несложная задача о группах Ли

[Someone]

zoo писал(а):

И так, всякая последовательность в компактном пространстве имеет предельную точку,

Ну да, я об этом писáл.

zoo писал(а):

а Вы хотите сказать, что последовательность может не содержать подпоследовательности, сходящейся к этой предельной точке? Так я понял?

Совершенно верно. Мы ведь не метрические пространства обсуждаем.

Но раз уж Вы книжку нашли, то посмотрите в ней и пример 3.10.38.

[RIP]

zoo писал(а):

И так, всякая последовательность в компактном пространстве имеет предельную точку

Предельная точка последовательности (частичный предел) и предельная точка множества - разные вещи.

[zoo]

Someone писал(а):

Совершенно верно. Мы ведь не метрические пространства обсуждаем.

понял, и чтобы не было таких извращений пространство должно быть секвенциальным T_1 пространством. Мнда. Ваши замечания конечно совершенно справедливы и я кое-что новое и интересное узнал. В дифференциальных уравнениях, которыми я занимаюсь мне с такими пространствами сталкиваться не приходилось.

RIP писал(а):

zoo писал(а):

И так, всякая последовательность в компактном пространстве имеет предельную точку

Предельная точка последовательности (частичный предел) и предельная точка множества - разные вещи.

а Вы это к чему?

[RIP]

Я к тому, что если множество значений последовательности бесконечно, то, по приведённой теореме, это множество значений будет иметь предельную точку, но эта точка не обязана быть предельной точкой последовательности (у нас в матане предельная точка последовательности определялась как предел некоторой подпоследовательности).

[zoo]

RIP писал(а):

Я к тому, что если множество значений последовательности бесконечно, то, по приведённой теореме, это множество значений будет иметь предельную точку, но эта точка не обязана быть предельной точкой последовательности (у нас в матане предельная точка последовательности определялась как предел некоторой подпоследовательности).

а у нас, как точка любая окрестность которой содержит все члены последовательности начиная с некоторого номера

[RIP]

zoo писал(а):

RIP писал(а):

Я к тому, что если множество значений последовательности бесконечно, то, по приведённой теореме, это множество значений будет иметь предельную точку, но эта точка не обязана быть предельной точкой последовательности (у нас в матане предельная точка последовательности определялась как предел некоторой подпоследовательности).

а у нас, как точка любая окрестность которой содержит все члены последовательности начиная с некоторого номера

Вот и Википедия пишет.
Я, конечно, понимаю, что Википедия не истина в последней инстанции, но... Честное слово, эту статью писал не я.

[Brukvalub]

zoo писал(а):

а у нас, как точка любая окрестность которой содержит все члены последовательности начиная с некоторого номера

Тогда у вас предельная точка последовательности - это просто синоним слов "предел последовательности", чего быть не должно.

[zoo]

Brukvalub писал(а):

zoo писал(а):

а у нас, как точка любая окрестность которой содержит все члены последовательности начиная с некоторого номера

Тогда у вас предельная точка последовательности - это просто синоним слов "предел последовательности", чего быть не должно.

я хотел сказать, что любая окрестность предельной точки содержит члены данной последовательности, просто время было позднее, но то, что Вы нашли, что добавить лишь на этом этапе разговора говорит о многом

Добавлено спустя 3 минуты 59 секунд:

RIP писал(а):

zoo писал(а):

RIP писал(а):

Я к тому, что если множество значений последовательности бесконечно, то, по приведённой теореме, это множество значений будет иметь предельную точку, но эта точка не обязана быть предельной точкой последовательности (у нас в матане предельная точка последовательности определялась как предел некоторой подпоследовательности).

а у нас, как точка любая окрестность которой содержит все члены последовательности начиная с некоторого номера

Вот и Википедия пишет.
Я, конечно, понимаю, что Википедия не истина в последней инстанции, но... Честное слово, эту статью писал не я.

