Почему математика эффективна при описании природы?

[Anton_Peplov]

mihaild в сообщении #1138121 писал(а):

Лекция Вигнера не подходит?

Вы имеете в виду известную статью "Непостижимая эффективность математики"?

[mihaild]

Anton_Peplov в сообщении #1138129 писал(а):

Вы имеете в виду известную статью "Непостижимая эффективность математики"?

Да.

[Anton_Peplov]

Собственно, я недоумеваю, почему эта статья так знаменита. По-моему, ровно ничего нетривиального он там не сказал. Впрочем, я буду рад, если Вы укажете мне, какие интересные мысли я пропустил при чтении.

[Munin]

doom701 в сообщении #1138120 писал(а):

там надо знать половину ответа

Почему вы думаете, что где-то её можно не знать?

[mihaild]

Вигнер писал(а):

Именно поэтому, когда физик обнаруживает взаимосвязь между двумя физическими величинами, которая напоминает связь, хорошо известную из математики, он немедленно приходит к заключению, что найденная им связь тождественн а связи, рассмотренной в математике, просто потому, что он не знает никакой другой.

Т.е. одна из возможностей - комплексные числа используются потому, что их придумали, а ничего другого подходящего не придумали.
(что, конечно, не отменяет вопрос, почему вообще заранее придумали хоть что-то подходящее)

(Оффтоп)

Впрочем, статья скорее проясняет поставленный вопрос, чем дает на него ответ. Но это лучшее из известного мне по этой теме.

[doom701]

(Оффтоп)

Получается если ничего не знал, да еще и забыл, то лучше помалкивать. Я вот не понимаю такой страшный мат символ квадрат (у Зельдовича увидел). Что это такое не понятно, а задать ? в прр так заклюют

[Munin]

doom701 в сообщении #1138144 писал(а):

Я вот не понимаю такой страшный мат символ квадрат (у Зельдовича увидел).

Квадрат - это четырёхмерный аналог треугольника. Обычно такого: $\Delta,$ но некоторыми авторами - такого: $\nabla.$

Вы это вполне могли найти в Википедии - там есть список математических символов.

[Anton_Peplov]

mihaild в сообщении #1138142 писал(а):

что, конечно, не отменяет вопрос, почему вообще заранее придумали хоть что-то подходящее

(выделение мое). Вот именно. Если бы все сводилось к "увидев кота, я принял его за утку, потому что ничего кроме утки я пока не видел", физические законы бы не работали, потому что утка - довольно плохая модель кота. А они вот почему-то работают.

mihaild в сообщении #1138142 писал(а):

Но это лучшее из известного мне по этой теме.

К сожалению, из известного мне - тоже. Т.е. почитать на эту тему просто нечего.

[kry]

Anton_Peplov в сообщении #1138146 писал(а):

К сожалению, из известного мне - тоже. Т.е. почитать на эту тему просто нечего.

На эту тему - это конкретно про эффективность применения математики в естественных науках? Или всё же про философию математики и в частности про реальность математических объектов? Потому что многие сводят первый вопрос именно к вопросу реальности математических объектов. Вообще, на самом деле, про это довольно много пишут, ну, например, отзывы про саму статью Вигнера:
http://www.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Hamming.html
http://static.googleusercontent.com/media/research.google.com/en//pubs/archive/35179.pdf
Из других материалов этот вопрос затрагивается, к примеру, в книгах "The Limits of Mathematics" Грегори Хайтина, "Математика. Утрата определённости" и "Математика. Поиск истины" Мориса Клайна, "Бытие и событие" и "Логики миров" Алена Бадью, "A Mathematician's Apology" Годфри Харди, "Был ли Бог математиком?" Марио Ливио (книга не религиозная, автор атеист, просто название такое, а то ещё смутит), "Our Mathematical Universe" Макса Тегмарка (мне его доводы показались натянутыми, но может это объясняется моей нелюбовью к неоплатонизму), статье Арнольда Математика и физика: родитель и дитя или сестры? и так далее, и так далее. Однако, как мне кажется, лучшее объяснение, к тому же подкреплённое определёнными доказательствами из области нейронаук, когнитивных наук, когнитивной лингвистики и психологии, содержится в "Where Mathematics Comes From" Джорджа Лакоффа и Рафаэля Нуньеса.

