Порядок малости

[Munin]

ewert
Об этом речи не шло. Раскладывая до членов первого порядка, для синуса можно записать $\sin x=x+O(x^2),$ и это то же самое по информативности, что и $\sin x=x+o(x).$ До членов второго порядка написал Mihr.

Ваше желание сжульничать, лишь бы "уесть" собеседника, мне понятно, но сочувствия не вызывает.

[Red_Herring]

Если речь идет о формуле Тейлора и мы знаем, что функция принадлежит $C^n$ (или хотя бы $(n-1)$–ая производная Липшицева) , то формулы с $O(x^n)$ и с $o(x^{n-1})$ и все промежуточные одинаково информативны. Без такой (или подобной) дополнительной информации--нет.

[Munin]

В физике обычно предполагается $C^{\infty}$ (кроме упрощённых моделей).

[Otta]

Munin
Все очень просто: во-первых, Вы оставляли о большое и о маленькое от функций одинакового порядка малости в остаточном члене формулы Тейлора - и это не было случайной опечаткой, иначе я бы и не влезла.

Во-вторых, да, именно в гладкости и вопрос. $x+o(x)$ это может быть и $x+x^2$ и $x+ x^{3/2}$, в отличие от $x+O(x^2)$.

В первый раз слышу, что в физике корней не бывает, правда, что ли?

[ewert]

Munin в сообщении #1135272 писал(а):

В физике обычно предполагается $C^{\infty}$

Это не по делу. Речь вовсе не о гладкости, а об учитываемой информации. О-большие намекают на то, что всю существенную информацию мы учли, а несущественная -- вот примерно так и оценивается, хотя могут быть и исключения (в ещё меньшую сторону). В то время как о-маленькие прямым текстом указывают на то, что нам вообще наплевать, насколько мы точны. При аккуратных оценках и то, и другое даст, конечно, одинаковый эффект; однако первое не в пример комфортнее.

Otta в сообщении #1135278 писал(а):

В первый раз слышу, что в физике корней не бывает, правда, что ли?

Грубо говоря -- правда. В том смысле, что физики просто предпочитают не говорить на этом языке. Им просто понятие "кратность корня" чаще всего без надобности.

[Munin]

Otta в сообщении #1135278 писал(а):

Все очень просто: во-первых, Вы оставляли о большое и о маленькое от функций одинакового порядка малости в остаточном члене формулы Тейлора

Нет, не было такого.

Otta в сообщении #1135278 писал(а):

В первый раз слышу, что в физике корней не бывает, правда, что ли?

Есть, но в нуле их по Тейлору не раскладывают :-)
В окрестности бесконечности, правда...

[ewert]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1135308 писал(а):

В окрестности бесконечности, правда...

... тем более нет ...

Я понял, кто Вы. Вы -- господин Журден.

[Munin]

ewert

(Оффтоп)

А я понял, кто вы. Вы - ботало.

[arseniiv]

ewert в сообщении #1135222 писал(а):

А слава богу потому, что если "множества", то формулы становятся решительно нечитабельными.

Никто не предлагает писать «по-правильному», $=$ пишут и будут писать ещё долго, и это глупо было бы игнорировать, но по смыслу-то там речь о классе функций.

[Red_Herring]

(О самой бесконечно малой величине)

Вопреки всеобщему, но ошибочному мнению, самая бесконечно малая величина существует. Таковой является причина, по которой мы иной раз лезем в бутылку.

[Dmitriy40]

(В окрестности бесконечности)

Munin в сообщении #1135308 писал(а):

В окрестности бесконечности,

Как звучит ... Особенно если ещё добавить про бесконечно малую окрестность ... Хм, а предел справа ($x \to +\infty+0$) вообще определён?

[Mihr]

Dmitriy40, понятие "окрестности бесконечно удалённой точки" используется в матанализе. Оно вовсе не бессмысленно.
А вот запись типа $x \to x_0+0$ в обозначении правого предела является неудачной и устаревшей. Давно уже пишут просто $x \to x_0+$. Разумеется, для "несобственных точек" расширенной числовой прямой, символов $- \infty$ и $+ \infty$, существуют лишь односторонние окрестности - правосторонняя и левосторонняя соответственно.

[Dmitriy40]

Mihr
Спасибо за уточнения!

[Red_Herring]

Mihr в сообщении #1135460 писал(а):

обозначении правого предела является неудачной и устаревшей.

Как сказать… в частном (но очень часто встречающемся) случае $x_0=0$ что лучше: $x\to +0$ или $x\to 0+$? Последнее противоречит IMHO $x\to +\infty$

[Mihr]

Red_Herring в сообщении #1135481 писал(а):

Как сказать… в частном (но очень часто встречающемся) случае $x_0=0$ что лучше: $x\to +0$ или $x\to 0+$? Последнее противоречит IMHO $x\to +\infty$

Я когда-то тоже предпочитал писать $+0$ и $-0$, но переучился под влиянием современных учебников и задачников. И согласился с тем, что современные обозначения более рациональны. Они не подразумевают прибавление или вычитание нуля (что бессмысленно). Как раз наоборот, раз после символа $+$ или $-$ ничего не стоит, значит он употреблён не в обычном смысле (не в смысле оператора сложения/вычитания), а в ином. В данном случае он заменяет слово "справа" или "слева". То есть, запись $x\to 0+$ я проговариваю про себя так: "икс стремится к нулю справа". И никакого дискомфорта не возникает. Что касается символов $- \infty$ и $+ \infty$ (если их рассматривать как "точки" вещественной прямой, что вовсе не обязательно). Поскольку первая из этих "точек" имеет лишь правостороннюю окрестность, а вторая - лишь левостороннюю, то вовсе не обязательно выговаривать "икс стремится к минус бесконечности справа". Здесь можно смело опустить "справа", т.к. иначе "стремиться к минус бесконечности" и невозможно. Т.о. запись $x\to -\infty$ есть лишь просто рациональное сокращение к "педантичной" записи $x\to -\infty +$ (которая, как я понимаю, никогда и не употреблялась).
Примерно такие рассуждения помогли мне привыкнуть к современным обозначениям. Которые я, повторюсь, признал более рациональными.