2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 
Сообщение16.04.2008, 22:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18035
Москва
zoo писал(а):
И так, всякая последовательность в компактном пространстве имеет предельную точку,


Ну да, я об этом писáл.

zoo писал(а):
а Вы хотите сказать, что последовательность может не содержать подпоследовательности, сходящейся к этой предельной точке? Так я понял?


Совершенно верно. Мы ведь не метрические пространства обсуждаем.

Но раз уж Вы книжку нашли, то посмотрите в ней и пример 3.10.38.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.04.2008, 22:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3835
zoo писал(а):
И так, всякая последовательность в компактном пространстве имеет предельную точку

Предельная точка последовательности (частичный предел) и предельная точка множества - разные вещи.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.04.2008, 00:12 
Аватара пользователя


02/04/08
742
Someone писал(а):

Совершенно верно. Мы ведь не метрические пространства обсуждаем.


понял, и чтобы не было таких извращений пространство должно быть секвенциальным T_1 пространством. Мнда. Ваши замечания конечно совершенно справедливы и я кое-что новое и интересное узнал. В дифференциальных уравнениях, которыми я занимаюсь мне с такими пространствами сталкиваться не приходилось.


RIP писал(а):
zoo писал(а):
И так, всякая последовательность в компактном пространстве имеет предельную точку

Предельная точка последовательности (частичный предел) и предельная точка множества - разные вещи.

а Вы это к чему?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.04.2008, 00:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3835
Я к тому, что если множество значений последовательности бесконечно, то, по приведённой теореме, это множество значений будет иметь предельную точку, но эта точка не обязана быть предельной точкой последовательности (у нас в матане предельная точка последовательности определялась как предел некоторой подпоследовательности).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.04.2008, 00:31 
Аватара пользователя


02/04/08
742
RIP писал(а):
Я к тому, что если множество значений последовательности бесконечно, то, по приведённой теореме, это множество значений будет иметь предельную точку, но эта точка не обязана быть предельной точкой последовательности (у нас в матане предельная точка последовательности определялась как предел некоторой подпоследовательности).

а у нас, как точка любая окрестность которой содержит все члены последовательности начиная с некоторого номера

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.04.2008, 01:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3835
zoo писал(а):
RIP писал(а):
Я к тому, что если множество значений последовательности бесконечно, то, по приведённой теореме, это множество значений будет иметь предельную точку, но эта точка не обязана быть предельной точкой последовательности (у нас в матане предельная точка последовательности определялась как предел некоторой подпоследовательности).

а у нас, как точка любая окрестность которой содержит все члены последовательности начиная с некоторого номера

Вот и Википедия пишет.
Я, конечно, понимаю, что Википедия не истина в последней инстанции, но... Честное слово, эту статью писал не я. :lol:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.04.2008, 06:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
zoo писал(а):
а у нас, как точка любая окрестность которой содержит все члены последовательности начиная с некоторого номера
Тогда у вас предельная точка последовательности - это просто синоним слов "предел последовательности", чего быть не должно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.04.2008, 08:47 
Аватара пользователя


02/04/08
742
Brukvalub писал(а):
zoo писал(а):
а у нас, как точка любая окрестность которой содержит все члены последовательности начиная с некоторого номера
Тогда у вас предельная точка последовательности - это просто синоним слов "предел последовательности", чего быть не должно.

я хотел сказать, что любая окрестность предельной точки содержит члены данной последовательности, просто время было позднее, но то, что Вы нашли, что добавить лишь на этом этапе разговора говорит о многом

Добавлено спустя 3 минуты 59 секунд:

RIP писал(а):
zoo писал(а):
RIP писал(а):
Я к тому, что если множество значений последовательности бесконечно, то, по приведённой теореме, это множество значений будет иметь предельную точку, но эта точка не обязана быть предельной точкой последовательности (у нас в матане предельная точка последовательности определялась как предел некоторой подпоследовательности).