[Anton_Peplov]

kry в сообщении #1138151 писал(а):

На эту тему - это конкретно про эффективность применения математики в естественных науках?

Да.

kry в сообщении #1138151 писал(а):

"Математика. Утрата определённости"

Эту книгу я читал. Там есть глава "Авторитет природы", мысль которой сводится к следующему: нам не так уж страшны всякие там теоремы Геделя, потому что математика работает при описании природы и уже этим оправдывает свое существование. Ну т.е. "не может же так хорошо описывать природу безнадежно противоречивая фигня, поэтому, если мы и найдем в математике противоречия, мы найдем и как их исправить". Насчет того, почему она работает, там сказано примерно следующее: "Она работает! Чёрт возьми, она действительно работает!!! Бес ее знает, почему".

kry в сообщении #1138151 писал(а):

"Математика. Поиск истины"

Из этой книги я прочел только две главы, как раз посвященные обсуждаемому вопросу. Отозвался я на них здесь.
За остальные ссылки спасибо, почитаю. Вот про Арнольда только говорят, что по части истории науки ему доверять не стоит...

[kry]

Anton_Peplov в сообщении #1138152 писал(а):

Эту книгу я читал.

Ну её я скорей рекомендовал как некоторую прелюдию к "Математика. Поиск истины".

Anton_Peplov в сообщении #1138152 писал(а):

Из этой книги я прочел только две главы, как раз посвященные обсуждаемому вопросу. Отозвался я на них здесь.

Да, я читал тот ваш отзыв. Всё же должен заметить, что в вопросе реальности математических объектов (а мне также видится, что вопрос об эффективности математики так или иначе упирается в него) не всё сводится к этим двум объяснениям, хотя эти два объяснения основные.

Но, во-первых, эти два объяснения не противоречат друг другу: математика может лежать в основе законов природы (хотя я скорей и не разделяю эту точку зрения в таком виде - кое-что совсем чуть-чуть я писал здесь под пунктом 7) и при этом наш разум структурирует опыт так, чтобы он объяснялся и предсказывался математически. При этом первая точка зрения "вязнет", так как требует существования платонической математической реальности, где и существуют математические объекты (по крайней мере, если вести о классическом математическом неоплатонизме), а доказать это мы никак не можем (пока?), так что бритва Оккама, сами понимаете, что делает с этой трансцендентной платонической реальностью. Со вторым объяснением легче, так как те самые нейронауки, когнитивные науки, психология, когнитивная лингвистика, философия сознания (которая уже не столько философская дисциплина, сколько постепенно превращается в специфическую науку, как и философия языка) теперь могут опровергнуть его или подтвердить (позиция Канта, что исследовать это мы не можем просто устарела после когнитивной революции), именно поэтому я и советовал так книгу "Where Mathematics Comes From" Джорджа Лакоффа и Рафаэля Нуньеса, где как раз приводятся аргументы и доказательства в поддержку верности второго объяснения.

Anton_Peplov в сообщении #1138152 писал(а):

Вот про Арнольда только говорят, что по части истории науки ему доверять не стоит...

Не знаю, как про историю науки, но про образование я у него такие вещи встречал. С другой стороны, говорят, что это у него такое чувство юмора было... Но на вас я могу спокойно положиться, ибо думаю, что вы сможете достаточно критично воспринять эту статью.

[Anton_Peplov]

kry в сообщении #1138155 писал(а):

существования платонической математической реальности, где и существуют математические объекты (по крайней мере, если вести о классическом математическом неоплатонизме), а доказать это мы никак не можем (пока?)

Интересно, как Вы представляете себе такое доказательство хотя бы в принципе. Вот что должно случиться, чтобы "пока не можем" сменилось на "ура, смогли"?

kry в сообщении #1138155 писал(а):

так что бритва Оккама, сами понимаете, что делает с этой трансцендентной платонической реальностью.

