Напряжённость электрического поля распределённого заряда

[USAglobal]

Уважаемые учёные,

читаю раздел физики "Электростатика" и дошёл до описания напряжённости поля для распределённого заряда.

И вот, что мне стало не очень понятно. Если для точечного заряда у нас есть уравнение $E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r^2}$, то, как говорят авторы, для распределённого заряда его можно разбить на бесконечно малое число бесконечно малых зарядов. Ну, для каждого из них они пишут уравнение вида $\partial E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\partial Q}{r^2}$.

Так вот мне не очень понятно это разбиение на бесконечно малые заряды, а более привычено подходить со стороны функций, как принято у математиков. То есть, найти аргумент, понять, что это за функция и т.д.

Подскажите, можно ли считать тогда первое уравнение функцией напряжённости от $Q$? Является ли $r$ в таком случае неизвестной переменной? Вообще, какого вида вся эта функция?

[warlock66613]

USAglobal в сообщении #1140987 писал(а):

читаю раздел физики "Электростатика"

Где читаете?
(Меня смущает наличие «высокоуровневого» значка $\partial$ в формулах в сочетании с невекторностью уравнений, поэтому хочется посмотреть на оригинал.)

[Munin]

USAglobal в сообщении #1140987 писал(а):

Ну, для каждого из них они пишут уравнение вида $\partial E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\partial Q}{r^2}$.

Не совсем так, $dE=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{dQ}{r^2}.$ А $\partial$ - это значок частной производной, здесь он совсем ни при чём.

USAglobal в сообщении #1140987 писал(а):

Так вот мне не очень понятно это разбиение на бесконечно малые заряды, а более привычено подходить со стороны функций, как принято у математиков. То есть, найти аргумент, понять, что это за функция и т.д.

Ну, если так, то держите:

$$\vec{E}(\vec{r})=\int\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{dQ}{|\vec{r}-\vec{r}\,'|^2}\dfrac{\vec{r}-\vec{r}\,'}{|\vec{r}-\vec{r}\,'|}=\int\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{\rho(\vec{r}\,')\,dV}{|\vec{r}-\vec{r}\,'|^2}\dfrac{\vec{r}-\vec{r}\,'}{|\vec{r}-\vec{r}\,'|}$$

Если вы возьмёте этот интеграл, то вычислите функцию. А то, что вы пересказали - всего лишь подынтегральная часть этого интеграла. Так её проще понимать. Но здесь нет ничего нематематического.

USAglobal в сообщении #1140987 писал(а):

Подскажите, можно ли считать тогда первое уравнение функцией напряжённости от $Q$? Является ли $r$ в таком случае неизвестной переменной? Вообще, какого вида вся эта функция?

Обычно говорят так: напряжённость - это функция от точки в пространстве. В каждой точке напряжённость имеет своё значение - вектор. Поэтому, аргумент функции - на самом деле $r.$ Если записать функцию полнее, в векторном виде, то получится $\vec{E}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q}{r^2}\dfrac{\vec{r}}{r}.$ Последний сомножитель равен по модулю единице, но нужен для того, чтобы указать направление вектора - от точечного заряда.

Именно так, как с функцией $\vec{r},$ с напряжённостью и обращаются. А $Q$ - в данном случае параметр.

[Metford]

Я присоединяюсь к вопросу warlock66613.

warlock66613 в сообщении #1140991 писал(а):

Подскажите, можно ли считать тогда первое уравнение функцией напряжённости от $Q$? Является ли $r$ в таком случае неизвестной переменной? Вообще, какого вида вся эта функция?

Обычно принято всё-таки рассматривать напряжённость поля как функцию координат. И распределение заряда в пространстве обычно задаётся функцией координат - плотность заряда называется. Правда, для точечного заряда она дельта-функцией задаётся. В свете использования символа $\partial$ я даже не знаю, нужно ли говорить об этом подробнее.

P.S. Munin меня опередил

[USAglobal]

Ну что можно сказать: ответ дан чётко, по-армейски, без всяких там фигли-мигли. Прямо рубанули мне вектора и дело с концом.

Теперь я попробую разобраться в том, что написал Munin, и дам заодно пояснения про свою писанину, дабы снять некоторые вопросы.
(Моя задача была проще, но я, видно, этого не объяснил. Вернёмся к ней чуть позже)

Ну символ частной производной написал ввиду того, что не нашёл нужного значка. Каюсь. Наверное, надо было просто букву $d$ между "матами" написать.

Насколько я понял, вектор $\vec{r}$ проведен от полюса к любой точке пространства (ну в каких-то разумных пределах). Таким образом функция $\vec{E}(\vec{r})$ при подставлении конкретного вектора даёт значение (и направление) напряжённости в данной точке.

