Глупый вопрос про мультипольное разложение

[madschumacher]

Добрый вечер.

Прошу прощения за то, что спрашиваю такую банальность. Пусть у нас есть заданное расположение заряженных частиц в пространстве (они не двигаются). Как я понимаю в случае 3D можно представить потенциал от системы частиц в виде мультипольного разложения $V = \sum_{n} \sum_{l=0}^\infty \sum_{m=-l}^l \frac{c_{lm}^{(n)}}{r_n} Y_{lm}$ , а в 2D случае в виде
$V = \sum_{n} \sum_{l=0}^\infty ( \frac{c_{(+),l}^{(n)}}{r_n} \cos(m\phi) + \frac{c_{(-),l}^{(n)}}{r_n} \sin(m\phi) ) $.
Так вот мой вопрос: как можно найти коэффициенты $c$ для заданного расположения частиц? (если есть возможность отослать к литературе, где это объяснено доступно для такого идиота, как я , буду очень благодарен).

[Munin]

Любое подобное разложение - это скалярные произведения с базисными функциями (по которым же и раскладывается заданная). Скалярные произведения = интегралы.

В случае такого хорошего источника, как у вас, можно написать кулоновские поля отдельных частиц, и возможно, интегралы даже взять до конца. Но это надо возиться, и возня чисто техническая.

P. S. Вопрос, может быть, даже математический, а не физический.

[Metford]

Ну, для трёхмерного случая, если я правильно понимаю вопрос, всё написано в стандартных книгах по классической электродинамике, например, у Ландау во втором томе. Первые слагаемые содержат полный заряд системы, дипольный момент, тензор квадрупольного момента. При желании можно и следующие слагаемые сконструировать.

В двумерном случае такие разложения явно выписанные на ум не приходят, но разве не должно в нём быть логарифмического слагаемого?..

[amon]

Гляньте
А.Н. Васильев.Классическая электродинамика. Стр.122 и дальше.

[Munin]

Metford в сообщении #1140096 писал(а):

В двумерном случае такие разложения явно выписанные на ум не приходят, но разве не должно в нём быть логарифмического слагаемого?..

Для монополя только.

[Metford]

А если взять две длинные нити, равномерно заряженные с противоположным знаком заряда, и рассмотреть поле в перпендикулярной им плоскости далеко от нитей?
Хотя нет, не будет, Вы правы. Дурная привычка, оставшаяся от уравнений в частных производных, всюду видеть в двумерных задачах логарифмы.

[Munin]

Ну собственно, логарифмов действительно бояться надо, не надо только на воду дуть :-)

-- 25.07.2016 21:56:14 --

Munin в сообщении #1140116 писал(а):

Для монополя только.

Поясню: для любой системы зарядов, имеющей ненулевой монопольный момент. То есть, в формулах там будет логарифмическое слагаемое, плюс $1/r^n$ начиная с единицы.

[Metford]

Давайте уж тогда до конца разберём.

В трёхмерном случае отдельным слагаемым мультипольного разложения соответствуют: $\frac{q}{r}$ - точечный заряд, $\frac{(\vec{p},\vec{r})}{r^3}\propto\frac{1}{r^2}$ - диполь, $\frac{D_{\alpha\beta}x{\alpha}x_{\beta}}{2r^5}\propto\frac{1}{r^3}$ - квадруполь и т.д.
В двумерном случае: $\propto\ln\frac{1}{r}$ - бесконечная нить, $\propto \frac{1}{r}$ - вот та система, которую я не к месту припомнил - с двумя нитями (своего рода двумерный диполь) и т.д.

Т.е. в двумерном случае степени расстояния в знаменателе сдвигаются на единицу в меньшую сторону. А когда сдвигаться "некуда", как у точечного заряда - появляется логарифм. А коэффициенты в трёхмерном разложении написаны у Ландау, у Васильева, действительно, несколько подробнее написано, да и ещё много где - по крайней мере, до квадруполя (октупольное слагаемое вычислял, но сравнить было не с чем, хотя я особенно и не сомневался в нём). В плоском случае нетрудно посчитать самому по аналогии.

[svv]

madschumacher в сообщении #1140090 писал(а):

Так вот мой вопрос: как можно найти коэффициенты $c$ для заданного расположения частиц?

Ваш вопрос совсем не глупый. Формулы для переразложения 1) известны, 2) довольно громоздки, 3) очень востребованны. Коэффициенты — это и есть основной и самый нетривиальный вопрос. С базисом, т.е. набором функций, по которым производится разложение, в каждом конкретном случае особых вопросов не возникает.

Я хотел бы рассказать, насколько широко, по моим наблюдениям, сейчас ставятся подобные вопросы (выходя за рамки собственно вопроса ТС).

Во-первых, чаще всего рассматриваются преобразования (вернее, переразложения) полей не точечных зарядов, а точечных монохроматических источников волн. У Вас частный случай нулевой частоты.

Во-вторых, рассматриваются переразложения не только скалярных полей (описываемых уравнениями типа Гельмгольца), но и векторных (типа Максвелла).