Я не очень понял, что Вы хотите сказать про когнитивные науки. Возможны два тезиса. Если Ваша мысль состоит в каком-то третьем, прошу меня дополнить.
1) в наш мозг аппаратно встроена "интуитивная математика" (хотя бы распознавание форм, на что, как показывают эксперименты, способны даже пчёлы), которая давала нам эволюционное преимущество и потому была поддержана отбором. Тогда можно поставить вопрос, а с какого, собственно, перепугу она давала нам эволюционное преимущество. Не потому ли, что эти когнитивные схемы соответствуют чему-то в объективном мире? И нельзя ли это что-то назвать объективно существующей математикой?
2) в наш мозг аппаратно встроена "интуитивная математика", но она никаких эволюционных преимуществ нам не давала, а так, случайно появившийся бантик сбоку. Не мешает, поэтому не отбраковывается.
Тогда, опять же, можно поставить вопрос, почему основанная на математике физика так хорошо предсказывает результаты опыта. И здесь не получится сказать, что, мол, результаты опыта просто превратно обрабатываются нашими когнитивными схемами. Физики, используя математику, открыли законы, инженеры, используя ее же, рассчитали самолёт. Он летает и не падает. Тут нет простора для когнитивных искажений. Лампочки светятся, самолеты летают, из крана течет вода. Сказать, что это наш мозг так хитро обрабатывает информацию, что нам все это кажется - это уже не когнитивные науки, а ядреная философия. И что по поводу таких построений сказал бы старик Оккам?

Впрочем, дело даже не в этом. Допустим наш мозг без участия сознания структурирует опыт так, чтобы математика давала эффективные предсказания. Это значит, что математика существует независимо от нашего сознания, от того, что мы по их поводу знаем или думаем, по крайней мере как принципы, согласно которым наш мозг структурирует наш опыт, не так ли?

[kry]

Anton_Peplov в сообщении #1138157 писал(а):

Интересно, как Вы представляете себе такое доказательство хотя бы в принципе. Вот что должно случиться, чтобы "пока не можем" сменилось на "ура, смогли"?

Честно? Никак не представляю. Ну или почти никак. Наверное, только какой-то радикальный поворот в развитии науки и философии науки может привести к "ура, смогли". Например, полное изменение представлений о том, что считать трансцендентным, а что не считать.

Anton_Peplov в сообщении #1138157 писал(а):

Это значит, что математика существует независимо от нашего сознания по крайней мере как принципы, согласно которым наш мозг структурирует наш опыт, не так ли?

Независимо от нашего сознания, но не независимо от нашей психики и работы нашего мозга. В той книге, если мне не изменяет память, проводилась параллель с нейробиологическими обоснованиями универсальной грамматики как определённой биологически врождённой способностью к освоению естественных языков. Вот и здесь также: математика порождена нашим мозгом и психикой (поэтому можно сказать, что de facto мы её не открываем, а изобретаем) для удобства структурирования и восприятия нашего опыта, но при этом она не проходит сознательную обработку, также как не проходит её универсальная грамматика в процессе освоения нами языка/языков. И, кстати, насколько мне известно в эволюционной биологии в последние годы стали интересоваться тем, как именно способность нашей психики порождать математику закрепилась в процессе биологической эволюции. Но, к сожалению, я не настолько интенсивно интересовался этой темой, чтобы рассказать о том, к каким выводам пришли по этому вопросу специалисты в эволюционной биологии.

(Оффтоп)

В Москве четвёртый час ночи, да и духота наконец начала спадать, так что пойду я спать. Доброй вам ночи.

[Anton_Peplov]

kry в сообщении #1138159 писал(а):

Независимо от нашего сознания, но не независимо от нашей психики и работы нашего мозга.

Тогда, все же, почему не падают самолеты? Мне кажется, важная часть моего сообщения была дописана уже после того, как Вы ответили на его первоначальный вариант, так что позволю себе самоцитату.

