Доказать, что первообразная sin^7x периодична.

[ewert]

Null в сообщении #1138282 писал(а):

Нужно будет доказать что $\mathrm{const}=0$

А для этого достаточно найти хоть один икс, при котором $F(x+T)=F(x)$. Ибо константа -- она и в Африке константа.

[PWT]

Otta в сообщении #1138207 писал(а):

Периодическая с каким периодом?

Как условие периодичности функции запишется через интегралы? выше это было. Запишите.

$F'(x+T)=F'(x)$?

ewert в сообщении #1138261 писал(а):

Здесь нужна совершеннейшая банальность: если $F'(x+T)-F'(x)\equiv0$, то $F(x+T)-F(x)=\mathrm{const}$. Поэтому для периодичности $F$ достаточно, чтобы было $F(x+T)=F(x)$ при хотя бы одном иксе (а если ещё чуть подумать, то и необходимо, но здесь это не нужно).

После чего остаётся только такой икс подобрать. .

А как подобрать? Если бы я знал, что первообразная будет четной функцией, то взял бы $x=-\dfrac{T}{2}$.

Первообразная синуса, например минус косинус, то есть четная функция. Кстати, а всегда ли первообразная нечетной функции будет четной функцией? И как это доказать, если это так?

[Otta]

PWT в сообщении #1138307 писал(а):

$F'(x+T)=F'(x)$?

Условие. Периодичности. Исходной функции. С помощью интегралов. Тут нету интегралов.

PWT, слушайте, обсуждение идет третью страницу, все было сказано еще на первой, ну соберитесь уже с мыслями, скомпилируйте, а.

[PWT]

$\displaystyle\int_a^b F'(x+T)dx=\displaystyle\int_a^b F'(x)dx$

Только насчет пределов интегрирования не очевидно, но думаю так.

[Otta]

PWT в сообщении #1137991 писал(а):

Спасибо. Пока что есть только такая идея: $\int\limits_t^{t+T}f(x)dx=\int\limits_0^{T}f(x)dx$

Можно Вас спросить, эта идея откуда взялась и для каких функций верна?

[ewert]

PWT в сообщении #1138307 писал(а):

Если бы я знал, что первообразная будет четной функцией

А Вы узнайте. Вот наоборот: что будет производной чётной функции и что нечётной -- надеюсь, знаете?

Если да, то инвертируйте. С первообразной от чётной там, правда, есть нюансы, но от нечётной-то -- никаких.

Ну или если лень думать, то тупо вернитесь к выражению для разности первообразных через интеграл.

[PWT]

Идея возникла из-за того, что функция периодична, значит и "площадь под графиком функции" не зависит от сдвигов, а только от длины промежутка!

-- 16.07.2016, 23:33 --

Понял про производную, только что доказал, записав производную как $f'(-x)=\dfrac{d(f(-x))}{d(-x)}...$.

[Dan B-Yallay]

PWT в сообщении #1138315 писал(а):

только что доказал, записав производную как $f'(-x)=\dfrac{d(f(-x))}{d(-x)}...$.

[ewert]

(Оффтоп)

Dan B-Yallay в сообщении #1138324 писал(а):

PWT в сообщении #1138315 писал(а):

только что доказал, записав производную как $f'(-x)=\dfrac{d(f(-x))}{d(-x)}...$.

А это, между прочим, святая правда. Другое дело, что пока что -- пустой звук.

[Otta]

(Оффтоп)

Я думаю, утро вечера мудренее. Две трети темы состоит из повторов, пора дать человеку время на переработку информации.

[PWT]

А разве это неверно?

1) $f(x)$ - четная функция

$f'(-x)=\dfrac{d(f(-x))}{d(-x)}=\dfrac{d(f(x))}{d(-x)}=\dfrac{d(f(x))}{-d(x)}=-\dfrac{df}{dx}=-f'(x)$

$f'(x)$ - нечетная функция

2) $f(x)$ - нечетная функция

$f'(-x)=\dfrac{d(f(-x))}{d(-x)}=\dfrac{d(-f(x))}{d(-x)}=\dfrac{-d(f(x))}{-d(x)}=\dfrac{df}{dx}=f'(x)$

$f'(x)$ - четная функция

Для первообразной попробую.

