Парадокс пространства при вращении

[3axap_]

Здравствуйте! Я новый человек на форуме, и долго сомневался, в каком разделе открыть и как оформить свою тему. У меня нет высокой степени образования, но в школе учился хорошо, поэтому вопрос на уровне школьной программы. Найдите, пожалуйста, ошибку в рассуждениях, ведь, до тех пор, пока теория не опровергнута, она считается верной, ведь так в математике?

Запишем формулы для нахождения площади круга и длины ограничивающей его окружности с центром О и радиусом r:



$S = \pi {r^2} = \frac{{\pi {d^2}}}{4}$

$c = 2\pi r = \pi d$

Иррациональное число $\pi$ говорит о том, что не совсем корректно выражать площадь круга и длину окружности только через радиус, либо только через диаметр. Поэтому, избавляемся от иррационального числа $\pi$ методом подстановки:

$S = \frac{{cd}}{4} = \frac{c}{2}r$

$c = \frac{{4S}}{d} = \frac{{2S}}{r}$

Далее отвлечёмся пока от круга, так как к нему ещё вернёмся. Разберём цилиндр:



Из рисунка видно, что цилиндр образован вращением прямоугольника $\[ABO{O_1}\]$ вокруг оси $\[O{O_1}\]$.
$\[A{O_1} = {\text{ }}BO{\text{ }} = r\]$ и $\[{\text{AB }} = {\text{ O}}{{\text{O}}_1} = h\]$.
Итак, каждой точке окружности основания цилиндра будет соответствовать свой прямоугольник со стороной на оси $\[O{O_1}\]$. Таким образом, получаем: количество возможных образуемых прямоугольников при вращении рассмотренной фигуры $\[ABO{O_1}\]$ в цилиндре будет равно длине окружности с. Рассуждая далее, предположим, объём цилиндра будет равен найденной площади прямоугольника $\[ABO{O_1}\]$, умноженной на величину с:

$Vcylinder = hrc = hr\cdot2\pi r = h\cdot2\pi {r^2} = 2Sh$

Но! Достаточно представить стопку монет и вспомнить про то, что: согласно методу расчёта объёма простой трёхмерной фигуры прямоугольного параллелепипеда и следуя принципу Кавальери, объём цилиндра вычисляется как произведение площади основания на высоту:

$Vcylinder = Sh$

Почему получилась такая разница ровно в 2 раза?! Обратимся вновь к формуле площади круга, которую вывели выше:

$S = \frac{c}{2}r$

Исходя из первого рисунка, круг состоит из отрезков, проведённых из его центра к каждой точке ограничивающей этот круг окружности (отрезков, вращающихся вокруг точки на плоскости), именуемых радиусами. Таким образом, возможно провести радиусов в количестве с, но из формулы видим, что площадь круга связана с радиусом через коэффициент $\[\frac{c}{2}\]$. Поэтому, для вращения прямоугольника $\[ABO{O_1}\]$ вокруг оси $\[O{O_1}\]$ следовало бы записать формулу объёма:

$Vcylinder = hr\frac{c}{2} = Sh$

Теперь наша формула совпадает с формулой Кавальери, учтём коэффициент на будущее…

Подведя итог, можно сделать вывод, что при вращении пространство оказывается плотнее к центру и более рассеяно к окружности, с коэффициентом $1/2$, по сравнению с прямоугольными плоскими фигурами, так как для измерения площади изначально человеком взяты квадратные единицы измерения. Расчёт объёма также страдает, так как его находят через те же квадратные единицы: $x\cdot{x^2}$. Наверное, правильнее было бы измерять площадь в количестве масштабируемых точек, причём толщину границы выбирать равной размеру точки, при этом границы должно рассматривать как часть фигуры…
Следуя найденному принципу, исследуем ещё некоторые тела вращения:



Конус образован вращением прямоугольного треугольника lhr относительно оси h. Каждой точке окружности основания длинной с, соответствует свой треугольник. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. Найдём объём конуса, используя установленный коэффициент кругового сжатия $\[\frac{c}{2}\]$:

$\[Vcone = \frac{c}{2}\cdot\frac{1}{2}hr = \frac{{chr}}{4} = \frac{{Sh}}{2}\]$

Тогда площадь боковой поверхности:

$\[Sside\_surface\_cone = \frac{c}{2}l = \frac{c}{2}\sqrt {{h^2} + {r^2}} \]$

Снова парадокс.