Переразложение приходится делать при изменении системы координат, по отношению к которой производится разложение. Изменение системы координат сводится к двум элементарным операциям: сдвигу начала с сохранением направления осей (T, translation) и повороту вокруг начала (R, rotation). Формулы переразложения полей имеются для обеих операций.

Кроме того, разложения бывают двух типов: локальное и мультипольное. Локальное разложение справедливо внутри некоторого шара, но не вне его. Мультипольное — вне некоторого шара, но не внутри. Очень часто ставится задача помимо смены системы координат изменить и тип разложения, и специальные формулы это обслуживают.

Примерно в 80-х годах всё это было систематизировано и были развиты быстрые алгоритмы вычисления всего этого дела, что позволило эффективно решать различные задачи вроде задач дифракции. Всё это составило Fast Multipole Method (FMM, можно гуглить).

Технически: в разложениях применяются цилиндрические или сферические функции (Бесселя в local expansion и Ханкеля в multipole expansion), описывающие радиальную зависимость поля, и присоединённые полиномы Лежандра, описывающие угловую зависимость. При сдвигах и поворотах каждая из этих функций превращается в бесконечную сумму по всем порядкам. Как именно — описывается теоремами сложения (можно гуглить). Например, для поворота вокруг центра Вам понадобится теорема сложения для сферических гармоник.

В древние времена (до изобретения FMM) в книгах можно было встретить отдельные теоремы сложения (например, см. справочник Корна по математике, п.21.8-13, с.789-790). Сейчас можно найти работы (названий не помню), в которых собраны все мыслимые формулы преобразования, но в таких «высокоуровневых» лаконичных обозначениях, что «родная мать не узнает».

[Metford]

svv в сообщении #1140152 писал(а):

Сейчас можно найти работы (названий не помню), в которых собраны все мыслимые формулы преобразования, но в таких «высокоуровневых» лаконичных обозначениях, что «родная мать не узнает».

svv, я хотел только уточнить (эта сторона темы мне интересна). Мне теоремы сложения встречались в таком контексте. Рассматривается некоторая группа преобразований, у неё есть представление определёнными функциями. Сферические функции связаны с представлением группы трёхмерных вращений, функции Бесселя - с представлением группы движений евклидовой плоскости и т.д. Так как представление - гомоморфизм, то композиции элементов групп соответствует композиция отвечающих им операторов. Из матричной формы этого утверждения извлекаются разнообразные теоремы сложения (для полиномов Лежандра, в частности). Нечто подобное Вы имели в виду?

[svv]

Да. Мне когда-то самому надо было найти эти формулы, я нашёл несколько работ, в том числе и с таким подходом, как Вы описали. Хорошо помню, что стиль и уровень изложения оказались для меня барьером, который не захотелось преодолевать (так как интересовала чисто прикладная сторона), и в конце концов я нашёл в другой работе формулы, записанные «по-человечески».

Лежащие в основе теоремы сложения были открыты ещё в XIX веке классиками, типа Гегенбауэра. Они были отличными специалистами по специальным функциям, но в то время они вряд ли могли воспользоваться в этом вопросе методами линейной алгебры и теории групп. Хочу высказать, возможно, спорное утверждение. Классики XIX века сделали бОльшую часть черновой работы. Тот язык и методы, которые можно встретить в современных работах, очень полезны, но это всё-таки обрамление. (Имею в виду только данный вопрос и могу ошибаться.)

[Metford]

svv, спасибо за комментарий. Как говорится, больше вопросов не имею.

Ну и, на всякий случай - мало ли кого-нибудь ещё заинтересует - я с этим групповым подходом разбирался по книге Н.Я. Виленкина "Специальные функции и теория представлений групп". Не скажу, что лёгкая для чтения книга, но при желании понять можно. Главное, там общая концепция достаточно чётко выделена и очень много раз продемонстрирована на разных группах.

[madschumacher]

Спасибо большое Всем за ответы.
А такой вопрос: есть ли какие-то справочники или работы, в которых есть эти коэффициенты в 3D случае для одинаково заряженных частиц, расположенных по вершинам правильных многогранников? (хотя бы для первого значения момента $l$, где будут ненулевые коэффициенты)
Или хотя бы по каким словам это можно искать?

[amon]

Я бы скриптик в какой-нибудь Mathematica написал, быстрее получилось бы. Благо, этих многогранников не бог весть сколько.

[Munin]

madschumacher в сообщении #1140262 писал(а):

А такой вопрос: есть ли какие-то справочники или работы, в которых есть эти коэффициенты в 3D случае для одинаково заряженных частиц, расположенных по вершинам правильных многогранников? (хотя бы для первого значения момента $l$, где будут ненулевые коэффициенты)

Если частицы одинаково заряжены, то первым ненулевым моментом будет монопольный :-)
Если противоположно - то зависит от расстановки плюсов и минусов. Где-то будет дипольный лидирующим, где-то квадрупольный, а где-то, может, и октупольный. Думаю, октупольный занулить не удастся никаким многогранником.