2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Порядок малости
Сообщение30.06.2016, 23:29 


10/09/14
292
Хотелось бы уточнить, что понимается под фразами в физической литературе вроде: пренебрегая величинами второго порядка малости запишем..., интуитивно я понимаю, но пора уже внести строгость в это дело.
Рассмотрим на примере разложения потенциальной энергии в окрестности минимума.
1) Используя обозначение О-большое:
$U(x)=U(0)+\frac{U'}{1!}x+\frac{U''}{2!}x^2+O(x^3)$
Вот правильно ли здесь сказать, что в приближении малых колебаний мы пренебрегли членами 3-го порядка малости по смещению $x$?
Правильно ли я понимаю определение О-большого:
$O(x^3)\leqslant Mx^3$, где $M$ некоторая константа, ах да, есть ещё одно определение
$\lim\limits_{x \to x_0}^{} \frac {O(x^3)}{x^3}=A$, где $A$ константа, и если $A=1$, то говорят, что бесконечно большие эквивалентны в окрестности $x_0$.
2) Теперь запишем через о-малое:
$U(x)=U(0)+\frac{U'}{1!}x+\frac{U''}{2!}x^2+o(x^2)$, теперь можно сказать , что мы пренебрегли членами более высокого порядка малости, чем $x^2$, под о-малым я понимаю:
$\lim\limits_{x \to 0}^{} \frac {o(x^2)}{x^2}= \infty $
Какая из формулировок 1). или 2). чаще используется в литературе, а то за вольностью речи автора не всегда понятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок малости
Сообщение30.06.2016, 23:59 
Заслуженный участник


16/02/13
3897
Владивосток
Насколько понимаю, в обеих написанных вами формулах ничем не пренебрегли. Вот когда мы отбросим разнообразные О, тогда да, пренебрегли, именно так как вы говорите.
Касательно О большого небольшое (высшего порядка малости) уточнение: в первом определении стоят модули, второго что-то не встречал. То бишь, определение эквивалентности именно таково и из предела следует О большое, но это именно достаточное условие, а не определение.
Какая уж из формулировок используется чаще, не скажу, но оба приведённых вами варианта одинаково законны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок малости
Сообщение01.07.2016, 00:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
3387
Обычно под величинами "второго (или $n$-го) порядка малости относительно $x$" понимают величины порядка $x^2$ (величины порядка $x^n$). Напомню, что две функции $f(x)$ и $g(x)$ считаются функциями одинакового порядка, если они ограничены по сравнению друг с другом, то есть если $f(x)=O(g(x))$ и одновременно $g(x)=O(f(x))$.
Viktor92 в сообщении #1135001 писал(а):
Вот правильно ли здесь сказать, что в приближении малых колебаний мы пренебрегли членами 3-го порядка малости по смещению $x$?

В общем, правильно. На всякий случай уточню (напомню), что в случае свободных колебаний вокруг некоего положения равновесия разложение потенциальной энергии в степенной ряд (по степеням смещения от положения равновесия) не содержит линейного члена.
Viktor92 в сообщении #1135001 писал(а):
Правильно ли я понимаю определение О-большого:
$O(x^3)\leqslant Mx^3$, где $M$ некоторая константа, ах да, есть ещё одно определение
$\lim\limits_{x \to x_0}^{} \frac {O(x^3)}{x^3}=A$,

Первое верно (если восстановить знак модуля), второе - вообще говоря, нет, т.к. указанный Вами предел может вообще не существовать.
И с эквивалентностью функций аналогично.
Viktor92 в сообщении #1135001 писал(а):
Какая из формулировок 1). или 2). чаще используется в литературе

По-моему, чаще вторая, но вообще предпочтение той или иной символики сильно зависит от предмета и автора. Имхо, какой символикой "лучше" пользоваться - вопрос малозначимый.

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок малости
Сообщение01.07.2016, 00:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
То есть, вот когда пишут $U(x)\approx U(0)+\frac{U'}{1!}x+\frac{U''}{2!}x^2$ - вот это уже "пренебрегли". Причём в физике довольно часто пишут $=$ $\approx$ - тут не надо ругаться, просто в окружающем тексте упоминается пренебрежение, и тогда все всё понимают правильно.

 В чём разница между $O(x^3)$ и $o(x^2)$? В случае Тейлора заведомо $o(x^2)\ngtr O(x^3),$ так что может возникнуть только одна бяка: коэффициент при $x^3$ занулится, и остаточный член будет не $O(x^3),$ а $o(x^3).$ Так что вывод: корректнее говорить про $o(x^2).$ 

Мне тут в ЛС любезно подсказали, что $o(x^3)\subset O(x^3),$ так что я был неправ. В случае Тейлора разницы ваапще никакой нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок малости
Сообщение01.07.2016, 00:35 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Viktor92
Ну, определения у вас не очень корректные получились. Посмотрите, например, Зорича, Математический анализ, часть 1, гл. III, §2, 4d «Сравнение асимптотического поведения функций» [это в шестом издании, про ранние не скажу]. Формально, $O(f),o(f)$ — это множества функций, а записи $g=O(f)$ читаются как $g\in O(f)$, при этом многие другие записи будут просто некорректными, в том числе засовывание $O(f)$ в предел (аналогично с $o$).

