Доказать, что первообразная sin^7x периодична.

[PWT]

Утундрий в сообщении #1138035 писал(а):

$\sin^7(x+T)=...$

Это по определению периодической функции $\exists T\ne 0:$ $\sin^7(x+T)=\sin^7(x)$, $\forall x\in D(y)\;\;\;x+T\in D(y)$. В нашей ситуации $D(y)=\mathbb{R}$

-- 16.07.2016, 13:43 --

Otta в сообщении #1138196 писал(а):

PWT в сообщении #1138195 писал(а):

Я понимаю, что $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=0$.

Вы неправильно понимаете.

Я думал, что интеграл от нечетной функции по симметричному промежутку всегда будет нулем)

-- 16.07.2016, 13:46 --

Первообразная некоторой функции $f(x)$ будет периодична, если:

$\exists T\ne 0:$ $F(x-T)=F(x)=F(x+T)$, $\forall x\in D(y)\Rightarrow\;\;\;x+T\in D(y)\;\;\;x-T\in D(y)$.

$F(x)=F(x+T)\Rightarrow F(x+T)-F(x)=0 \Rightarrow \displaystyle \int_{x}^{x+T}f(x)dx=0$

[Otta]

PWT в сообщении #1138197 писал(а):

Я думал, что интеграл от нечетной функции по симметричному промежутку всегда будет нулем)

Во-первых, он может расходиться (и делает это). Во-вторых, зачем это Вам?

[PWT]

Кстати, да, спасибо. Действительно, расходится. Определение первообразной написал дополнением к предыдущему посту.

[Otta]

Ну и хорошо. $f$ сама какая? что про нее известно хорошего? (по-моему, это уже было, но все же)

Не думайте сильно: нечетная, Вы уже говорили, еще какая?

[PWT]

Otta в сообщении #1138203 писал(а):

Ну и хорошо. $f$ сама какая? что про нее известно хорошего? (по-моему, это уже было, но все же)

Не думайте сильно: нечетная, Вы уже говорили, еще какая?

Периодическая, ограниченная $E(y): |y|\le 1$, осциллирующая, с непрерывной производной, определенная всюду.

[Otta]

Периодическая с каким периодом?

Как условие периодичности функции запишется через интегралы? выше это было. Запишите.

[PWT]

Otta в сообщении #1138207 писал(а):

Периодическая с каким периодом?

Как условие периодичности функции запишется через интегралы? выше это было. Запишите.

Период $2\pi$ у исходной функции $f(x)$

$F(x)=F(x+T)\Rightarrow F(x+T)-F(x)=0 \Rightarrow \displaystyle \int_{x}^{x+T}f(x)dx=0$

[Otta]

Периодичности функции!
Не первообразной!

[Утундрий]

Вроде бы нужно было разобраться с периодичностью именно первообразной?

[Otta]

Мы это и делаем.

[Null]

$\int_{x}^{x+T}f(x)dx=0$ - хорошо, теперь бы угадать чему равно $T$. И для красоты бы обозначить переменную интегрирования другой буквой.

[ewert]

Для красоты хорошо бы не гадать в угадайку, а зафиксировать (и доказать, это легко) принципиальный факт: первообразная любой периодической функции есть сумма некоторой функции с тем же периодом и некоторой линейной.

(кстати, для этого утверждения определённых интегралов не нужно)

[Null]

Для доказательства этого факта вам понадобиться доказывать периодичность этой некоторой функции. И вы придете к исходной задаче.

[ewert]

Null в сообщении #1138256 писал(а):

. И вы придете к исходной задаче.

Не приду.

На самом деле та формулировка, которую я привёл, для этой задачи избыточна (я сформулировал её так, во-первых, для красоты, а во-вторых, держа в памяти немного более сложное утверждение).

Здесь нужна совершеннейшая банальность: если $F'(x+T)-F'(x)\equiv0$, то $F(x+T)-F(x)=\mathrm{const}$. Поэтому для периодичности $F$ достаточно, чтобы было $F(x+T)=F(x)$ при хотя бы одном иксе (а если ещё чуть подумать, то и необходимо, но здесь это не нужно).

После чего остаётся только такой икс подобрать. Для чего, кстати, определённые интегралы тоже не нужны. Вообще в этой задачке интегралы не нужны.

[Null]

Нужно будет доказать что $\mathrm{const}=0$