Доказать, что первообразная sin^7x периодична.

[PWT]

Здравствуйте! Подскажите, пожалуйста, как можно доказать, что первообразная функции $f(x)=\sin^7x$ периодична?

Обязательно ли для этого вычислять эту первообразную в лоб?

Можно ли сказать, что первообразная представима в виде $F(x)=\displaystyle\sum_{k=1}^n (a_k\sin (b_kx)+c_k\cos (d_kx))$, а линейная комбинация периодических функций периодична? Или как это по-хорошему делается?

[iifat]

PWT в сообщении #1137638 писал(а):

линейная комбинация периодических функций периодична?

$\sin x+\sin\pi x$

PWT в сообщении #1137638 писал(а):

Обязательно ли для этого вычислять эту первообразную в лоб?

Ну, можно попытаться, к примеру, доказать, что $\int\limits_t^{t+T}f(x)dx=0$, не вычисляя интеграла. Для некоторых конкретных функций это возможно.

[PWT]

iifat в сообщении #1137650 писал(а):

PWT в сообщении #1137638 писал(а):

линейная комбинация периодических функций периодична?

$\sin x+\sin\pi x$

PWT в сообщении #1137638 писал(а):

Обязательно ли для этого вычислять эту первообразную в лоб?

Ну, можно попытаться, к примеру, доказать, что $\int\limits_t^{t+T}f(x)dx=0$, не вычисляя интеграла. Для некоторых конкретных функций это возможно.

Спасибо. Пока что есть только такая идея: $\int\limits_t^{t+T}f(x)dx=\int\limits_0^{T}f(x)dx$

Может здесь нечетность функции нужно как-то использовать?

[ewert]

PWT в сообщении #1137991 писал(а):

Может здесь нечетность функции нужно как-то использовать?

Даже нужно. Подберите такое $t$, при котором Ваше тождество даст то, что требуется.

[iifat]

ewert в сообщении #1137993 писал(а):

Подберите такое $t$

$T$. $t$ — любое.

PWT в сообщении #1137991 писал(а):

Пока что есть только такая идея

Не понял. В чём именно идея?

[ewert]

iifat в сообщении #1138002 писал(а):

$T$.

Нет:

PWT в сообщении #1137991 писал(а):

здесь нечетность функции нужно как-то использовать?

[PWT]

Спасибо.
Если $f(x)$ нечетная функция, то $\int\limits_{-T}^{T}f(x)dx=0$. Это я понимаю. Но пока не могу как-то это здесь использовать.

iifat в сообщении #1138002 писал(а):

В чём именно идея?

Я думал, что это упростит дело.

[Skeptic]

(Оффтоп)

Попробуйте через дифференирование

[PWT]

Спасибо, но пока не понимаю - а кого дифференцировать и что это даст? Первообразную дифференцировать что ли? Или исходную функцию? Это я могу без проблем, но зачем?

[ewert]

PWT в сообщении #1138008 писал(а):

Если $f(x)$ нечетная функция, то $\int\limits_{-T}^{T}f(x)dx=0$

А зачем именно эти пределы, если Вам нужен интеграл по периоду, причём Вы уже знаете, что этот период (в смысле соотв. отрезок) можно безнаказанно сдвигать как угодно?

PWT в сообщении #1138013 писал(а):

а кого дифференцировать и что это даст?

Никого и ничего не даст.

[Dan B-Yallay]

Skeptic в сообщении #1138009 писал(а):

Попробуйте через дифференирование

$x +\sin x $

[Утундрий]

$\sin^7(x+T)=...$

[Null]

По-моему, автору стоит записать определение периодичности для первообразной функции, для начала.

[PWT]

ewert в сообщении #1138033 писал(а):

А зачем именно эти пределы, если Вам нужен интеграл по периоду, причём Вы уже знаете, что этот период (в смысле соотв. отрезок) можно безнаказанно сдвигать как угодно?

Спасибо!

Я понимаю, что $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=0$.
Но в условии же не сказано, что на каком промежутке первообразную. Также понимаю, что по любому периоду интеграл будет нулем.
Но разве это поможет доказать, что первообразная будет периодична?

-- 16.07.2016, 13:35 --

Dan B-Yallay в сообщении #1138034 писал(а):

Skeptic в сообщении #1138009 писал(а):

Попробуйте через дифференирование

$x +\sin x $

$(x+\sin x)'=1+\cos x$.

Пока что не ясно -- зачем это. Да, после дифференцирования получилась периодическая функция, я уже понял, что не всегда первообразная периодической функции будет периодической)

[Otta]

PWT в сообщении #1138195 писал(а):

Я понимаю, что $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=0$.

Вы неправильно понимаете.

PWT в сообщении #1138195 писал(а):

Также понимаю, что по любому периоду интеграл будет нулем.
Но разве это поможет доказать, что первообразная будет периодична?

Еще раз: напишите определение периодичности первообразной. В самом общем виде. Чтобы буковка $F$.