Доказать, что первообразная sin^7x периодична.

[PWT]

ewert в сообщении #1138444 писал(а):

PWT в сообщении #1138434 писал(а):

Потому $H'(x)$ -- нечетная функция, $G'(x)$ -- четная функция.

Сумма двух функций разной четности -- функция общего вида.

Это не совсем верно -- есть один исключительный случай, и это надо чётко осознавать.

Исключительный случай, когда одна из функций -- это ноль. Кстати, а $f(x)=0$ -- это четная функция?

Цитата:

Кроме того, Вы не совсем разумно выстраиваете рассуждения. Вам ведь нужно что -- доказать, что первообразная чётна.
А что означало бы предположение, что это не так? Вовсе не то, что она общего вида.

А я этого и не утверждал, там был подпункт про нечетность.

-- 19.07.2016, 01:02 --

Red_Herring в сообщении #1138440 писал(а):

PWT

Поясняли все, что Вам сказали, медленно и печально. И постарайтесь не отвлекаться на свои идеи.

У Вас есть периодическая с периодом $T$ функция $f(x)$ и Вам надо проверить будет ли ее первообразная $F(x)=\int ^x f(y)\,dy$ также $T$ периодической.

Мы смотрим $G(x):=F(x+t)-F(x)=\int_x^{x+T} f(y)\,dy$. Но это приращение от $x$ не зависит, поскольку $f$ $T$ периодической. Докажите это в 2 этапа:
1) Сначала покажите что $G(x)$  будет $T$ периодической.
2) Затем рассмотрите $0<x<T$, разбейте интеграл на два: от $x$ до $T$, и от $T$ до $T+x$, и в силу периодичности второй равен интегралу от $0$ до $x$; поэтому в сумме получим $G(0)$.

Итак, $F(x)$ периодична т и т.т. когда $G=0$. Пока мы не использовали нечетность $f(x)$. Теперь возьмем самое удобное значение $x$: а именно, $x=-T/2$, и в силу нечетности получим $0$

Спасибо.

1) $G(x+T)=\int_{x+T}^{x+2T} f(y)\,dy=\int_x^{x+T} f(y)\,dy=G(x)$

2) Пока не очень понял -- это $G(x)$ разбивать или $F(x)$?

[arseniiv]

PWT в сообщении #1138741 писал(а):

Кстати, а $f(x)=0$ -- это четная функция?

И нечётная тоже.

[Red_Herring]

PWT в сообщении #1138741 писал(а):

Пока не очень понял -- это $G(x)$ разбивать или $F(x)$?

Интеграл по отрезку длины $T$ выражающий $G(x)$