Опять одиночный фотон в дисперсионной среде.

[VCh]

Прошу помочь разобраться со следующим вопросом. Если мы рассматриваем единичный фотон с определенной частотой $\nu$ распространяющийся в дисперсионной среде $n(\nu)$ какова его скорость - $c/n(\nu)$ или груповая? Мой вопрос, помимо академического интереса, имеет практический характер: в физике частиц широко используют метод Монте Карло для симуляции процессов взаимодействия частиц с веществом с целью, в конечном итоге, предсказать отклик детектора. Подход к проблеме в симуляциях чисто корпускулярный: испускается частица в $t=0$ и затем записывается история ее взаимодействий (т.е. точечных передач энергии среде дискретными порциями) пока частица не остановится. Подход одинаков как для частиц с массой, так и для фотонов - обычно высокой энергии (кеВы, МеВы, ГеВы, ...), но и также и оптических (видимых, УФ). Например, произошел бета распад в жидком сцинтилляторе, сформировались атомные/молекулярные возбуждения, которые распадаясь испускают сцинтилляционные фотоны. Это и есть наш потенциальный сигнал, который мы хотим зарегистрировать, скажем, с помощью фотоумножителя (например, записать моменты времени, в который каждый фотоэлектрон появился).

Чтобы просимулировать формирование сигнала в фотоумножителе, в определенной точке генерируется случайным образом сцинтилляционный фотон, характеризуемый 1) определенной частотой (с вероятностью соответствующей известному спектру излучения сцинтиллятора), 2) определенным направлением вектора скорости (обычно изотропно), и 3) неким моментом испускания $t$ (с вероятностью соответствующей заданной временной форме высвечивания сцинтиллятора). Затем, "распространяем" фотон по прямой линии и считаем вероятность того, что он поглотится или рассеится. Если фотон достигает границы раздела двух сред, то смотрим что с ним происходит: если вторая среда оптически прозрачна, применяет законы Снелла (для преломления) и Френеля (для отражений) с коэффициентом преломления для частоты фотона. Если непрозрачна, рассчитываем возможно ли отражение. И так до детектора, если долетит. А потом та же процедура повторяется для других фотонов.

Заметьте, что каждый фотон в симуляции имеет вполне определенную частоту $\nu$, значит подобен плоской волне и, следовательно (как мне кажется) должен распространяется в среде с фазовой скоростью $c/n(\nu)$. С другой стороны, признав его плоской волной, как можно говорить о времени его распространения "от" и "до", скажем от источнока до детектора? Повернем теперь дело иначе - признаем фотон волновым пакетом с неким спектром частот (каким?). Тогда, становится понятно, что фотон/пакет будет распространяться с груповой скоростью усредненной по частотам в нем присутсвующим. Но тогда возникают следующие вопросы. Какой спектр частот ему приписать? (Один из вариантов - оценить неопределенность волнового числа по времени жизни возбужденного состояния молекулы, которая его порождает. Правильно ли это?) Как применить к фотону/пакету закон преломления на поверхности раздела сред? Далее , волновой пакет должен уширяться по мере распространения в пространстве, в разных средах по-разному, из-за того, что разные частоты распространяются с разной скоростью. И вот достигает такой "пухлый" фотон фотокатода фотоумножителя и, допустим, вызывает фотоэффект. В какой момент? Наверное, в случайный, распределенный в соостветствии с пространственной шириной пакета разделенной на... не очень понятно какую скорость.

Ни один из вариантов не кажется мне непротиворечивым. Действительная проблема, наверное, в самом Монте Карловском корпускулярном подходе, в попытке описать сложный процесс как бы собрав его из разноцветных лоскутков, позволяющих ускорить расчеты. Испускать фотон немонохроматический - невозможно по практическим причинам. Распространять фотон, характеризуемый точно определенной частотой, с груповой скоростью - кажется противоречивым. А распространять с фазовой скоростью - похоже еще хуже, энергия (информация) не передается, как говорят ученые. И вот мы возращаемся к тому самому практическому вопросу: с какой скоростью я должен "распространять" монохроматический фотон в среде?

