несложная задача о группах Ли

[zoo]

доказать, что для любого элемента $g\in G$ комактной группы Ли $G$ и любой окрестности единицы $U\subseteq G$ существует число $n\in \mathbb{N}$ такое, что $g^n\in U$.

[nim]

Рассмотрим окрестность единицы V=V^{-1}\subset G, такую что V\cdot V\subset U.
Из компактности какие-то два множества g^kV и g^lV пересекаются.
Отсюда все и следует.

[zoo]

nim писал(а):

Рассмотрим окрестность единицы V=V^{-1}\subset G, такую что V\cdot V\subset U.

а почему такая окрестность существует?

nim писал(а):

Из компактности какие-то два множества g^kV и g^lV пересекаются.

про то, почему пересекаются можно по-подробнее

[zoo]

это упрощенная версия задачи http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=13405

имеется действительная ортогональная матрица $A,\quad A^TA=E$. Доказать, что для любого $\varepsilon>0$ существует $n\in \mathbb{N}$ такое что $\|A^n-E\|<\varepsilon$.

[Руст]

Ортогональная матрица в некотором базисе приводится к блочному (по диагонали) виду с блоками $\binom{\cos\phi_i \ \ \sin\phi_i}{-\sin\phi_i \ \ \cos\phi_i}$ и возможно с одним отражением - блок (-1) на диагонали. Можно найти чётные целые n, так чтобы $\{\frac{n\phi_i}{2\pi}\}$ было сколь угодно близко к целому, что и решает проблему.

[zoo]

я это собсна для затравки предложил, а главное это конечно
http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=13405
хотя, тоже не сложно

[maxal]

zoo, не плодите похожие темы! Если речь идет о частных случаях одной задачи, пишите в той же теме. Темы объединены.

[Salvador]

А почему собственно компактная группа Ли, а не компактная топологическая группа? Или я что-то упустил из виду?..

[nim]

zoo писал(а):

а почему такая окрестность существует?

из-за непрерывности умножения

Цитата:

про то, почему пересекаются можно по-подробнее

если не пересекаются, то (G\setminus \bigcup_{k=1}^\infty g^kV)\cdot V,\ gV, g^2V,\dots - бесконечное покрытие, из которго нельзя выбрать конечного подпокрытия

[zoo]

Salvador писал(а):

А почему собственно компактная группа Ли, а не компактная топологическая группа? Или я что-то упустил из виду?..

у Вас есть доказательство для космпактной тоаологической?

Добавлено спустя 47 минут 2 секунды:

nim писал(а):

из-за непрерывности умножения

приведите, пожалуйста, формальное доказательство

nim писал(а):

если не пересекаются, то (G\setminus \bigcup_{k=1}^\infty g^kV)\cdot V,\ gV, g^2V,\dots - бесконечное покрытие, из которго нельзя выбрать конечного подпокрытия

Вы хотите сказать, что $(G\setminus \bigcup_{k=1}^\infty g^kV)\cdot V=V$? Если да, то почему? И почему это покрытие?

[Salvador]

zoo писал(а):

у Вас есть доказательство для космпактной топологической?

Но ведь то доказательство, которое привел nim, как раз и есть доказательство для компактной топологической группы $G$. Кроме непрерывности групповых операций мы ничем больше не пользуемся.

[Юстас]

Можно из последовательности степеней $g^n $выбрать сходящуюся подпоследовательность $n_k$ и посмотреть на $\lim g^{n_k} \times\lim g^{-{n_{k-1}}}$, откуда все следует.

[zoo]

Юстас писал(а):

Можно из последовательности степеней $g^n $выбрать сходящуюся подпоследовательность $n_k$ и посмотреть на $\lim g^{n_k} \times\lim g^{-{n_{k-1}}}$, откуда все следует.

прошу прощения, я опять вынужден настаивать на формальном доказательстве

[Юстас]

Пусть $g^{n_k}\to h$(подпоследовательность существует из-за компактности), тогда $\lim\limits_{k\to \infty}g^{n_{k+1}-n_k}=\lim g^{n_{k+1}}\left(\lim g^{n_k}\right)^{-1}=e$, где равенства верны в силу непрерывности операций группы.

[zoo]

Юстас писал(а):

Пусть $g^{n_k}\to h$(подпоследовательность существует из-за компактности), тогда $\lim\limits_{k\to \infty}g^{n_{k+1}-n_k}=\lim g^{n_{k+1}}\left(\lim g^{n_k}\right)^{-1}=e$, где равенства верны в силу непрерывности операций группы.

да, понял, спасибо, все оказалось еще проще, чем я думал