2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 проблема со степенью
Сообщение11.08.2016, 20:17 


11/08/16

312
$(-1)^\frac{2}{4}=(-1)^\frac{1}{2}=\sqrt{-1}=i$, но $(-1)^\frac{2}{4}=\sqrt[4]{(-1)^2}=\sqrt[4]{1}=1$
Почему не совпадает, и в чем ошибка? По-моему все выполнено верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: проблема со степенью
Сообщение11.08.2016, 20:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
5015
knizhnik, ошибка в том, что Вы смешиваете арифметический корень с алгебраическим степени $n$ (который $n$-значен). А знак арифметического корня в подобной записи вообще не употребляется (если быть корректным).

 Профиль  
                  
 
 Re: проблема со степенью
Сообщение11.08.2016, 20:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9153
Цюрих
Ошибка в переходе $(-1)^{\frac{2}{4}} = \left((-1)^2\right)^\frac{1}{4}$.
(ну и еще в том, что корень многозначный, но это в данном случае вторично)

 Профиль  
                  
 
 Re: проблема со степенью
Сообщение11.08.2016, 20:35 
Заслуженный участник


02/08/11
7003
knizhnik в сообщении #1143412 писал(а):
Почему не совпадает, и в чем ошибка?
Если символом $\sqrt{}$ вы обозначаете арифметический корень, то ошибка в том, что он (для чётных степеней) определён только на положительных числах, соответственно $\sqrt {-1}$ не существует. Если же символом радикала вы обозначаете алгебраический корень, то главная ошибка в том, что вы неправильно нашли, чему равен $\sqrt[4]1$, В общем, почитайте что-нибудь про извлечение корней из комплексных чисел и возведение их к нецелую степень.

 Профиль  
                  
 
 Re: проблема со степенью
Сообщение11.08.2016, 20:40 


11/08/16

312
Цитата:
Ошибка в переходе $(-1)^{\frac{2}{4}} = \left((-1)^2\right)^\frac{1}{4}$.
Свойство степени $(s^p)^q=s^{pq}$ позволяет выносить за скобки. Вынесем за скобки $\frac{1}{4}$. Дальше всё, как у меня написано в начале.

 Профиль  
                  
 
 Re: проблема со степенью
Сообщение11.08.2016, 20:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9153
Цюрих
knizhnik в сообщении #1143422 писал(а):
Свойство степени $(s^p)^q=s^{pq}$ позволяет выносить за скобки

Это свойство в комплексной плоскости не выполняется.

 Профиль  
                  
 
 Re: проблема со степенью
Сообщение11.08.2016, 21:06 


11/08/16

312
Цитата:
Это свойство в комплексной плоскости не выполняется.
Тогда что же делать? Некоторое время назад я попытался вычислить, чему равно число $(-1)^\sqrt{2}$. Если операция возведения замкнута в арифметике вещественных чисел, то результат должен быть вещественным числом. Гипотетических варианта два: $(-1)^{\sqrt{2}}=-1$ или $(-1)^{\sqrt{2}}=1$. Предположим первый вариант:
$(-1)^{\sqrt{2}}=-1$
Тогда обе части можно возвести в ту же степень:
$((-1)^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}=(-1)^{\sqrt{2}}$, но
$(-1)^{(\sqrt{2}\cdot{\sqrt{2}})}=(-1)^{(\sqrt{2}^{2})}=(-1)^2=1$
Получаем противоречие. Для второго варианта противоречия не получается. Но если свойство это неверное, тогда и доказательство мое неверное. А как тогда правильно решить? А что тогда за число $(-1)^\pi$? Что за число $(-1)^e$? Помогите понять правильно операцию.

 Профиль  
                  
 
 Re: проблема со степенью
Сообщение11.08.2016, 21:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
5015
knizhnik, оба Ваших предположения неверные. Попробуйте воспользоваться формулой Эйлера.

 Профиль  
                  
 
 Re: проблема со степенью
Сообщение11.08.2016, 21:18 


11/08/16

312
Я не знаю такой формулы.

 Профиль  
                  
 
 Re: проблема со степенью
Сообщение11.08.2016, 21:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
5015
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0 ... 1%80%D0%B0

 Профиль  
                  
 
 Re: проблема со степенью
Сообщение11.08.2016, 21:38 


13/07/10
106
knizhnik
Вам стоит обратиться к основам комплексного анализа. Судя по всему, Вы не знакомы с понятием многозначности функции, ветвлениях, аналитических продолжениях и тд.
Если по делу, то значение (а точнее, множество значений) $\sqrt[4]{1}$ корректно определять корнем уравнения $x^4=1$. Легко убедиться, что кроме 1, также $i=\sqrt{-1}$ является корнем. Ваша проблема в том, что Вы выбираете не ту ветвь функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: проблема со степенью
Сообщение11.08.2016, 22:00 


11/08/16

312
Цитата:
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0
Не могу применить, не знаю, как применить. Я эту формулу впервые вижу. Формула выглядит так: $e^{ix}=\cos x+i\sin x$. Мой пример выглядит так: $(i^2)^{\sqrt{2}}$. Может и есть тут аналогия, но для меня неочевидная.
Цитата:
Вам стоит обратиться к основам комплексного анализа. Судя по всему, Вы не знакомы с понятием многозначности функции, ветвлениях, аналитических продолжениях и тд.
Тогда что нужно читать?

 Профиль  
                  
 
 Re: проблема со степенью
Сообщение11.08.2016, 22:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
5015
knizhnik в сообщении #1143443 писал(а):
Не могу применить, не знаю, как применить.

Положите $x=\pi$.

 Профиль  
                  
 
 Re: проблема со степенью
Сообщение11.08.2016, 22:03 


19/05/10

3940
Россия
Отрицательные числа можно возводить только в целую степень - выражение просто не определено

 Профиль  
                  
 
 Re: проблема со степенью
Сообщение11.08.2016, 22:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4846
mihailm в сообщении #1143446 писал(а):
Отрицательные числа можно возводить только в целую степень - выражение просто не определено

Если не выходить в комплексную плоскость, то да. Если выходить, то возводить можно и в дробную, но результат будет не однозначный. Что касается $(-1)^{\sqrt{2}}$, то у этого выражения на самом деле аж бесконечно много значений. Из-за этого, наверное, в иррациональную степень отрицательные и комплексные числа возводить, и впрямь, не стоит без крайней необходимости)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 58 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: confabulez


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group