Заранее благодарен тому терпеливому, кто все это прочитает, а если еще и ответ найти поможет....

[Pphantom]

Вы почти все сами написали.

VCh в сообщении #1139791 писал(а):

Если мы рассматриваем единичный фотон с определенной частотой $\nu$ распространяющийся в дисперсионной среде $n(\nu)$ какова его скорость - $c/n(\nu)$ или груповая?

В этот момент возникает вопрос, что такое "единичный фотон в дисперсионной среде". Ну а частичная (во всех смыслах) модель, естественно, оказывается не лишенной недостатков.

[Munin]

VCh в сообщении #1139791 писал(а):

Прошу помочь разобраться со следующим вопросом. Если мы рассматриваем единичный фотон с определенной частотой $\nu$ распространяющийся в дисперсионной среде $n(\nu)$ какова его скорость - $c/n(\nu)$ или груповая?

У него нет просто "скорости", у него есть фазовая скорость и групповая скорость. Как у каждой уважающей себя волны. Почему он должен быть исключением?

VCh в сообщении #1139791 писал(а):

Мой вопрос, помимо академического интереса, имеет практический характер: в физике частиц широко используют метод Монте Карло для симуляции процессов взаимодействия частиц с веществом с целью, в конечном итоге, предсказать отклик детектора. Подход к проблеме в симуляциях чисто корпускулярный

Когда говорят о фотоне в корпускулярном смысле, то подразумевают какой-то волновой пакет конечной длины и времени. Эти длина и время - с одной стороны, могут быть велики для микроскопических процессов, а с другой - достаточно малы для макроскопической экспериментальной установки.

Если подразумевать "идеальный фотон", для которого частота задана абсолютно точно, то такой фотон будет длиться вечно, и в пространстве иметь бесконечную протяжённость. Такие фотоны удобно рассматривать теоретически, рассуждая о микроскопическом уровне, но в реальности таких не бывает. Наоборот, в реальности фотоны обычно крайне малы в пространстве и во времени (оптические и радио-фотоны могут быть сравнительно протяжёнными, метры-километры, но подчас ценой целенаправленных усилий).

Поэтому, на макроскопическом уровне фотон неизбежно не является "идеальным", его длина и время ограничены, а значит, и частота - не абсолютно точна, а имеет некоторую неопределённость. И как волновой пакет, фотон в целом распространяется со своей групповой скоростью.

VCh в сообщении #1139791 писал(а):

Повернем теперь дело иначе - признаем фотон волновым пакетом с неким спектром частот (каким?).

Для целей симуляции достаточно взять гауссовский "колокольчик" малой ширины. Поскольку ширина очень мала, реальной дисперсии происходить не будет, а групповая скорость не будет зависеть от деталей спектра, лишь бы он был "издалека" похож на дельта-функцию.

VCh в сообщении #1139791 писал(а):

Один из вариантов - оценить неопределенность волнового числа по времени жизни возбужденного состояния молекулы, которая его порождает. Правильно ли это?

Правильно. Если у вас распады очень быстрые, то т. наз. "ширина состояния" будет как раз шириной спектра фотона по частоте (энергии).

VCh в сообщении #1139791 писал(а):

Испускать фотон немонохроматический - невозможно по практическим причинам.

На микроскопическом уровне ваш фотон кажется монохроматическим. Его ширина по частотам очень мала, и ей можно пренебречь в расчётах.

Но на макроскопическом уровне, в масштабах экспериментальной установки, всё наоборот, именно ширина фотона по частотам обеспечивает его "корпускулярность". Если фотон слишком монохроматический, то он перестаёт быть "корпускулярным", он растянется, как сопля, от источника до приёмника, и будет долго висеть между ними, не имея чётких моментов ни излучения, ни поглощения. В некоторых опытах с лазерами физики добиваются такого, но вряд ли это ваш случай.

