Порядок малости

[Viktor92]

Хотелось бы уточнить, что понимается под фразами в физической литературе вроде: пренебрегая величинами второго порядка малости запишем..., интуитивно я понимаю, но пора уже внести строгость в это дело.
Рассмотрим на примере разложения потенциальной энергии в окрестности минимума.
1) Используя обозначение О-большое:
$U(x)=U(0)+\frac{U'}{1!}x+\frac{U''}{2!}x^2+O(x^3)$
Вот правильно ли здесь сказать, что в приближении малых колебаний мы пренебрегли членами 3-го порядка малости по смещению $x$?
Правильно ли я понимаю определение О-большого:
$O(x^3)\leqslant Mx^3$, где $M$ некоторая константа, ах да, есть ещё одно определение
$\lim\limits_{x \to x_0}^{} \frac {O(x^3)}{x^3}=A$, где $A$ константа, и если $A=1$, то говорят, что бесконечно большие эквивалентны в окрестности $x_0$.
2) Теперь запишем через о-малое:
$U(x)=U(0)+\frac{U'}{1!}x+\frac{U''}{2!}x^2+o(x^2)$, теперь можно сказать , что мы пренебрегли членами более высокого порядка малости, чем $x^2$, под о-малым я понимаю:
$\lim\limits_{x \to 0}^{} \frac {o(x^2)}{x^2}= \infty $
Какая из формулировок 1). или 2). чаще используется в литературе, а то за вольностью речи автора не всегда понятно.

[iifat]

Насколько понимаю, в обеих написанных вами формулах ничем не пренебрегли. Вот когда мы отбросим разнообразные О, тогда да, пренебрегли, именно так как вы говорите.
Касательно О большого небольшое (высшего порядка малости) уточнение: в первом определении стоят модули, второго что-то не встречал. То бишь, определение эквивалентности именно таково и из предела следует О большое, но это именно достаточное условие, а не определение.
Какая уж из формулировок используется чаще, не скажу, но оба приведённых вами варианта одинаково законны.

[Mihr]

Обычно под величинами "второго (или $n$-го) порядка малости относительно $x$" понимают величины порядка $x^2$ (величины порядка $x^n$). Напомню, что две функции $f(x)$ и $g(x)$ считаются функциями одинакового порядка, если они ограничены по сравнению друг с другом, то есть если $f(x)=O(g(x))$ и одновременно $g(x)=O(f(x))$.

Viktor92 в сообщении #1135001 писал(а):

Вот правильно ли здесь сказать, что в приближении малых колебаний мы пренебрегли членами 3-го порядка малости по смещению $x$?

В общем, правильно. На всякий случай уточню (напомню), что в случае свободных колебаний вокруг некоего положения равновесия разложение потенциальной энергии в степенной ряд (по степеням смещения от положения равновесия) не содержит линейного члена.

Viktor92 в сообщении #1135001 писал(а):

Правильно ли я понимаю определение О-большого:
$O(x^3)\leqslant Mx^3$, где $M$ некоторая константа, ах да, есть ещё одно определение
$\lim\limits_{x \to x_0}^{} \frac {O(x^3)}{x^3}=A$,

Первое верно (если восстановить знак модуля), второе - вообще говоря, нет, т.к. указанный Вами предел может вообще не существовать.
И с эквивалентностью функций аналогично.

Viktor92 в сообщении #1135001 писал(а):

Какая из формулировок 1). или 2). чаще используется в литературе

По-моему, чаще вторая, но вообще предпочтение той или иной символики сильно зависит от предмета и автора. Имхо, какой символикой "лучше" пользоваться - вопрос малозначимый.

[Munin]

То есть, вот когда пишут $U(x)\approx U(0)+\frac{U'}{1!}x+\frac{U''}{2!}x^2$ - вот это уже "пренебрегли". Причём в физике довольно часто пишут $=$ $\approx$ - тут не надо ругаться, просто в окружающем тексте упоминается пренебрежение, и тогда все всё понимают правильно.

 В чём разница между $O(x^3)$ и $o(x^2)$? В случае Тейлора заведомо $o(x^2)\ngtr O(x^3),$ так что может возникнуть только одна бяка: коэффициент при $x^3$ занулится, и остаточный член будет не $O(x^3),$ а $o(x^3).$ Так что вывод: корректнее говорить про $o(x^2).$ 

Мне тут в ЛС любезно подсказали, что $o(x^3)\subset O(x^3),$ так что я был неправ. В случае Тейлора разницы ваапще никакой нет.

[arseniiv]

Viktor92
Ну, определения у вас не очень корректные получились. Посмотрите, например, Зорича, Математический анализ, часть 1, гл. III, §2, 4d «Сравнение асимптотического поведения функций» [это в шестом издании, про ранние не скажу]. Формально, $O(f),o(f)$ — это множества функций, а записи $g=O(f)$ читаются как $g\in O(f)$, при этом многие другие записи будут просто некорректными, в том числе засовывание $O(f)$ в предел (аналогично с $o$).

