся сумма уже отделена от нуля.

Так что у вас всё-таки является носителем - функции $\mathbb{N} \to \{0, 1\}$ или $\mathbb{Z} \to \{0, 1\}$? (в смысле, последовательности бесконечны в обе стороны, или только в одну?)

Далее, как вы для этих последовательностей определяете сложение и умножение? И как вы собираетесь в таком виде задавать $-1$?
Чтобы говорить о делении, нужно сначала определить умножение.

(начиная с пункта 2 понять, про что вы, невозможно совсем)

[Reload]

Alexeev_Andrey
Ваша тема называется неверно, поскольку Вы пытаетесь не доказать неверность теоремы Кантора, а изменить представление о множестве и построить новую теорию, в рамках которой эта теорема возможно и не обязана выполняться.

[Alexeev_Andrey]

Someone в сообщении #1144199 писал(а):

Кстати, а Вы знаете определение конечного множества?

Конечные множества – это множества, содержащие конечное число элементов, равное какому-то конечному натуральному числу, чему соответствуют бесконечные последовательности 0 и 1, у которых конечное число единиц.

Someone в сообщении #1144199 писал(а):

И категорически не советую представлять себе прямую, на которой точки стоят как соприкасающиеся кегли. Это ложный образ, ведущий в тупик. Если же кегли — не точки, то тем более.

Определение тельности множества – количество дискретных тел, из которого состоит множество.
Определение тела:
1. Односвязно, непрерывно.
2. Имеет меру, большую ноля.

Точки я не мыслю себе как ряд кегль, ибо среди точек нет двух соседних, то есть они, если располагаются непрерывно, то связны между собой. Я ранее полагал, что дело в связности, что континуальность – это очень много и дело в непрерывности. Ибо все счетные множества на прямой – дискретны. А все непрерывные – континуальные. Но оказалось, что есть дискретные континуальные. То есть количество точек, мощность множества не связана напрямую с топологией множества. Но зато натуральный ряд можно мыслить себе как ряд кегль, где тела имеют строго положительную длину и конечные или бесконечные границы, и оказываются по границам соседними.

Важное уточнение к счетности тел в Природе. Если в ряду подобных тел есть тело с минимальными размерами, например, песчинка с минимальным размером, то множество песчинок счетно. А так… Время умеет менять нашу реальность до сколь угодно малых частиц. Не случайно и самого маленького строго положительного числа не существует. Все в Природе материальное меняется вплоть до идеальных, неизменных точек Евклидова пространства, что представляет константу, если угодно постоянную идеальную систему координат. То есть нет никаких неделимых, предельных, неизменных атомов, частиц… (равно как нет строго положительных атомов-частот времени). То есть все в Природе меняется на непрерывном уровне. Это доказывается для материальных частиц так: если бы такая неизменная частица существовала, то она представляла бы собой некий неизменный абсолют, но наша вторичная, материальная реальность есть как отрицание идеального абсолюта и потому всюду изменчива. Подобным образом доказывается и про кванты времени, что время непрерывно, а не дискретно-квантовано (это очень подробно рассматривается в моем философском сочинении, которое пока пишется и не отредактировано точно, то есть содержит, наверняка, еще ошибочные утверждения, как здесь на форуме у меня содержатся ошибки, что я для себя исправляю и исправляю в главе по математике).

arseniiv в сообщении #1144212 писал(а):

Я не понял, как Вы из $n$ интервалов $(0,1)$ получаете один интервал $(0,n)$. Это можно сделать, но несколько нетривиально. Поясните свою мысль.

Интервал $(0, n)$ можно представить как объединение единичных полуинтервалов с замкнутой правой границей и последнего открытого интервала, а именно $(0, n) = (0, 1](1, 2] … (n-2, n-1](n-1,n ).$ Имеется биекция между $(0, 1)$ и $(0, 1]:$ точка $\frac{1}{2^{(n+1)}}$ переходит в точку $\frac {1}{2^n}$, для $n=0,1, 2$ и т.д., все остальные точки остаются на месте. Подобным образом строятся биекции между интервалом $(0, 1)$ и другими полуинтервалами вплоть до $(n-2, n-1]$, при этом используя еще и сдвиг на соответствующее натуральное число вплоть до n-2. Ну и между последними интервалами просто – это просто сдвиг на $n-1$ всех точек. Тогда композиция биекций представляет требуемую биекцию.
Просто от добавления одной точки или счетного числа точек континуум не изменится, то есть мощность сохраняется, а значит и должна быть биекция, что уже дело техники. Главное, что это континуальные множества.