Шар радиусом r образован вращением полукруга АОВ вокруг оси АВ. Найдём объём шара, рассчитав площадь полукруга АОВ и применяя коэффициент кругового сжатия $\[\frac{c}{2}\]$:

$Vsphere = \frac{1}{2}\cdot\frac{c}{2}\cdotr\cdot\frac{c}{2} = \frac{{r{c^2}}}{8} = \frac{{Sc}}{4}$

где S – площадь диаметрального сечения, с – диаметральная окружность, r – радиус шара.
Площадь поверхности шара определим как произведение длины дуги АВ на коэффициент $\[\frac{c}{2}\]$:

$Ssphere = \frac{c}{2}\cdot\frac{c}{2} = \frac{{{c^2}}}{4}$

Отсюда отношение:

$\[\frac{{Vsphere}}{{Ssphere}} = \frac{r}{2}\]$

При том, что по каноническим формулам получаем соотношение $r/3$, это очередной парадокс.

[mihailm]

Теория считается верной, когда она принята (чаще всего на основе массовой проверки) научным сообществом (или частью его). В математике, как и в других науках так.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: тема не оформлена в соответствии с требованиями дискуссионного раздела

3axap_
Оформите тему в соответствии с требованиями дискуссионного раздела. Прежде всего выпишите основной предмет обсуждения в самой теме буковками с клавиатуры. Ссылки должны быть необязательными для понимания предмета темы.
Набирайте все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Дискуссионные темы (М)»

[3axap_]

mihailm в сообщении #1132199 писал(а):

Теория считается верной, когда она принята (чаще всего на основе массовой проверки) научным сообществом (или частью его). В математике, как и в других науках так.

Позвольте, но ведь геометрия начала своё существование задолго до образования научного сообщества, и многие теории, справедливость которых была установлена по принципу "не доказано обратное, значит принимается", сохранены и справедливы и по сей день. Я не против научного сообщества (думаю, что до этого вряд ли дойдёт), но для массовой проверки, как раз, и создана эта тема. Очень надеюсь на возможность дальнейших обсуждений по существу.

[bondkim137]

3axap_ в сообщении #1132189 писал(а):

Итак, каждой точке окружности основания цилиндра будет соответствовать свой прямоугольник со стороной на оси $\[O{O_1}\]$. Таким образом, получаем: количество возможных образуемых прямоугольников при вращении рассмотренной фигуры $\[ABO{O_1}\]$ в цилиндре будет равно длине окружности с.

Здесь неверный переход к бесконечно-малым. Нужно брать треугольники и работать с ними. Прямоугольники будут наезжать 'друг на друга' независимо от того, насколько они малы. Отсюда и ошибка в 1/2

[iifat]

3axap_ в сообщении #1132255 писал(а):

геометрия начала своё существование задолго до образования научного сообщества

Звучит примерно как проказа: болезнь существовала задолго до лепрозориев, которые образовались по мере её распространения в мире...

3axap_ в сообщении #1132255 писал(а):

не доказано обратное, значит принимается

А ведь здорово было бы жить в таком мире... Хотя и непонятно: до недавнего времени не была ни доказана, ни опровергнута, скажем, Великая теорема Ферма. И что было принимать? Таки есть решения уравнения $x^n+y^n=z^n$ в целых числах, или их нет?

3axap_ в сообщении #1132189 писал(а):

При том, что по каноническим формулам получаем соотношение $r/3$, это очередной парадокс

При чём тут каноничность формул? Вы таки полагаете, что оные не были многократно проверены прямым экспериментом?
На всякий случай: да, математические формулы не доказываются экспериментально. А вот опровергнуть вполне может каждый.

3axap_ в сообщении #1132189 писал(а):

это очередной парадокс

Резюмирую: ваши логические выкладки приводят к неверным формулам. Вывод: ваши логические выкладки неверны. У вас есть ещё версии?

[vorvalm]

Все геометрические тела, имеющие в сечении окружности,
необязательно должны быть телами "вращения".
Цилиндр - свернутая в трубу плоскость.
Конус - плоский круг с вырезанным центральным углом
и свернутый в конус.
Сфера - надутый воздушный шар.
И никакого парадокса.

[Brukvalub]

3axap_ в сообщении #1132189 писал(а):

Рассуждая далее, предположим, объём цилиндра будет равен найденной площади прямоугольника $\[ABO{O_1}\]$, умноженной на величину с

А почему это предположение - верное? Давайте предположим, что нужно еще умножить на $0.5$ ? Ведь такое предположение не противоречит уже имеющейся теории, а ваше, никак не обоснованное предположение - противоречит.