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: от физики тут только то, что соответствующие слова часто встречаются в физической литературе. А вообще-то это чистая математика.

[casualvisitor]

Viktor92 в сообщении #1135001 писал(а):

под о-малым я понимаю:
$\lim\limits_{x \to 0}^{} \frac {o(x^2)}{x^2}= \infty $

Вы ничего не перепутали?

[Brukvalub]

Munin в сообщении #1135014 писал(а):

Мне тут в ЛС любезно подсказали, что $o(x^3)\subset O(x^3),$ так что я был неправ.

И сейчас "неправ", поскольку нет указания на базу.

[Viktor92]

arseniiv, спасибо, а то я по началу не нашел в Зориче.

casualvisitor в сообщении #1135053 писал(а):

Viktor92 в сообщении #1135001 писал(а):

под о-малым я понимаю:
$\lim\limits_{x \to 0}^{} \frac {o(x^2)}{x^2}= \infty $

Вы ничего не перепутали?

Да, ошибся, ноль конечно.

[ewert]

arseniiv в сообщении #1135032 писал(а):

Посмотрите, например, Зорича, Математический анализ, часть 1, гл. III, §2, 4d «Сравнение асимптотического поведения функций» [это в шестом издании, про ранние не скажу]. Формально, $O(f),o(f)$ — это множества функций, а записи $g=O(f)$ читаются как $g\in O(f)$

Читать надо не Зорича, а Кудрявцева -- у Зорича говорится ровно то же, только гораздо более вычурно. Но даже и Зорич, при всей своей вычурности, до слова "множество" всё-таки не додумался, слава богу:

Зорич в 1997-м писал(а):

Сами символы $o(\cdot)$, $O(\cdot)$ обозначают не столько функцию, сколько указание на характер ее асимптотического поведения, которым, кстати, обладают сразу многие функции, например, и $f$, и $2f$, и т. п.

А слава богу потому, что если "множества", то формулы становятся решительно нечитабельными. Скажем, $\sin x=x+O(x)$ придётся проговаривать про себя как "$\sin x$ -- это такое множество функций, что..." или как "$\sin x=x+\in O(x)$".

Никакое это не множество, а описание поведения вполне конкретной функции. Что по смыслу, конечно, то же самое; но хоть звучит по-человечески.

arseniiv в сообщении #1135032 писал(а):

при этом многие другие записи будут просто некорректными, в том числе засовывание $O(f)$ в предел

Вот именно. Например, станет некорректной такая почтенная, общепринятая (и, главное, в высшей степени полезная) запись как

$$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{x+O(x^3)}{x}=\lim\limits_{x\to0}\big(1+O(x^2)\big)=1$$

[Munin]

ewert в сообщении #1135222 писал(а):

А слава богу потому, что если "множества", то формулы становятся решительно нечитабельными. Скажем, $\sin x=x+O(x)$ придётся проговаривать про себя как "$\sin x$ -- это такое множество функций, что..." или как "$\sin x=x+\in O(x)$".

Не надо врать. "$\sin x$ -- принадлежит к такому множеству функций, что...", или "$\sin x\in x+O(x)$".

[Otta]

Munin в сообщении #1135014 писал(а):

В случае Тейлора разницы ваапще никакой нет.

Есть.
Как верно и то, что так $x+O(x)$ писать смысла нет - первое слагаемое само $O(x)$.(Здесь и ниже база - $x\to 0$.)

Верно писать
$e^x=1+x+o(x)$, но $e^x=1+x+O(x^2)$.
Вторая запись несколько информативнее.

[Munin]

Otta
Я написал ровно то же самое.
Вторая запись "информативнее", если только мы не знаем, что речь идёт о разложении Тейлора. Если мы это знаем, то обе записи по информативности одинаковые.

[ewert]

Munin в сообщении #1135240 писал(а):

Если мы это знаем, то обе записи по информативности одинаковые.

Нет: $\sin x=x+O(x^3)$ информативнее, чем $\sin x=x+o(x)$.

[Mihr]

ewert в сообщении #1135241 писал(а):

Нет: $\sin x=x+O(x^3)$ информативнее, чем $\sin x=x+o(x)$.

Но ведь никто не запрещает писать $\sin x=x+o(x^2)$. И если подразумевается, что речь идёт о формуле Тейлора, то эта запись несёт ровно столько же информации, сколько запись $\sin x=x+O(x^3)$.

-- 02.07.2016, 15:26 --

Кстати, формулу Тейлора второго порядка для функции $f(x)=\sin x$ в окрестности точки $x_0=0$ с остаточным членом в форме Пеано по-другому и не напишешь. Разве что, $\sin x=x+0 \cdot x^2+o(x^2)$, но это уж очень вычурно.