[amon]

VCh в сообщении #1139791 писал(а):

Если фотон достигает границы раздела двух сред, то смотрим что с ним происходит: если вторая среда оптически прозрачна, применяет законы Снелла (для преломления) и Френеля (для отражений) с коэффициентом преломления для частоты фотона.

Тут такая петрушка. Если мы говорим о показателе преломления, формулах Френеля и прочей классике, то о фотонах надо забыть, если говорим о фотонах, то забыть надо Френеля и показатель преломления. Об этом, собственно, Pphantom и говорит. С другой стороны, IMHO, можно замутить какую-нибудь полуклассическую модель. Распространение излучения в среде считать классически, по Гюйгенсу-Френелю, потом разложить все это на фотоны (их будет бесконечно много), и для каждого фотона считать квантовые процессы. При этом, пока мы не учитываем нелинейностей, все хорошо, поскольку фотоны независимы и не взаимодействуют. Аналогично с частотой. В линейной среде любой пакет можно разложить по плоским волнам, после чего каждую плоскую волну считать независимо, а ответ записать как сумму ответов для таких волн. Т.е. возможен такой сценарий для расчета. Раскладываем ЭМ импульс по плоским волнам, там где среду можно считать классической, используем макроскопическую оптику, там где важны кванты, раскладываем по фотонам, суммируем результат.

[Pphantom]

amon в сообщении #1139826 писал(а):

С другой стороны, IMHO, можно замутить какую-нибудь полуклассическую модель. Распространение излучения в среде считать классически, по Гюйгенсу-Френелю, потом разложить все это на фотоны (их будет бесконечно много), и для каждого фотона считать квантовые процессы. При этом, пока мы не учитываем нелинейностей, все хорошо, поскольку фотоны независимы и не взаимодействуют. Аналогично с частотой. В линейной среде любой пакет можно разложить по плоским волнам, после чего каждую плоскую волну считать независимо, а ответ записать как сумму ответов для таких волн. Т.е. возможен такой сценарий для расчета. Раскладываем ЭМ импульс по плоским волнам, там где среду можно считать классической, используем макроскопическую оптику, там где важны кванты, раскладываем по фотонам, суммируем результат.

Но только четко понимаем, что право на существование у этой модели обеспечивается только и исключительно хорошо совпадающими с экспериментом результатами моделирования. "Идеологической правильности" от такой модели ждать бессмысленно.

VCh, это на самом деле вполне нормальная практика. Сделать самосогласованную модель, в которой все честно не противоречит друг другу, весьма сложно, и значительная часть моделей в физике (да и вообще в науке) таковыми не являются.

[Munin]

(amon)

amon в сообщении #1139826 писал(а):

Если мы говорим о показателе преломления, формулах Френеля и прочей классике, то о фотонах надо забыть, если говорим о фотонах, то забыть надо Френеля и показатель преломления.

Ну не настолько грубо-то. Волновое уравнение для фотона есть по-прежнему Максвелл. И со всякими математическими приёмами решения, типа Фурье, Грина и тому подобного Френеля.

[VCh]

Большое спасибо за квалифицированные ответы. И все-же... про свое насущное:
Т.к. "испускать" и "распространять" фотон как волновой пакет в Монте Карло непрактично (иной раз нужно повторять это много миллиардов раз), "испускаю" в $t_0=0$ фотон с данной частотой $\nu$ в среду, в которой на расстоянии $L=2 m$ от источника располагаю фотоумножитель. Пусть для данной частоты $n=1.5$, т.е. $v_f=2 \cdot 10^8 m/s$, а групповая скорость $v_g=v_f/2=1\cdot 10^8 m/s$.
Через какое время, по вашему мнению, можно ожидать сигнал в фотоумножителе, $t=L/v_f=1\cdot10^{-8} s$, или $t=L/v_g=2\cdot10^{-8} s$?

