Напряжённость электрического поля распределённого заряда

[Metford]

USAglobal в сообщении #1141184 писал(а):

Уже и Mathematica установил для помощи

Если Вы хотите тяжёлую артиллерию использовать для задачи про кольцо, то это Вы зря. Там всё прекрасно руками считается. Впрочем, вольному - воля.

[Munin]

USAglobal в сообщении #1141176 писал(а):

Вы меня последними словами про сложность математического аппарата натолкнули на мысль, что, возможно физики и всякие техники потому и говорят каждый раз про разбиение чего-либо на бесконечно малые, чтобы не возиться с математическим аппаратом (то есть функциями).

Нет.

Просто вы думаете, что разбиение на бесконечно малые - это что-то другое, не функции. На самом деле, это всё грани математического анализа. Никакого "избегания функций" в физике нет, напротив - это главный инструмент и объект исследования.

USAglobal в сообщении #1141176 писал(а):

Они это дело не очень любят. Им проще объяснять про бесконечно малые участки (кусочки) чего либо и потом это интегрально складывать.

Нет. Просто физика идёт "вперёд" математики при преподавании. Часто физикам нужна какая-то математика, а на предмете "математика" - это расскажут ещё только через полгода, или через год, или даже через 3, 5, 6 лет! (Есть и такие примеры.)

Поэтому в учебниках физики часто пытаются объяснить ту же самую математику:
- вкратце;
- "на пальцах", без пространных формулировок;
- без доказательств и без точных формулировок, "на физическом уровне строгости".
Всё это происходит просто потому, что объясняеть приходится заранее.

Но на самом деле, это всё та же самая серьёзная математика.

[USAglobal]

Решить простую задачку с заряженым тонким кольцом удалось. Ниже привожу решение:
Дано кольцо. На кольце дан заряд $Q$. На расстоянии $a$ от него по центру расположена точка, в которой измеряется напряжённость $\vec{E}$.
Так, как показано на рисунках




Исходя из уравнение для точечного заряда

$\vec{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r^2}\frac{r\vec{}}{r}$,

где $\vec{r}$ - вектор соединяющий текущую точку кольца с точкой $y_1$.

В векторной форме я решить не сумел! Обошёлся без векторов. Предположил, что по оси $z$ напряжённости взаимно компенсируют влияние друг друга. Тогда надо рассмотреть проекцию напряжённости на ось $y$. Она равна $E\cdot\cos\alpha$
Поскольку выражение $\frac{\vec{r}}{r}$ является единичным вектором, то его проекция на ось $y$ равна просто $1\cdot\cos\alpha$. Получаем для единичного заряда:
$E\cdot\cos\alpha=\frac{1\cdot Q\cdot\cos\alpha}{4\pi\varepsilon_0r^2}$
Соответственно для заряда распределённого по кольцу используем плотность его (заряда) распределения по длине: $q=\frac{Q}{2\pi b}$.

Тогда формула будет:$dE_y=\frac{dQ\cdot\cos\alpha}{4\pi\varepsilon_0r^2}$

Интеграл:

$$\cos\alpha\cdot\int\limits_{0}^{2\pi b}\frac{q\cdot dl}{4\pi \varepsilon_0 r^2}=\frac{\cos\alpha}{4\pi \varepsilon_0 r^2 2\pi b}\int\limits_{0}^{2\pi b}Q dl=\frac{a}{4\pi \varepsilon_0 2\pi b}\frac{Q}{(a^2+b^2)}\frac{2\pi b}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{a Q}{4 \pi \varepsilon_0 (a^2+b^2)^\frac{3}{2}}$$

Прошу оценить решение и ход рассуждений. Хотелось бы также уметь интегрировать с векторами (если это возможно)

ps: Подскажите, как увеличить шрифт в формулах. В инструкции не нашёл

[Munin]

USAglobal в сообщении #1142431 писал(а):

Подскажите, как увеличить шрифт в формулах. В инструкции не нашёл

Скорее всего, вам нужны не-мелкие дроби. Они набираются через \dfrac{}{} .

[Metford]

Есть несколько замечаний. Выбор системы координат в Ваших руках - поэтому почему было не совместить начало координат с центром кольца?

USAglobal в сообщении #1142431 писал(а):

В векторной форме я решить не сумел!

И не нужно. Векторный вид Вы можете придать ответу и в конце.

USAglobal в сообщении #1142431 писал(а):

Получаем для единичного заряда:

Не для единичного заряда, а для (бесконечно) малой части кольца, несущей заряд $dq$, а не $Q$. Не нужны такие реверансы в переходе к $dQ$. Сразу бы записали $dQ=\lambda dl$, подразумевая под $\lambda$ линейную плотность заряда - не всюду принятое обозначение. Но плотность заряда никогда не обозначат просто $q$. Только если захотят ввести в заблуждение.
В остальном нормально.

Дальше можно посчитать подобным образом поле бесконечной равномерно заряженной с линейной плотностью $\lambda$ нити на расстоянии $a$ от неё.

[USAglobal]

Да, спасибо, что поправили. Я ошибся насчет заряда. Теперь сделаю для бесконечно заряженной нити

[USAglobal]

Возник вопрос по существу дела. В книгах пишут, что напряжённость - сила, действующая на единицу заряда.
Но, с другой стороны, тут же пишут, что, строго говоря, напряжённость - это предел отношения силы действующей на заряд к заряду при заряде, стремящемся к нулю.

