2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Порядок малости
Сообщение02.07.2016, 15:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
ewert
Об этом речи не шло. Раскладывая до членов первого порядка, для синуса можно записать $\sin x=x+O(x^2),$ и это то же самое по информативности, что и $\sin x=x+o(x).$ До членов второго порядка написал Mihr.

Ваше желание сжульничать, лишь бы "уесть" собеседника, мне понятно, но сочувствия не вызывает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок малости
Сообщение02.07.2016, 16:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
10423
Hogtown
Если речь идет о формуле Тейлора и мы знаем, что функция принадлежит $C^n$ (или хотя бы $(n-1)$–ая производная Липшицева) , то формулы с $O(x^n)$ и с $o(x^{n-1})$ и все промежуточные одинаково информативны. Без такой (или подобной) дополнительной информации--нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок малости
Сообщение02.07.2016, 17:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
В физике обычно предполагается $C^{\infty}$ (кроме упрощённых моделей).

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок малости
Сообщение02.07.2016, 18:26 
Заслуженный участник


09/05/13
8511
Munin
Все очень просто: во-первых, Вы оставляли о большое и о маленькое от функций одинакового порядка малости в остаточном члене формулы Тейлора - и это не было случайной опечаткой, иначе я бы и не влезла.

Во-вторых, да, именно в гладкости и вопрос. $x+o(x)$ это может быть и $x+x^2$ и $x+ x^{3/2}$, в отличие от $x+O(x^2)$.

В первый раз слышу, что в физике корней не бывает, правда, что ли?

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок малости
Сообщение02.07.2016, 20:44 
Заслуженный участник


11/05/08
32089
Munin в сообщении #1135272 писал(а):
В физике обычно предполагается $C^{\infty}$

Это не по делу. Речь вовсе не о гладкости, а об учитываемой информации. О-большие намекают на то, что всю существенную информацию мы учли, а несущественная -- вот примерно так и оценивается, хотя могут быть и исключения (в ещё меньшую сторону). В то время как о-маленькие прямым текстом указывают на то, что нам вообще наплевать, насколько мы точны. При аккуратных оценках и то, и другое даст, конечно, одинаковый эффект; однако первое не в пример комфортнее.

Otta в сообщении #1135278 писал(а):
В первый раз слышу, что в физике корней не бывает, правда, что ли?

Грубо говоря -- правда. В том смысле, что физики просто предпочитают не говорить на этом языке. Им просто понятие "кратность корня" чаще всего без надобности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок малости
Сообщение02.07.2016, 22:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
Otta в сообщении #1135278 писал(а):
Все очень просто: во-первых, Вы оставляли о большое и о маленькое от функций одинакового порядка малости в остаточном члене формулы Тейлора

Нет, не было такого.

Otta в сообщении #1135278 писал(а):
В первый раз слышу, что в физике корней не бывает, правда, что ли?

Есть, но в нуле их по Тейлору не раскладывают :-)
В окрестности бесконечности, правда...

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок малости
Сообщение02.07.2016, 22:31 
Заслуженный участник


11/05/08
32089

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1135308 писал(а):
В окрестности бесконечности, правда...

... тем более нет ...

Я понял, кто Вы. Вы -- господин Журден.

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок малости
Сообщение02.07.2016, 22:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
ewert

(Оффтоп)

А я понял, кто вы. Вы - ботало.

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок малости
Сообщение03.07.2016, 09:58 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
ewert в сообщении #1135222 писал(а):
А слава богу потому, что если "множества", то формулы становятся решительно нечитабельными.
Никто не предлагает писать «по-правильному», $=$ пишут и будут писать ещё долго, и это глупо было бы игнорировать, но по смыслу-то там речь о классе функций.

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок малости
Сообщение03.07.2016, 10:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
10423
Hogtown

(О самой бесконечно малой величине)

Вопреки всеобщему, но ошибочному мнению, самая бесконечно малая величина существует. Таковой является причина, по которой мы иной раз лезем в бутылку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок малости
Сообщение03.07.2016, 13:04 
Заслуженный участник


20/08/14
8865
Россия, Москва

(В окрестности бесконечности)

Munin в сообщении #1135308 писал(а):
В окрестности бесконечности,
Как звучит ... :-) Особенно если ещё добавить про бесконечно малую окрестность ... :D Хм, а предел справа ($x \to +\infty+0$) вообще определён?

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок малости
Сообщение03.07.2016, 13:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
3387
Dmitriy40, понятие "окрестности бесконечно удалённой точки" используется в матанализе. Оно вовсе не бессмысленно.
А вот запись типа $x \to x_0+0$ в обозначении правого предела является неудачной и устаревшей. Давно уже пишут просто $x \to x_0+$. Разумеется, для "несобственных точек" расширенной числовой прямой, символов $- \infty$ и $+ \infty$, существуют лишь односторонние окрестности - правосторонняя и левосторонняя соответственно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок малости
Сообщение03.07.2016, 13:44 
Заслуженный участник


20/08/14
8865
Россия, Москва
Mihr
Спасибо за уточнения!

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок малости
Сообщение03.07.2016, 14:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
10423
Hogtown
Mihr в сообщении #1135460 писал(а):
обозначении правого предела является неудачной и устаревшей.
Как сказать… в частном (но очень часто встречающемся) случае $x_0=0$ что лучше: $x\to +0$ или $x\to 0+$? Последнее противоречит IMHO $x\to +\infty$

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок малости
Сообщение03.07.2016, 14:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
3387
Red_Herring в сообщении #1135481 писал(а):
Как сказать… в частном (но очень часто встречающемся) случае $x_0=0$ что лучше: $x\to +0$ или $x\to 0+$? Последнее противоречит IMHO $x\to +\infty$

Я когда-то тоже предпочитал писать $+0$ и $-0$, но переучился под влиянием современных учебников и задачников. И согласился с тем, что современные обозначения более рациональны. Они не подразумевают прибавление или вычитание нуля (что бессмысленно). Как раз наоборот, раз после символа $+$ или $-$ ничего не стоит, значит он употреблён не в обычном смысле (не в смысле оператора сложения/вычитания), а в ином. В данном случае он заменяет слово "справа" или "слева". То есть, запись $x\to 0+$ я проговариваю про себя так: "икс стремится к нулю справа". И никакого дискомфорта не возникает. Что касается символов $- \infty$ и $+ \infty$ (если их рассматривать как "точки" вещественной прямой, что вовсе не обязательно). Поскольку первая из этих "точек" имеет лишь правостороннюю окрестность, а вторая - лишь левостороннюю, то вовсе не обязательно выговаривать "икс стремится к минус бесконечности справа". Здесь можно смело опустить "справа", т.к. иначе "стремиться к минус бесконечности" и невозможно. Т.о. запись $x\to -\infty$ есть лишь просто рациональное сокращение к "педантичной" записи $x\to -\infty +$ (которая, как я понимаю, никогда и не употреблялась).
Примерно такие рассуждения помогли мне привыкнуть к современным обозначениям. Которые я, повторюсь, признал более рациональными.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 40 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group