[amon]

(Munin)

Это так в вакууме. В среде диэлектрическая проницаемость определяется (строго) через вторую вариационную производную по классическому полю, и для одного фотона диэлектрическая проницаемость, а вместе с ней и все формулы электродинамики сред, строго говоря, не определены.

[pupsik]

amon в сообщении #1139883 писал(а):

(Munin)

Это так в вакууме. В среде диэлектрическая проницаемость определяется (строго) через вторую вариационную производную по классическому полю, и для одного фотона диэлектрическая проницаемость, а вместе с ней и все формулы электродинамики сред, строго говоря, не определены.

Мне кажется, что удобно рассматривать в некотором приближении систему из кристаллической решётки и электромагнитного поля как гармонический осциллятор большой размерности, для него уравнение Шрёдингера решается аналитически, и можно по аналогии с обычным вторичным квантованием ввести "одночастичные" состояния, и они будут удовлетворять точно тем же уравнениям, что и состояние данного осциллятора в классическом случае, только всё будет в комплексных числах и с ограничениями. В принципе, базис этих одночастичных состояний можно называть "фотонами", хотя на самом деле это нечто гораздо более сложное. Именно поэтому одиночные "фотоны" аналогично классическим волнам умеют преломляться в среде, отражаться и т.п. Это работает до тех пор, пока запутывание с кристаллической решёткой не станет влиять слишком сильно.

Не знаю, насколько правомерно сравнение кристаллической решётки с гармоническим осциллятором (скорее всего, неправомерно), но это удобно для понимания (качественного) поведения одиночных фотонов в среде.

Если я несу чушь, просьба аргументированно поправить.

[amon]

VCh в сообщении #1139865 писал(а):

Через какое время, по вашему мнению, можно ожидать сигнал в фотоумножителе

Ответ на Ваш вопрос зависит от того, какую задачу мы решаем. Если у нас есть макроскопический источник (лазер, люминофор, лампочка), то надо сосчитать за какое время классическая волна от источника дойдет до приемника (когда поле $\mathbf{E}$ вблизи приемника станет ненулевым), т.е. написать функцию Грина уравнений Максвелла в среде. Если у Вас источник одиночных фотонов (атом, реакция), то придется оценивать пропагатор фотона в среде. Подозреваю, что в обоих случаях ответ будет не такой, как Вы хотите, кроме того, почти уверен, что это уже раз 10 проделано. Ссылку дать не могу - не знаю.

[Munin]

(Оффтоп)

amon в сообщении #1139883 писал(а):

Это так в вакууме. В среде

Чур меня, чур. В среде происходит взаимодействие, за счёт регулярной кристаллической структуры переопределяются поля и вакуум, и фотон становится квазичастицей, в хорошем случае, когда квази-фотон вообще свободен. Зато потом он уже плюёт на "диэлектрическую проницаемость", и просто живёт как квазичастица со своим аналогом уравнения Максвелла. (Если квази-фотон не свободен, например, взаимодействует с плазменными волнами, то толком не знаю, что и как.)

[amon]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1139924 писал(а):

взаимодействует с плазменными волнами

По секрету, но - т-ссс! Плазмон - это тоже фотон в среде, только продольный ;)!

[VCh]

amon в сообщении #1139915 писал(а):

Ответ на Ваш вопрос зависит от того, какую задачу мы решаем. Если у нас есть макроскопический источник (лазер, люминофор, лампочка), то надо сосчитать за какое время классическая волна от источника дойдет до приемника (когда поле $\mathbf{E}$ вблизи приемника станет ненулевым), т.е. написать функцию Грина уравнений Максвелла в среде. Если у Вас источник одиночных фотонов (атом, реакция), то придется оценивать пропагатор фотона в среде.