1) Пусть $f(x)$ нечетная функция.

$f(x)=\dfrac{dF(x)}{dx}$

$f(-x)=\dfrac{dF(-x)}{d(-x)}=-\dfrac{dF(-x)}{dx}=-f(x)=-\dfrac{dF(x)}{d(x)}$

Значит $-\dfrac{dF(-x)}{dx}=-\dfrac{dF(x)}{d(x)}$, значит $dF(-x)=dF(x)$, но следует ли из этого, что $F(-x)=F(x)$ сомневаюсь.

-- 17.07.2016, 13:58 --

Я правильно понял, что мне нужно подобрать $x$ удачный, при котором $F(x+T)=F(x)$?

В этом сейчас состоит вопрос или нет?

[ewert]

PWT в сообщении #1138409 писал(а):

но следует ли из этого, что $F(-x)=F(x)$ сомневаюсь.

Это не из этого следует. Примите как факт Ваши утверждения насчёт чётности производных (хотя доказали Вы их чуть более чем никак, но сами-то утверждения верны).

Далее принципиален такой факт: любая функция единственным образом представляется в виде суммы чётной и нечётной (которые могут оказаться, конечно, и нулевыми).

Так вот: предположим, что первообразная не является ни чётной, ни нечётной (т.е. каждое из слагаемых -- ненулевое). Что отсюда следует для исходной функции, т.е. для производной этой первообразной?...

[PWT]

Пусть $f(x)$ - нечетная функция. Докажем, что первообразная $F(x)$ - четная.

От противного:

a) Пусть $F(x)$ - функция общего вида.

Пусть $F(x)=H(x)+G(x)$

$H(x)$ - четная функция, $G(x)$ - нечетная функция.

$f(x)=F'(x)=H'(x)+G'(x)$

Вы попросили опираться на то, что производная четной функции будет нечетной, производная нечетной функции четной.

Потому $H'(x)$ -- нечетная функция, $G'(x)$ -- четная функция.

Сумма двух функций разной четности -- функция общего вида.

Тогда $f(x)$ функция общего вида, противоречие.

b) Пусть $F(x)$ -- функция нечетная.

Тогда $F'(x)=f(x)$ -- четная функция. Противоречие.

Значит $F(x)$ -- четная функция.

Раз $F(x)$ - четная функция, то $F(x)-F(x+T)$ -- четная функция.

Но мы выяснили, что $F(x)-F(x+T)= \operatorname{const}$

Пока что не ясно -- что это дает.

[Red_Herring]

PWT

Поясняли все, что Вам сказали, медленно и печально. И постарайтесь не отвлекаться на свои идеи.

У Вас есть периодическая с периодом $T$ функция $f(x)$ и Вам надо проверить будет ли ее первообразная $F(x)=\int ^x f(y)\,dy$ также $T$ периодической.

Мы смотрим $G(x):=F(x+t)-F(x)=\int_x^{x+T} f(y)\,dy$. Но это приращение от $x$ не зависит, поскольку $f$ $T$ периодической. Докажите это в 2 этапа:
1) Сначала покажите что $G(x)$  будет $T$ периодической.
2) Затем рассмотрите $0<x<T$, разбейте интеграл на два: от $x$ до $T$, и от $T$ до $T+x$, и в силу периодичности второй равен интегралу от $0$ до $x$; поэтому в сумме получим $G(0)$.

Итак, $F(x)$ периодична т и т.т. когда $G=0$. Пока мы не использовали нечетность $f(x)$. Теперь возьмем самое удобное значение $x$: а именно, $x=-T/2$, и в силу нечетности получим $0$

[ewert]

PWT в сообщении #1138434 писал(а):

Потому $H'(x)$ -- нечетная функция, $G'(x)$ -- четная функция.

Сумма двух функций разной четности -- функция общего вида.

Это не совсем верно -- есть один исключительный случай, и это надо чётко осознавать.

Кроме того, Вы не совсем разумно выстраиваете рассуждения. Вам ведь нужно что -- доказать, что первообразная чётна.
А что означало бы предположение, что это не так? Вовсе не то, что она общего вида.