Вектор $\vec{r'}$ проведён от полюса к тем точкам пространства, где существует заряд.

Далее, для интегрирования надо знать зависимость обоих векторов от объема. Ведь интегрирование идет по объему. Здесь уже не очень понятно. Изменение векторов в зависимости от перехода к следующему элементарному объёму? Так? Поправьте, если не правильно.

И еще, интегрирование идет по объему, а функция получается от вектора. Как так? (Интегрируем по $x$, так и получаем первообразную $F(x)$. А здесь вон как получается - не соображу)

PS: чуть не забыл. Книга называется "Физика" (Джанколи)

[Metford]

USAglobal в сообщении #1141006 писал(а):

для интегрирования надо знать зависимость обоих векторов от объема

Пардон?..
Нужно знать только то, как распределён заряд, т.е. плотность заряда $\rho(\vec{r}')$.

USAglobal в сообщении #1141006 писал(а):

И еще, интегрирование идет по объему, а функция получается от вектора. Как так?

В формуле для напряжённости интегрирование идёт по "штрихованным" координатам, задающим положение зарядов. Но зависимость от координат точки, в которой поле ищется, остаётся. Поэтому поле получается как функция радиус-вектора этой точки.

Если Вы хотите разобраться, то лучше всего было бы посчитать поле для пары-тройки простых конфигураций. Причём не по готовой формуле, которую привёл Munin, а составляя интеграл сначала. Ну, т.е. разбить заряженное тело на малые части, написать вклад каждой из них в поле - и вычислить интеграл. Можно начать с чего-то совсем простого. Хоть с классического примера поля на оси равномерно заряженного кольца, например. Всё встанет на свои места.

[USAglobal]

Ну и посчитать примеры, наверное, лучше в векторном виде, чтобы сразу получше разобраться.

Но к этому вернёмся. Я сперва посмотрю раздел математики про интегрирование и векторный анализ, чтобы разобраться.

Давайте я тогда сейчас спрошу то, что имел ввиду с самого начала и что хотел спросить. Это будет попроще. А имел я ввиду вот что. Напряжённость рассматривается в одной фиксированной точке. То есть, частный случай.

Зависимость $dE=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{dQ}{r^2}$ с моей точки зрения является дифференциалом.
Раз есть дифференциал, то должна быть и функция. Получается, что $Q$ является аргументом, а $E$ является функцией от этого аргумента.
Правомерно ли так сказать?

Дальше. Если $r$ - константа, то функция линейная и равна $E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r^2}$. $E=f(Q)$

Если же $r$ не константа, то я путаюсь. Что от чего тогда зависит?
Может быт так: $E=f(Q(r))$
То есть интересует напряжённость по-прежнему в одной известной точке, но $r$ переменная величина (например, речь идет о заряжённом кольце). Тогда $r$ связана с $Q$? Но кто в этом случае аргумент?

PS: Наверное, это примитивный способ рассмотрения, но в книжке так. До векторов пока не дошёл

[Metford]

USAglobal в сообщении #1141029 писал(а):

Если же $r$ не константа, то я путаюсь

Вы путаетесь, потому что не услышали того, что уже было здесь сказано. Заряд здесь играет роль параметра. Когда в подынтегральном выражении пишут $dq$, то это не значит, что заряд хотят сделать переменной интегрирования. Это просто противоестественно.
Проследите логику. У Вас есть распределённый каким-то образом в пространстве заряд. Существует вполне определённое выражение для напряжённости поля точечного заряда, вот такое:

$$\vec{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q\vec{r}}{r^3}.$$

Это для случая, когда заряд в начале координат находится. Часто можно считать, что заряд распределён в пространстве непрерывно, тогда чтобы охарактеризовать его распределение вводится плотность заряда $\rho(\vec{r})$. По определению в малом объёме $dV$, положение которого задаётся радиус-вектором $\vec{r}$, содержится заряд $dq=\rho(\vec{r})dV$. Видите: не по величине заряда определяется положение объёма $dV$, в котором этот заряд находится, а наоборот.
Разбивая область, где находится заряд, на малые части, Вы для каждой части сможете написать её вклад в результирующее поле в некоторой точке - точке наблюдения. Останется просуммировать эти вклады - вычислить интеграл. Но по сути в этом интеграле заряд уже представлен в виде функции $\rho(\vec{r})$ - функции координат.

Вы же хотите заряд поставить во главу угла - сделать его переменной интегрирования. И как это понимать? Получить зависимость, обратную $\rho(\vec{r})$, чтобы подставить вместо расстояния от заряда до точки наблюдения? И то не получится, да и не нужно это просто-напросто.