Фотоны испускаются возбужденными молекулами, по одному на молекулу, и никак нескоррелированны между собой за исключением того, что молекулы были возбуждены проходящей заряженной частицей. Плотность возбуждених молекул в среде низкая, так что взаимодействия между ними нет.

amon в сообщении #1139915 писал(а):

Подозреваю, что в обоих случаях ответ будет не такой, как Вы хотите, кроме того, почти уверен, что это уже раз 10 проделано.

Что именно проделано?

-- 25.07.2016, 00:52 --

Munin в сообщении #1139813 писал(а):

Поэтому, на макроскопическом уровне фотон неизбежно не является "идеальным", его длина и время ограничены, а значит, и частота - не абсолютно точна, а имеет некоторую неопределённость. И как волновой пакет, фотон в целом распространяется со своей групповой скоростью.

Корректно ли в этом случае пользоваться классическими законами преломления? Точнее - можно ли? С показателями преломления соответствующими средней частоте в пакете?

[amon]

VCh в сообщении #1139982 писал(а):

Фотоны испускаются возбужденными молекулами, по одному на молекулу, и никак нескоррелированны между собой за исключением того, что молекулы были возбуждены проходящей заряженной частицей.

Правильно ли я понял, что задача такая: через среду с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon(\omega)$ пролетела нерелятивистская (это важно!) заряженная частица. Надо найти через какое время начнет щелкать фотодетектор, расположенный где-то там. Длина пробега частицы много больше длины волны.

Если такая, то надо немедленно забыть слово "фотон", и решать уравнения Максвелла. Что до рассуждений о нескоррелированных фотонах, то аналогичный случай имеет место в электрической лампе накаливания, где излучение возникает из-за возбуждения отдельных атомов (малого числа, иначе лампочка взорвется) пролетающим электроном проводимости. Тем не менее, мы спокойненько описываем свет лампы на языке обычной (не квантовой) электродинамики. Более того, рассказ про нескоррелированность не вполне верен, поскольку все, что было возбуждено одним электроном скоррелировано (ток, возбудивший волну, единый), что дает ненулевую длину когерентности для света лампочки.

Навскидку ответ будет такой. Пролетевшая частица создаст короткую вспышку (пакет). Максимум пакета будет распространяться (при некоторых ограничениях) с групповой скоростью, но, поскольку пакет будет еще и расплываться, фронт (детектор сработает) прилетит раньше. Насколько - надо считать.

VCh в сообщении #1139982 писал(а):

Что именно проделано?

Сосчитаны в каких-то приближениях соответствующие функции распространения в случае как классической, так и квантовой задачи.

[AnatolyBa]

amon в сообщении #1139983 писал(а):

Правильно ли я понял, что задача такая: через среду с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon(\omega)$ пролетела нерелятивистская (это важно!) заряженная частица. Надо найти через какое время начнет щелкать фотодетектор, расположенный где-то там

Я понял задачу иначе. По моему не требуется изучать излучение. Фотон уже излучен молекулой, а требуется только разобраться с распространением.
На мой взгляд, с практической точки зрения не нужно влезать в КЭД и ФТТ, а следует оставаться в классике (об этом уже писали). Классический волновой пакет движется с групповой скоростью. Того же я ожидаю и от отдельного фотона, из которых, собственно волна и состоит.
Но есть нюансы. Во-первых, классический волновой пакет расплывается, на что обычно при рассмотрении групповой скорости не обращают внимания. На языке фотонов это означает, что время распространения не константа а статистически распределено (с пиком в точке соответствующей групповой скорости). Оценить форму пакета можно исходя из закона дисперсии - как это часто делают в курсах квантовой механики, когда оценивают расплывание волнового пакета соответствующего свободной частице.
Во-вторых, что-то я слабо верю в сильную дисперсию. Силная дисперсия означает, что частота находится где-то рядом с областью поглощения. Зачем так ставить эксперимент?