Возникают вопросы.
Во-первых, если берут предел, то предполагается, что зависимость силы от величины заряда может быть нелинейной? Иначе зачем брать предел?

Во-вторых, если берут предел, то напряжённость уже получается не силой, действующей на единицу заряда? Тогда что же такое напряжённость?

[Metford]

USAglobal
Поле нужно как-то охарактеризовать количественно. Оно проявляет себя тем, что действует на помещённый в него заряд - это в математике поле можно считать заданным всюду, а здесь приходится выяснять, какое оно (если уж мы с нуля начинаем). При этом нужно сделать уточнение: если мы хотим получить информацию о самом поле, то заряд - его называют пробным - не должен влиять на поле. Не должен-то - не должен, но реально влиять будет (проводящий измерение прибор сам влияет на измеряемый объект). Поэтому обычно считают пробный заряд таким, что это влияние пренебрежимо мало. В частности, сам заряд должен быть точечным.

Поле существует независимо от того, есть ли там пробный заряд или нет. Соответственно, и характеристика поля не должна зависеть от величины пробного заряда. То, что Вы говорите - формальное описание этого.

Далее, действующая на заряд со стороны поля сила пропорциональна величине заряда - это факт. Т.е. численно напряжённость поля в точке равна силе, действующей на помещённый в эту точку единичный заряд.

[USAglobal]

Получается, что предел берётся просто для формальности и величина силы меняется линейно с изменением величины заряда

[AnatolyBa]

Попробуйте разобраться в простом примере. Единственный заряд рядом с идеально проводящей плоскостью.
Чему равна сила? Напряженность? Что будет если заряд стремится к нулю?
Это должно навести вас на мылсь, что следует различать заряды создающие поле и условный, мысленный заряд используемый для определения, измерения поля

[Munin]

USAglobal в сообщении #1146687 писал(а):

Получается, что предел берётся просто для формальности и величина силы меняется линейно с изменением величины заряда

Нет, не просто для формальности. Сила меняется линейно только для малых пробных зарядов. А если мы вносим заряд достаточно большой (в этом случае он уже не называется пробным), то он вызывает отклик в окружающей системе. В ней самой перераспределяются заряды, могут меняться токи, могут происходить другие физические процессы (механические, тепловые, например). Из-за этого, для большого заряда сила начинает меняться нелинейно. И поэтому, предел брать нужно.

Определение с отношением - простое для начинающих. Определение с пределом - полноценное рабочее.

-- 26.08.2016 09:33:33 --

Metford

(Оффтоп)

На само-то поле повлиять трудно (из-за принципа суперпозиции), а вот на его источники - это другое дело.

[Metford]

USAglobal, по-моему Вы снова пытаетесь поставить заряд во главу угла с математической точки зрения. Подобные предельные соотношения в физике не всякий раз используются, чтобы зафиксировать функциональную зависимость. Зачастую они служат корректным выражением того или иного предположения, которое закладывается в основу. Посмотрите внимательно на пример AnatolyBa и то, что сказал Munin.

Munin

(Оффтоп)

Вы правы, конечно. В той формулировке, которую дал я, явно нужно вместо поле написать "конфигурация поля". И то это будет довольно косвенно. Спасибо, что поправили!

[USAglobal]

Спасибо за пояснения. Не все, что вы написали, я нашёл в книге, так что теперь картина более полная.

Меня вот, что смущает. Насчет упрощённого определения и определения с пределом я понял.
Но фраза "Т.е. численно напряжённость поля в точке равна силе, действующей на помещённый в эту точку единичный заряд." является правомерной лишь для упрощённого определения.

Ведь, если с ростом заряда сила меняется нелинейно, то для получения силы, действующей на единичный заряд, надо бы интегрировать. А упрощённое определение даёт нам среднюю силу, действующую на единичый заряд.

Правда, может быть, единица Кулона очень малая величина. Если она очень-очень малая, то среднюю силу можно принять за просто силу?

PS: В моём вопросе основной-то смысл насчет отношения величин и как это называется

[Metford]

USAglobal в сообщении #1146731 писал(а):

Правда, может быть, единица Кулона очень малая величина

Единица измерения "1 Кулон" не очень малая. Она очень немалая, я бы сказал.

USAglobal в сообщении #1146731 писал(а):

Но фраза "Т.е. численно напряжённость поля в точке равна силе, действующей на помещённый в эту точку единичный заряд." является правомерной лишь для упрощённого определения.

Да. О нём речь и шла в тот момент. Какое определение - такой и комментарий к нему.

USAglobal в сообщении #1146731 писал(а):

Ведь, если с ростом заряда сила меняется нелинейно, то для получения силы, действующей на единичный заряд, надо бы интегрировать.

Что-то не понял... Кого Вы хотите интегрировать и главное - по чему (по какой переменной)?

[Munin]

USAglobal в сообщении #1146731 писал(а):

PS: В моём вопросе основной-то смысл насчет отношения величин и как это называется

Так и называется: предел. Это математическое понятие. Вы ждёте какого-то другого слова?