Да, и в векторной форме удобно записывать уравнения для теории. Считать что-то конкретное обычно приходится по компонентам или вообще иначе (находить модуль, если направление очевидно или легко определяется).

[Munin]

USAglobal в сообщении #1141006 писал(а):

Насколько я понял, вектор $\vec{r}$ проведен от полюса к любой точке пространства

Да, это общепринятое обозначение.

USAglobal в сообщении #1141006 писал(а):

Далее, для интегрирования надо знать зависимость обоих векторов от объема. Ведь интегрирование идет по объему. Здесь уже не очень понятно.

Здесь я не пояснил. Интегрирование идёт по объёму по вектору $\vec{r}\,'.$ Надо было дописать. Иногда используется более прозрачное обозначение $dV\quad\to\quad d^3\vec{r}\,'.$ В компонентах его же можно расписать как $d^3\vec{r}\,'=dx'\,dy'\,dz'.$

Тут важно то, что $\vec{r}$ при интегрировании не меняется. Он остаётся заданным, как параметр, входящий в выражение.

USAglobal в сообщении #1141006 писал(а):

Как так? (Интегрируем по $x$, так и получаем первообразную $F(x)$. А здесь вон как получается - не соображу)

Вы пытаетесь найти аналогию с неопределённым интегралом, а здесь - используется определённый. Например, такой: $f(x)=\int\limits_0^1 x\cdot g(y)\,dy.$

-- 31.07.2016 01:22:53 --

USAglobal в сообщении #1141029 писал(а):

Раз есть дифференциал, то должна быть и функция.

Вот в физике это не так.

[USAglobal]

Цитата:

Когда в подынтегральном выражении пишут $dq$, то это не значит, что заряд хотят сделать переменной интегрирования. Это просто противоестественно.

В случае, если заряд распределён в пространстве это противоестественно. Соглашусь с вами. А если взять случай, когда заряд увеличивается, оставаясь точечным, то тогда он вполне может быть аргументом. Разве нет?
Уравнение же не говорит про то, распределён заряд или нет.
В примере $dy=Adx$ величина $dx$ является переменной интегрирования.

Вас я тоже понял, что конечно, плотность заряда (бесконечно малый заряд в точке) является функцией от координат, то есть от вектора, указывающего на конкретную точку пространства. Просуммировав плотность заряда по всем координатам, мы получим заряд целиком. Умножая каждый раз бесконечно малое приращение заряда на расстояние до точки измерения напряжённости, мы получаем бесконечно малое приращение напряжённости от этого малого заряда. Ну и складываем при помощи интеграла.


Наверное, правильно так сказать: заряд (плотность заряда) является функцией координат. Напряжённость поля в заданной точке является функцией заряда, являющегося функцией координат.
То есть $\vec{E}=f(q(\vec{r}))$. Или, может, правильнее так: $\vec{E}=f(q(\vec{r}),\vec{r})$?
Кстати, если вам претит так рассматривать заряд, то я готов рассмотреть гипотетическую величину, описываемую таким уравнением. Это больше математический вопрос.

PS: что такое параметр интегрирования? Я пока что в литературе что-то не нашёл. Догадываюсь, что речь идет о какой-то переменной, которая не зависит от изменения переменной интегрирования. Но хочется быть уверенным, что понимаю правильно.

Цитата:

Вы пытаетесь найти аналогию с неопределённым интегралом, а здесь - используется определённый. Например, такой: $f(x)=\int\limits_0^1 x\cdot g(y)\,dy.$

Я понял это так, что $x$ переменная, которая на зависит от изменения $y$ И, поскольку, интеграл определённый, то $y$ вообще пропадает в результате, и остается $x$

[Metford]

USAglobal в сообщении #1141154 писал(а):

Наверное, правильно так сказать: заряд (плотность заряда) является функцией координат

Лучше всё-таки "плотность заряда - функция координат". Как и напряжённость поля. В конечном счёте интерес, как правило, представляет именно значение напряжённости (и модуль, и направление) в определённой точке пространства. Если она известна как функция координат, то распределение заряда в пространстве находится одной математической операцией:

$$\operatorname{div}\vec{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}.$$

USAglobal в сообщении #1141154 писал(а):

Уравнение же не говорит про то, распределён заряд или нет.

Если Вы по формулу для напряжённости, то эта формула ничего не говорит о распределении заряда - и не должна. Она только описывает поле, создаваемое точечным зарядом. А то, как мы эту формулу дальше используем - это уже другой вопрос.

USAglobal в сообщении #1141154 писал(а):

что такое параметр интегрирования?

Слово "интегрирование" в этом контексте лишнее - так Вы его никогда не найдёте.