а у нас, как точка любая окрестность которой содержит все члены последовательности начиная с некоторого номера

Вот и Википедия пишет.
Я, конечно, понимаю, что Википедия не истина в последней инстанции, но... Честное слово, эту статью писал не я. :lol:

я допустил очевидную ошибку в определении, просто уже плохо соображал, а в чем проблема с википединей, там же не сказано, что содержатся ВСЕ члены? разве то, что там написано не эквивалентно Вашему определению? Если да то почему?
кстати, в уже цитированной книжке написано, что предельная точка фильтра, это та, которая принадлежит замыканию каждого элемента этого фильтра, если построить элементарный фильтр по данной последовательности то получится то, что в википедии

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.04.2008, 14:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3835
zoo писал(а):
разве то, что там написано не эквивалентно Вашему определению?

Эквивалентно. Так я и привёл ссылку для того, чтобы показать, что моё определение похоже на правду.

Хм, я вот тут подумал (бывает со мной и такое). В числовом случае, конечно, эквивалентно, а так ли это в произвольном топологическом пространстве? Чё-то не могу сообразить.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.04.2008, 15:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
zoo писал(а):
я хотел сказать, что любая окрестность предельной точки содержит члены данной последовательности, просто время было позднее, но то, что Вы нашли, что добавить лишь на этом этапе разговора говорит о многом
zoo писал(а):
я допустил очевидную ошибку в определении, просто уже плохо соображал,
Хотел сказать, не хотел сказать, время было сначала раннее, а потом слишком позднее.... - такие дешевые отмазки после столь грубых ошибок говорят не просто о многом, а обо всем!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.04.2008, 16:10 
Аватара пользователя


02/04/08
742
RIP писал(а):
Хм, я вот тут подумал (бывает со мной и такое). В числовом случае, конечно, эквивалентно, а так ли это в произвольном топологическом пространстве? Чё-то не могу сообразить.

В произвольном я так понимаю, что нет, как Someone нас тут научил, сходящейся подпоследовательностиможет и не быть.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.04.2008, 19:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18035
Москва
RIP писал(а):
у нас в матане предельная точка последовательности определялась как предел некоторой подпоследовательности


Вероятно, речь шла всё-таки о числовых последовательностях.
В Википедии такое определение:

Цитата:
Предельной точкой числовой последовательности называется точка, в любой окрестности которой содержатся элементы последовательности со сколь угодно большими номерами.


Такое же определение будет в любом топологическом пространстве, но, в отличие от числовых последовательностей (или последовательностей в метрических пространствах), эта предельная точка не обязана быть пределом какой-нибудь сходящейся подпоследовательности.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.04.2008, 23:09 


14/04/08
25
Someone писал(а):
Цитата:
Предельной точкой числовой последовательности называется точка, в любой окрестности которой содержатся элементы последовательности со сколь угодно большими номерами.
Такое же определение будет в любом топологическом пространстве, но, в отличие от числовых последовательностей (или последовательностей в метрических пространствах), эта предельная точка не обязана быть пределом какой-нибудь сходящейся подпоследовательности.
Числовые последовательности (или последовательности в метрических пространствах) - это, в Вашем случае последовательности в топологических пространствах, удовлетворяющих первой аксиоме счетности (система окрестностей любой точки обладает счётной базой). Именно в таких (и только таких) ТП у последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к предельной точке.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.04.2008, 01:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18035
Москва
Salvador писал(а):
Числовые последовательности (или последовательности в метрических пространствах) - это, в Вашем случае последовательности в топологических пространствах, удовлетворяющих первой аксиоме счетности (система окрестностей любой точки обладает счётной базой). Именно в таких (и только таких) ТП у последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к предельной точке.


Вообще-то, у RIPа речь шла, как я понял, о курсе математического анализа, а там обычно рассматриваются числовые последовательности или последовательности в метрических пространствах.
Что же касается случая произвольных топологических пространств, то возможность выделить в множестве последовательность, сходящуюся к (каждой) предельной точке этого множества, определяет класс пространств Фреше - Урысона (а если хотя бы к какой-нибудь предельной точке множества - то класс секвенциальных пространств). Это более широкий класс пространств, чем пространства с первой аксиомой счётности.

Р.Энгелькинг. Общая топология. Москва, "Мир", 1986.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.04.2008, 01:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3835
Блин, лучше бы я не писал это злосчастное замечание. :lol: На самом деле, я уже не уверен, что такое определение я взял именно из курса матана (там, видимо, употреблялись слова "частичный предел", хотя и в этом я уже не уверен, а термин "предельная точка" я почерпнул из какого другого места).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 45 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group