Xaositect в сообщении #1144227 писал(а):

То, что Вы написали в первом пункте, хорошо известно. Ваши "бесконечные числа" называются $2$-адическими числами (частный случай $p$-адических чисел).

Про $p$-аддические числа – это вы верно заметили. $2$ – аддические – да. Но $2$ – исключительное число в простом ряду, оно одно простое четное. В общем $p$-аддические числа для простых $p$ – это формальная конструкция, и строится в теории чисел для простых $p$. Наше двоичное представление – да, является частным случаем $p$-адического ряда, для $p=2$.
Вот в журнале «Квант» (жаль, что этот журнал как-то канул в лету что ли) даже статья есть http://kvant.mccme.ru/1979/02/2--adicheskie_chisla.htm, а упражнение $8$ как раз приводит удивительное соотношение, но как-то как рядовое, формальное, не давая ему интерпретации, не сознавая, что это есть максимум натурально бесконечно больших чисел! Мы же строим прямо из жизни, исходя из натурального ряда, естественно расширяя его до бесконечно больших чисел, если угодно $2$-аддических чисел. Но замечаем, что вместо простого $p$ есть и (уже ставшее естественное разложение) по степеням $10$ - десятичное представление, и что самое бесконечно большое в этом разложении также равно $-1$. Равно вообще для любого конечного $p$, не обязательно простого, но конечного натурального числа, самое натурально бесконечно большое число равно $-1$. И что это есть вообще конец бесконечности расширения натурального ряда, ее предел.
В вышеприведенной статье «Кванта» отмечаются два важных факта, что обычная рациональная дробь имеет периодический ей соответствующий $2$-аддический ряд из $0$ и $1$. И что «хорошие» обычные рациональные дроби, то есть имеющие этот ряд конечным выглядят как $\frac{m}{2^k}$, для натуральных $m$ и $k$. А все остальные «плохие» имеют бесконечный $2$-аддический ряд.

mihaild в сообщении #1144237 писал(а):

(начиная с пункта 2 понять, про что вы, невозможно совсем)

Ну не расстраивайте меня совсем... $3$ - ий пункт можно выкинуть, он неверен, в конце неверна фраза "тогда квадрат будет равномощен отрезку" - тоже выкинуть, словно "равномощен" здесь не уместно, если какая-то фраза не понята, то задавайте обязательно вопрос, ибо мне самому важно для уточнения, понимания и разъяснения.

[Karan]

Alexeev_Andrey в сообщении #1144499 писал(а):

Конечные множества – это множества, содержащие конечное число элементов, равное какому-то конечному натуральному числу, чему соответствуют бесконечные последовательности 0 и 1, у которых конечное число единиц.

Неверно или неточно. Что такое "число элементов" и каким оно может быть, если не конечным?

Alexeev_Andrey в сообщении #1144499 писал(а):

Но $2$ – исключительное число в простом ряду, оно одно простое четное.

Ничего исключительного тут нет. Точно так же $3$ - это единственное простое число, делящееся на $3$. Просто для четности в естественном языке есть отдельное слово, а для делимости на 3 нет.

-- 16.08.2016, 14:45 --

Alexeev_Andrey в сообщении #1144499 писал(а):

упражнение $8$ как раз приводит удивительное соотношение, но как-то как рядовое, формальное, не давая ему интерпретации, не сознавая, что это есть максимум натурально бесконечно больших чисел!

Соотношение, конечно, интересное, но оно на самом деле достаточно рядовое - показывает, что в новой структуре есть противоположные элементы.
И слово "максимум" здесь не очень уместно - оно подразумевает порядок, а порядок на $p$-адических числах надо еще определить. А его желательно определить так, чтобы он имел какое-то отношение к сложению - сумма положительных чисел должна быть положительной. Это непросто сделать, но можно, и при этом $1 + 2 + 2^2 + \dots$ будет меньше нуля и всех натуральных чисел, так что не будет никаким максимумом.

[Xaositect]

Alexeev_Andrey в сообщении #1144224 писал(а):

Но вот что мне не нравится в этом, так это то, что какое-то (дырявое) дискретное множество оказывается во взаимно-однозначном соответствии с непрерывным. То есть будто это одно и то же. Но это все равно, что говорить о пыли и целом предмете, теле. Вот такую вот подлость подложил мне континуум... (я думал так, что дискретные – счетные множества, непрерывные же получаются при отрицании дискретности интегрированием, вместе с чем связно счетность переходит в несчетность, но оказалось, что бывают дискретные континуальные, то есть такие, что если вы будете пытаться их склеить по одному разу, то вам и вечности не хватит!). Поэтому я ввожу понятие "тельности" множества, а именно - величину непрерывных тел, которым может быть представлено множество. То есть три непрерывных интервала - множество тельности $3$, то есть имеет три непрерывных, односвязных тела.

