проблема со степенью

[Lia]

knizhnik

knizhnik в сообщении #1143496 писал(а):

Школу закончил. Все началось с вопроса $(-1)^{\sqrt{2}}=?$

Если "школу закончил" - это полная информация о Вашей подготовке, то ответ на Ваш вопрос был дан mihailm

mihailm в сообщении #1143446 писал(а):

Отрицательные числа можно возводить только в целую степень - выражение просто не определено

Все остальные слова, формулы и прочее рассказывают студентам 2-3 курсов математических факультетов. Когда (если) Вы там будете - узнаете обязательно. Сейчас это преждевременно и лишнее.

При большом желании можете заняться самостоятельной подготовкой, как Вам уже сообщили, только учтите, что это не изолированный курс. Чтобы как следует понять его, нужно еще изучить другие.

Пока же ограничьтесь данным Вам выше ответом mihailm, именно так на школьном уровне он и звучит.

[knizhnik]

Цитата:

Вроде, это не так уж неожиданно

Я говорю о случае $(-1)^{\sqrt{2}}=?$ и о той попытке рассмотреть два варианта.

[arseniiv]

knizhnik в сообщении #1143496 писал(а):

Все началось с вопроса $(-1)^{\sqrt{2}}=?$

Напомните, пожалуйста, определение степени с вещественным показателем. (Пока что допустим, что определение степени с рациональным известно.)

knizhnik в сообщении #1143496 писал(а):

Слышал, что $i=\sqrt{-1}$, что квадратное уравнение всегда имеет решения.

Это в комплексных числах. Только вот не всегда надо области определений операций максимально расширять, да и невозможно это, потому что вместо того чтобы переходить к комплексным числам, мы можем перейти, скажем, к многочленам с вещественными коэффициентами. Чтобы рассматривать именно их как расширение $\mathbb R$, причины найдутся, да и сами по себе вещественные числа часто то, что надо. И пускай над ними не все квадратные уравнения имеют решения — счастье не всегда в этом.

[knizhnik]

Цитата:

Напомните, пожалуйста, определение степени с вещественным показателем.

Не знаю. Я использовал свойство степени в доказательстве и пришел к противоречию. Но это свойство, как утверждается, не работает и его нельзя использовать. Или можно?

[Lia]

knizhnik
Вы сперва $(-8)^{2/3}$ посчитайте, раз так хочется что-то считать. Вполне так на школьном уровне. Никаких тебе комплексных чисел.

-- 12.08.2016, 03:07 --

knizhnik в сообщении #1143509 писал(а):

Но это свойство, как утверждается, не работает и его нельзя использовать.

Нельзя, поскольку вообще нельзя возводить отрицательные числа в нецелые степени. Операция не определена.

[mihaild]

knizhnik в сообщении #1143509 писал(а):

Не знаю

Тогда Вы содержательно использовали обозначение $a^b$ как обозначение некоторой функции $f(a, b)$ со свойствами $f(-1, \frac{1}{2}) = i, f(1, \frac{1}{4}) = 1, f(s, pq) = f(f(s, p), q)$. И успешно доказали, что функции с такими свойствами не существует.

UPD: и еще что $f(-1, 2) = 1$ используется, конечно.

[Lia]

knizhnik в сообщении #1143509 писал(а):

Не знаю. Я использовал свойство степени в доказательстве и пришел к противоречию. Но это свойство, как утверждается, не работает и его нельзя использовать. Или можно?

Если спросить еще пару раз, думаете, станет можно?

[knizhnik]

Цитата:

Напомните, пожалуйста, определение степени с вещественным показателем. (Пока что допустим, что определение степени с рациональным известно.)

По крайней мере, я могу предложить способ на положительной части. Допустим, определение с рациональным показателем известно. Значит всегда можно возвести число в рациональную степень. Кроме того, для вещественных чисел мы должны знать способ посчитать его до любого знака после запятой. Ясно, что например число $0.10110111\ldots$ иррационально. Рассмотрим следующую цепочку вычислений:
$2^0=1$
$2^{0.1}=1.071 \ldots
$2^{0.1011}=1.0725909 \ldots
$2^{0.10110111}=1.072591785826 \ldots
$2^{0.1011011101111}=1.072591785908 \ldots
Понятно, что какие то цифры в записи числа на каком-то этапе мы можем гарантировать. По крайней мере первые несколько. Значит в той мере, в какой мы увеличиваем последовательность цифр $0.10110111\ldots$, настолько точно мы вычисляем вещественную степень. Наверное так все это работает.

[Lia]

knizhnik в сообщении #1143523 писал(а):

Рассмотрим следующую цепочку вычислений:

А точное определение Вас не затруднит привести, для положительных оснований? Для него вполне достаточно школьных сведений.

[knizhnik]

Цитата:

А точное определение Вас не затруднит привести, для положительных оснований? Для него вполне достаточно школьных сведений.

У нас не было этого определения. Может я что-то пропустил, но в любом случае затруднит. Вот сейчас я открыл Выгодского и не вижу в нем определения степени с вещественным показателем для положительных оснований. Между тем ясно, что все эти вопросы выходят далеко за рамки любой помощи и не способствуют ей. Я теряю здесь время.

[Mihr]

(Оффтоп)

knizhnik в сообщении #1143539 писал(а):

Я теряю здесь время.

Гм... Однако...

[Lia]

knizhnik в сообщении #1143539 писал(а):

Я теряю здесь время.

В таком случае, мы тем более.
Поскольку рамки затребованной Вами помощи далеко превосходят те базовые знания, на которые Вы в данный момент можете опереться. Форум не может заменить собой несколько учебников.

[mihaild]

knizhnik в сообщении #1143539 писал(а):

Между тем ясно, что все эти вопросы выходят далеко за рамки любой помощи и не способствуют ей

Вы задаете вопрос, которого не понимаете. Для того, чтобы понять, с какого именно места вы не понимаете, нужно разобраться, что вы понимаете.

Понятие вещественной степени даже с положительным основанием нетривиально (Lia, т.к. в школе обычно не вводится определение вещественного числа, то для "точного определения" школьных сведений недостаточно). Понятие комплексной степени - еще сложнее, и прежде чем думать о нем, нужно разобраться с вещественной степенью.

knizhnik в сообщении #1143539 писал(а):

Я теряю здесь время

Вот это скорее правда. Почитать учебники, а потом спрашивать, обычно полезнее, чем наоборот (точнее лучше итерироваться - и раз вам интересны степени, но вы не можете сформулировать определение степени с положительным вещественным основанием - сейчас должна быть стадия чтения).

[knizhnik]

Цитата:

Форум не может заменить собой несколько учебников.

Цитата:

Почитать учебники

Каких учебников? Вот давали ссылки на введение в комплексный анализ. Это то, что мне стоит прочитать, чтоб разобраться? Или в первую очередь какие-то другие книги?

[arseniiv]

Для определения вещественной степени и самих вещественных чисел, скорее всего, подойдёт любой учебник матанализа. Предварительных требований для них тоже обычно нет. В этом посте несколько: http://dxdy.ru/post773886.html#p773886.