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение01.07.2016, 01:18 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
23996
Кронштадт
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: от физики тут только то, что соответствующие слова часто встречаются в физической литературе. А вообще-то это чистая математика.

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок малости
Сообщение01.07.2016, 05:46 


19/06/12
321
Viktor92 в сообщении #1135001 писал(а):
под о-малым я понимаю:
$\lim\limits_{x \to 0}^{} \frac {o(x^2)}{x^2}= \infty $
Вы ничего не перепутали?

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок малости
Сообщение01.07.2016, 10:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13619
Москва
Munin в сообщении #1135014 писал(а):
Мне тут в ЛС любезно подсказали, что $o(x^3)\subset O(x^3),$ так что я был неправ.

И сейчас "неправ", поскольку нет указания на базу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок малости
Сообщение01.07.2016, 22:13 


10/09/14
292
arseniiv, спасибо, а то я по началу не нашел в Зориче.
casualvisitor в сообщении #1135053 писал(а):
Viktor92 в сообщении #1135001 писал(а):
под о-малым я понимаю:
$\lim\limits_{x \to 0}^{} \frac {o(x^2)}{x^2}= \infty $
Вы ничего не перепутали?

Да, ошибся, ноль конечно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок малости
Сообщение02.07.2016, 10:06 
Заслуженный участник


11/05/08
32089
arseniiv в сообщении #1135032 писал(а):
Посмотрите, например, Зорича, Математический анализ, часть 1, гл. III, §2, 4d «Сравнение асимптотического поведения функций» [это в шестом издании, про ранние не скажу]. Формально, $O(f),o(f)$ — это множества функций, а записи $g=O(f)$ читаются как $g\in O(f)$

Читать надо не Зорича, а Кудрявцева -- у Зорича говорится ровно то же, только гораздо более вычурно. Но даже и Зорич, при всей своей вычурности, до слова "множество" всё-таки не додумался, слава богу:

Зорич в 1997-м писал(а):
Сами символы $o(\cdot)$, $O(\cdot)$ обозначают не столько функцию, сколько указание на характер ее асимптотического поведения, которым, кстати, обладают сразу многие функции, например, и $f$, и $2f$, и т. п.

А слава богу потому, что если "множества", то формулы становятся решительно нечитабельными. Скажем, $\sin x=x+O(x)$ придётся проговаривать про себя как "$\sin x$ -- это такое множество функций, что..." или как "$\sin x=x+\in O(x)$".

Никакое это не множество, а описание поведения вполне конкретной функции. Что по смыслу, конечно, то же самое; но хоть звучит по-человечески.

arseniiv в сообщении #1135032 писал(а):
при этом многие другие записи будут просто некорректными, в том числе засовывание $O(f)$ в предел

Вот именно. Например, станет некорректной такая почтенная, общепринятая (и, главное, в высшей степени полезная) запись как $$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{x+O(x^3)}{x}=\lim\limits_{x\to0}\big(1+O(x^2)\big)=1$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок малости
Сообщение02.07.2016, 10:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
ewert в сообщении #1135222 писал(а):
А слава богу потому, что если "множества", то формулы становятся решительно нечитабельными. Скажем, $\sin x=x+O(x)$ придётся проговаривать про себя как "$\sin x$ -- это такое множество функций, что..." или как "$\sin x=x+\in O(x)$".

Не надо врать. "$\sin x$ -- принадлежит к такому множеству функций, что...", или "$\sin x\in x+O(x)$".

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок малости
Сообщение02.07.2016, 10:53 
Заслуженный участник


09/05/13
8507
Munin в сообщении #1135014 писал(а):
В случае Тейлора разницы ваапще никакой нет.

Есть.
Как верно и то, что так $x+O(x)$ писать смысла нет - первое слагаемое само $O(x)$.(Здесь и ниже база - $x\to 0$.)

Верно писать
$e^x=1+x+o(x)$, но $e^x=1+x+O(x^2)$.
Вторая запись несколько информативнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок малости
Сообщение02.07.2016, 13:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
Otta
Я написал ровно то же самое.
Вторая запись "информативнее", если только мы не знаем, что речь идёт о разложении Тейлора. Если мы это знаем, то обе записи по информативности одинаковые.

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок малости
Сообщение02.07.2016, 13:11 
Заслуженный участник


11/05/08
32089
Munin в сообщении #1135240 писал(а):
Если мы это знаем, то обе записи по информативности одинаковые.

Нет: $\sin x=x+O(x^3)$ информативнее, чем $\sin x=x+o(x)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок малости
Сообщение02.07.2016, 15:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
3387
ewert в сообщении #1135241 писал(а):
Нет: $\sin x=x+O(x^3)$ информативнее, чем $\sin x=x+o(x)$.

Но ведь никто не запрещает писать $\sin x=x+o(x^2)$. И если подразумевается, что речь идёт о формуле Тейлора, то эта запись несёт ровно столько же информации, сколько запись $\sin x=x+O(x^3)$.

-- 02.07.2016, 15:26 --

Кстати, формулу Тейлора второго порядка для функции $f(x)=\sin x$ в окрестности точки $x_0=0$ с остаточным членом в форме Пеано по-другому и не напишешь. Разве что, $\sin x=x+0 \cdot x^2+o(x^2)$, но это уж очень вычурно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 40 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group