(Оффтоп)

Вообще, у меня ощущение, что я участвую в упражнении по схоластике.

USAglobal в сообщении #1141154 писал(а):

А если взять случай, когда заряд увеличивается, оставаясь точечным

Увеличивается из-за Вашего желания посмотреть, что будет, если его увеличить? Так вот это и называется "параметр". Тогда его вовсе незачем аргументом делать. Это всё равно что исследовать график функции $y=kx+b$ и задаваться вопросом, как на прямую влияет коэффициент $k$. Функция-то всё равно останется от аргумента $x$.
Или Вы хотите нестационарный процесс рассмотреть?

[Munin]

USAglobal в сообщении #1141154 писал(а):

Я понял это так, что $x$ переменная, которая на зависит от изменения $y$ И, поскольку, интеграл определённый, то $y$ вообще пропадает в результате, и остается $x$

Да. Точно так же, и в приведённых вами формулах электростатики, $dq$ и $dV$ вообще пропадают в результате, а $\vec{r}$ остаётся.

(На самом деле, в формуле для $\vec{E}$ можно усмотреть интеграл специального вида - свёртку функций. Но это было бы слишком забеганием вперёд, относительно вашего уровня.)

USAglobal в сообщении #1141154 писал(а):

PS: что такое параметр интегрирования? Я пока что в литературе что-то не нашёл. Догадываюсь, что речь идет о какой-то переменной, которая не зависит от изменения переменной интегрирования. Но хочется быть уверенным, что понимаю правильно.

Не "параметр интегрирования", а "параметр функции".

Например, если вы рассматриваете функцию $f(x)=x^2+px+q,$ то сама эта функция - квадратный трёхчлен. Но поскольку вы не задали, чему равны $p$ и $q$ в этом выражении, они тоже могут меняться, так что функция может иметь разный вид при разных $p$ и $q.$ Эти две величины называются параметрами функции. Строго формально, они тоже являются аргументами, но если так говорить, это отвлечёт внимание от главного аргумента - $x$ - по которому и рассматривают функцию. Поэтому неформально считают эти величины заданными, но не важно, какими именно, и поэтому - не аргументами. За ними и закрепилось слово "параметры".

Часто идея состоит в том, чтобы решить не одну задачу, а сразу множество однотипных задач, или как говорят, "задачу в общем виде". То есть, в каждой конкретной задаче такие параметры определены, но поскольку отдельная конкретная задача нам не интересна, нам интересны все такие задачи вместе, то мы и не уточняем, чему такие параметры приравниваются. Но в рамках каждой конкретной задачи - они не являются аргументами функций.

USAglobal в сообщении #1141154 писал(а):

Напряжённость поля в заданной точке является функцией заряда, являющегося функцией координат.
То есть $\vec{E}=f(q(\vec{r}))$.

Это слишком сложный математический аппарат, который в данном случае не нужен. Вы и в функциях-то пока не разобрались - зачем вам функции от функций? Кстати, в таких ситуациях принято писать $\vec{E}[q(\vec{r})],$ с квадратными скобочками, и называть это функционалом или ещё как-то - а не просто функцией.

[USAglobal]

Спасибо, уже кое-что понимаю. Вы меня последними словами про сложность математического аппарата натолкнули на мысль, что, возможно физики и всякие техники потому и говорят каждый раз про разбиение чего-либо на бесконечно малые, чтобы не возиться с математическим аппаратом (то есть функциями). Они это дело не очень любят. Им проще объяснять про бесконечно малые участки (кусочки) чего либо и потом это интегрально складывать. А в противном случае придётся лезть в математику, выяснять функция чего от чего это есть и т.д.

[Metford]

USAglobal в сообщении #1141176 писал(а):

возможно физики и всякие техники потому и говорят каждый раз про разбиение чего-либо на бесконечно малые, чтобы не возиться с математическим аппаратом (то есть функциями). Они это дело не очень любят. Им проще объяснять про бесконечно малые участки (кусочки) чего либо и потом это интегрально складывать. А в противном случае придётся лезть в математику, выяснять функция чего от чего это есть и т.д.

А ещё есть "физический уровень строгости"
На самом деле во многих случаях в математику приходится "лезть", иначе из расчётов начинают лезть неприятности. Но когда в этом нет необходимости, то начинается самая настоящая схоластика. А про сложность Вам сказали потому, что сначала нужно, чтобы было понимание на идейном уровне - тогда уже можно о формализации думать. Иначе за формальностями потеряется смысл.

P.S. А всё-таки что-нибудь конкретное попробуйте посчитать

[USAglobal]

А я и попробую посчитать. Уже и Mathematica установил для помощи. На неделе отпишусь про задачку и приведу расчет