Anton_Peplov в сообщении #1138157 писал(а):

Я не очень понял, что Вы хотите сказать про когнитивные науки. Возможны два тезиса. Если Ваша мысль состоит в каком-то третьем, прошу меня дополнить.
1) в наш мозг аппаратно встроена "интуитивная математика" (хотя бы распознавание форм, на что, как показывают эксперименты, способны даже пчёлы), которая давала нам эволюционное преимущество и потому была поддержана отбором. Тогда можно поставить вопрос, а с какого, собственно, перепугу она давала нам эволюционное преимущество. Не потому ли, что эти когнитивные схемы соответствуют чему-то в объективном мире? И нельзя ли это что-то назвать объективно существующей математикой?
2) в наш мозг аппаратно встроена "интуитивная математика", но она никаких эволюционных преимуществ нам не давала, а так, случайно появившийся бантик сбоку. Не мешает, поэтому не отбраковывается.
Тогда, опять же, можно поставить вопрос, почему основанная на математике физика так хорошо предсказывает результаты опыта. И здесь не получится сказать, что, мол, результаты опыта просто превратно обрабатываются нашими когнитивными схемами. Физики, используя математику, открыли законы, инженеры, используя ее же, рассчитали самолёт. Он летает и не падает. Тут нет простора для когнитивных искажений. Лампочки светятся, самолеты летают, из крана течет вода. Сказать, что это наш мозг так хитро обрабатывает информацию, что нам все это кажется - это уже не когнитивные науки, а ядреная философия. И что по поводу таких построений сказал бы старик Оккам?

[kry]

Anton_Peplov в сообщении #1138161 писал(а):

Тогда, все же, почему не падают самолеты? Мне кажется, важная часть моего сообщения была дописана уже после того, как Вы ответили на его первоначальный вариант, так что позволю себе самоцитату.

Да, сейчас я на это отвечу.

Anton_Peplov в сообщении #1138157 писал(а):

Возможны два тезиса. Если Ваша мысль состоит в каком-то третьем, прошу меня дополнить.

Да, как минимум, я вижу два этих варианта (хотя может есть ещё какие-то, о которых я не додумался). Но это, конечно, предмет исследования и обсуждения для эволюционной биологии и всех тех других наук, о которых я говорил чуть ранее в данной теме.

Anton_Peplov в сообщении #1138157 писал(а):

Тогда, опять же, можно поставить вопрос, почему основанная на математике физика так хорошо предсказывает результаты опыта.

Я воспринимаю это немного не так: физика основывается на эмпирике в широком смысле этого слова и нет ничего удивительного, что одна эмпирика позволяет предсказать другую эмпирику, ибо таковы свойства окружающего нас мира (полностью ли познаваем ли мир, познаваем ли он при помощи эмпирики в широком смысле, и познаваем ли конкретно для человеческого разума - это уже, на мой взгляд, несколько другие вопросы несколько другой темы). А математика во всём этом играет роль языка, который успешно описывает физику. Дальше можно вспомнить, например, рассуждения Лема в "Сумма технологии" или схожие мысли Хайтина, что математика как безумный портной шьет всевозможные одежды, а науки, в том числе конкретно физика, используют те из них, которые полезны для описания конкретной эмпирики. Не знаю понятно я пытаюсь объяснить или нет, но я веду мысль к тому, что первична для физики эмпирика (да и для любой науки), а математика здесь используется как инструмент удобного для нас описания. Самолёты не падают, лампочки горят и пр. потому что всё это сделано в соответствии с той самой эмпирикой, а математика здесь удобный способ описать эту эмпирику. И когда мы пытаемся предсказать какие-либо физические следствия на основе существующих физических теорий, то мы по сути пытаемся предсказать новую эмпирику на основе нам уже известной эмпирики, а математика опять же удобный язык, способ описания, инструмент, чтобы облегчить нам эту процедуру. Если же математика не оказалась бы столь удобной для этого, то нам бы пришлось задуматься о другом языке и/или развитие науки просто бы застопорилось. Причём должен заметить, что ещё не вечер: никто и ничто не может гарантировать, что мы когда-нибудь не встретимся с ситуацией в физике, где математика как язык окажется бесполезной.

Вообще весь этот вопрос напомнил мне другой - спор об универсалиях, когда пытались понять существуют ли понятия сами по себе или лишь как обозначение для вещей. Сейчас этот спор выглядит довольно забавно в свете прогресса гуманитарных наук, но спор о реальности математических объектов почему-то мне кажется очень похожим, а вопрос об эффективности математики выглядит для меня как вопрос об эффективности использования слов для описания и наименования предметов. ИМХО.