В этой равномощности, собственно, все различие между теорией множеств и топологией. Теория множеств не предполагает никакой связи между точками множества, никак не различает непрерывные и дискретные множества. Для такого различия на множестве должны быть дополнительная структура - топология. Ваши "непрерывные тела" в топологии называются связными множествами, а "тельность" - количеством связных компонент. Используйте общепринятую терминологию (и изучите ее для этого), тогда Вас будет гораздо легче понимать.

[Karan]

И вообще, не надо говорить о философии и о природе, это здесь оффтопик. Как я понимаю, Вам объяснили, что Ваше доказательство неверно, и Вы с этим согласились. Если хотите обсуждать $p$-адические числа или что еще - откройте другую тему.

[Someone]

Alexeev_Andrey в сообщении #1144499 писал(а):

Важное уточнение к счетности тел в Природе.

В природе нет никакой "счётности тел". Математика вообще изучением природы не занимаются, это прерогатива других наук: физики, астрономии, химии, биологии… Математика изучает логические структуры. А логические структуры не существуют как физические объекты.

Alexeev_Andrey в сообщении #1144499 писал(а):

Конечные множества – это множества, содержащие конечное число элементов, равное какому-то конечному натуральному числу, чему соответствуют бесконечные последовательности 0 и 1, у которых конечное число единиц.

В современной теории множеств конечным называется множество, равномощное какому-нибудь натуральному числу. Причём, натуральные числа определяются тоже в теории множеств, но раньше. В частности, никаких "бесконечных натуральных чисел" нет по определению.

Alexeev_Andrey в сообщении #1144499 писал(а):

Определение тельности множества – количество дискретных тел, из которого состоит множество.
Определение тела:
1. Односвязно, непрерывно.
2. Имеет меру, большую ноля.

Меня так и подмывает спросить, что значит "односвязно". Сделаем экскурс в гомотопическую топологию? Или ограничимся собственно теорией множеств, в которой такие понятия, как связность, односвязность, непрерывность и мера не существуют? Поэтому ваше понятие "тела" в теории множеств не определено.

Главное же — то, что множества состоят не из ваших "тел", а из элементов, которые, кстати, часто называют точками, причём, совершенно независимо от их природы.

Alexeev_Andrey в сообщении #1144192 писал(а):

Сложение же и умножение бесконечно больших натуральных чисел определяется как сложение и умножение бесконечных рядов по членам.

Для каких рядов?
ВотXaositect упомянул $2$-адические числа, Вы обрадовались и ухватились, и даже не подозреваете, что операции в множестве $2$-адических чисел определяются не так, как для рядов (Вы ещё должны уточнить, какие ряды Вы имели в виду).

С "бесконечными натуральными числами" тоже не всё так просто. Среди $2$-адических чисел нет бесконечных. Более того, если в двоичной записи действительного числа более значимые разряды находятся слева, а чем правее, тем меньшую значимость имеет разряд, то для $2$-адических чисел всё наоборот: самые значимые разряды — правые, а чем левее, тем меньше значимость разряда. Поэтому добавление всё новых разрядов слева не увеличивает число "до бесконечности".

И Вы можете сказать, какое из двух $2$-адических чисел больше: $\ldots 101010$ или $\ldots 010101$? Предполагается, что в обоих числах "до бесконечности" чередуются цифры $0$ и $1$.

Alexeev_Andrey в сообщении #1144499 писал(а):

то очень подробно рассматривается в моем философском сочинении

Очередной хвилозóф явился на форум, чтобы вправить мозги профессиональным математикам.

Лучше не позорьтесь. Когда читаешь ваши сообщения, видишь подряд безграмотную бредятину. Исправить её беседами на форуме вряд ли возможно. Я даже не возьмусь всё это комментировать. Лучше всё бросьте. Если Вас интересует теория множеств, надо взять учебник и разбираться.
Впрочем, всё зависит от того, насколько далеко это у Вас зашло.
По моему опыту, профаны, способные отказаться от своей бредятины, встречаются крайне редко, а подавляющее большинство продолжают нести чушь, начисто игнорируя любые доводы и объяснения. Их темы переносят в Пургаторий, объявляют предупреждения за злокачественное невежество, в конце-концов блокируют.