я допустил очевидную ошибку в определении, просто уже плохо соображал, а в чем проблема с википединей, там же не сказано, что содержатся ВСЕ члены? разве то, что там написано не эквивалентно Вашему определению? Если да то почему?
кстати, в уже цитированной книжке написано, что предельная точка фильтра, это та, которая принадлежит замыканию каждого элемента этого фильтра, если построить элементарный фильтр по данной последовательности то получится то, что в википедии

[RIP]

zoo писал(а):

разве то, что там написано не эквивалентно Вашему определению?

Эквивалентно. Так я и привёл ссылку для того, чтобы показать, что моё определение похоже на правду.

Хм, я вот тут подумал (бывает со мной и такое). В числовом случае, конечно, эквивалентно, а так ли это в произвольном топологическом пространстве? Чё-то не могу сообразить.

[Brukvalub]

zoo писал(а):

я хотел сказать, что любая окрестность предельной точки содержит члены данной последовательности, просто время было позднее, но то, что Вы нашли, что добавить лишь на этом этапе разговора говорит о многом

zoo писал(а):

я допустил очевидную ошибку в определении, просто уже плохо соображал,

Хотел сказать, не хотел сказать, время было сначала раннее, а потом слишком позднее.... - такие дешевые отмазки после столь грубых ошибок говорят не просто о многом, а обо всем!

[zoo]

RIP писал(а):

Хм, я вот тут подумал (бывает со мной и такое). В числовом случае, конечно, эквивалентно, а так ли это в произвольном топологическом пространстве? Чё-то не могу сообразить.

В произвольном я так понимаю, что нет, как Someone нас тут научил, сходящейся подпоследовательностиможет и не быть.

[Someone]

RIP писал(а):

у нас в матане предельная точка последовательности определялась как предел некоторой подпоследовательности

Вероятно, речь шла всё-таки о числовых последовательностях.
В Википедии такое определение:

Цитата:

Предельной точкой числовой последовательности называется точка, в любой окрестности которой содержатся элементы последовательности со сколь угодно большими номерами.

Такое же определение будет в любом топологическом пространстве, но, в отличие от числовых последовательностей (или последовательностей в метрических пространствах), эта предельная точка не обязана быть пределом какой-нибудь сходящейся подпоследовательности.

[Salvador]

Someone писал(а):

Цитата:

Предельной точкой числовой последовательности называется точка, в любой окрестности которой содержатся элементы последовательности со сколь угодно большими номерами.

Такое же определение будет в любом топологическом пространстве, но, в отличие от числовых последовательностей (или последовательностей в метрических пространствах), эта предельная точка не обязана быть пределом какой-нибудь сходящейся подпоследовательности.

Числовые последовательности (или последовательности в метрических пространствах) - это, в Вашем случае последовательности в топологических пространствах, удовлетворяющих первой аксиоме счетности (система окрестностей любой точки обладает счётной базой). Именно в таких (и только таких) ТП у последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к предельной точке.

[Someone]

Salvador писал(а):

Числовые последовательности (или последовательности в метрических пространствах) - это, в Вашем случае последовательности в топологических пространствах, удовлетворяющих первой аксиоме счетности (система окрестностей любой точки обладает счётной базой). Именно в таких (и только таких) ТП у последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к предельной точке.

Вообще-то, у RIPа речь шла, как я понял, о курсе математического анализа, а там обычно рассматриваются числовые последовательности или последовательности в метрических пространствах.
Что же касается случая произвольных топологических пространств, то возможность выделить в множестве последовательность, сходящуюся к (каждой) предельной точке этого множества, определяет класс пространств Фреше - Урысона (а если хотя бы к какой-нибудь предельной точке множества - то класс секвенциальных пространств). Это более широкий класс пространств, чем пространства с первой аксиомой счётности.

Р.Энгелькинг. Общая топология. Москва, "Мир", 1986.

[RIP]

Блин, лучше бы я не писал это злосчастное замечание. На самом деле, я уже не уверен, что такое определение я взял именно из курса матана (там, видимо, употреблялись слова "частичный предел", хотя и в этом я уже не уверен, а термин "предельная точка" я почерпнул из какого другого места).