[3axap_]

bondkim137 в сообщении #1132256 писал(а):

Здесь неверный переход к бесконечно-малым. Нужно брать треугольники и работать с ними. Прямоугольники будут наезжать 'друг на друга' независимо от того, насколько они малы. Отсюда и ошибка в 1/2

1. Прямоугольники взяты из определения цилиндра, который образуется путём вращения оного. Если удобны треугольники, можете разделить прямоугольник диагональю на два равных прямоугольных треугольника, но в итоге будет то же самое.
2. А как в таком случае быть с радиусами? Они тоже наезжают друг на друга, образуя круг? Их тоже заменить треугольниками? то есть, отрезок заменить на составленный из отрезков же треугольник? не абсурдно ли? Формулу площади круга видите (получена всего лишь подстановкой из классической), там ведь тоже коэффициент $c/2$ к радиусу?

iifat в сообщении #1132259 писал(а):

Резюмирую: ваши логические выкладки приводят к неверным формулам. Вывод: ваши логические выкладки неверны. У вас есть ещё версии?

Вот с подобными репликами, чаще всего, и встречались новые теории поначалу... А я думал, здесь научный форум, а не "просто поболтать"... Если с чем-то не согласны, докажите вычислениями, на уровне понимания школьника, в чём же ошибка. Я же привёл своё доказательство, всё просто. Или вы серьёзно считаете, что по классической формуле площадь круга можно рассчитать с большей точностью, чем по формулам, которые я вывел подстановкой, где нет иррациональных величин? В чём конкретно моя неправота? Я лишь указал на некорректность вычисления площади круговых тел, используя квадратные единицы, то есть, на квадратуру круга, из чего и вытекают парадоксы, но это не означает, что все формулы не верны.

[Brukvalub]

3axap_ в сообщении #1132290 писал(а):

В чём конкретно моя неправота?

В том, что вы делаете произвольные предположения, которые и приводят к ошибочным формулам. Если начинать рассуждения со слов "а предположим, что..", то можно "доказать" любую ересь.
Например, если рассмотреть цилиндр сделанным из резины и попытаться разрезать его так, чтобы превратить в прямоугольный параллелепипед с названными вами размерами, то становится ясно, что сделать это без растяжений или сжатий, искажающих объем, не удастся.

[3axap_]

Я не делаю цилиндр из резины, а применяю геометрические определения, которые были установлены до меня. Ещё раз: если не согласны, опровергните доказательством, а там посмотрим.

[Xaositect]

3axap_ в сообщении #1132293 писал(а):

Я не делаю цилиндр из резины, а применяю геометрические определения, которые были установлены до меня.

Какие именно установленные геометрические определения были применены в следуеющем Вашем рассуждении?

3axap_ в сообщении #1132189 писал(а):

Итак, каждой точке окружности основания цилиндра будет соответствовать свой прямоугольник со стороной на оси $\[O{O_1}\]$. Таким образом, получаем: количество возможных образуемых прямоугольников при вращении рассмотренной фигуры $\[ABO{O_1}\]$ в цилиндре будет равно длине окружности с. Рассуждая далее, предположим, объём цилиндра будет равен найденной площади прямоугольника $\[ABO{O_1}\]$, умноженной на величину с:

[3axap_]

Xaositect в сообщении #1132294 писал(а):

3axap_ в сообщении #1132293 писал(а):

Я не делаю цилиндр из резины, а применяю геометрические определения, которые были установлены до меня.

Какие именно установленные геометрические определения были применены в следуеющем Вашем рассуждении?

3axap_ в сообщении #1132189 писал(а):

Итак, каждой точке окружности основания цилиндра будет соответствовать свой прямоугольник со стороной на оси $\[O{O_1}\]$. Таким образом, получаем: количество возможных образуемых прямоугольников при вращении рассмотренной фигуры $\[ABO{O_1}\]$ в цилиндре будет равно длине окружности с. Рассуждая далее, предположим, объём цилиндра будет равен найденной площади прямоугольника $\[ABO{O_1}\]$, умноженной на величину с:

Вот это, конкретный вопрос. Пожалуйста:
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BB%D0%B0_%D0%B2%D1%80%D0%B0%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F
Сторона ОА является радиусом, а площадь круга находим через радиус с коэффициентом $c/2$, не ужели не можете представить?

[Xaositect]

Это правда, но в цитате написано не $c/2$, а $c$. Откуда такое предположение вообще взялось?

А еще, предложение "количество возможных образуемых прямоугольников при вращении рассмотренной фигуры $\[ABO{O_1}\]$ в цилиндре будет равно длине окружности с" малосмысленно: длина окружности это размерная величина, а количество прямоугольников - безразмерная. К тому же, количество рассматриваемых прямоугольников бесконечно