Здравствуйте! Я новый человек на форуме, и долго сомневался, в каком разделе открыть и как оформить свою тему. У меня нет высокой степени образования, но в школе учился хорошо, поэтому вопрос на уровне школьной программы. Найдите, пожалуйста, ошибку в рассуждениях, ведь, до тех пор, пока теория не опровергнута, она считается верной, ведь так в математике?
Запишем формулы для нахождения площади круга и длины ограничивающей его окружности с центром О и радиусом r:
Иррациональное число
говорит о том, что не совсем корректно выражать площадь круга и длину окружности только через радиус, либо только через диаметр. Поэтому, избавляемся от иррационального числа
методом подстановки:
Далее отвлечёмся пока от круга, так как к нему ещё вернёмся. Разберём цилиндр:
Из рисунка видно, что цилиндр образован вращением прямоугольника
вокруг оси
.
и
.
Итак, каждой точке окружности основания цилиндра будет соответствовать свой прямоугольник со стороной на оси
. Таким образом, получаем: количество возможных образуемых прямоугольников при вращении рассмотренной фигуры
в цилиндре будет равно длине окружности с. Рассуждая далее, предположим, объём цилиндра будет равен найденной площади прямоугольника
, умноженной на величину с:
Но! Достаточно представить стопку монет и вспомнить про то, что: согласно методу расчёта объёма простой трёхмерной фигуры прямоугольного параллелепипеда и следуя принципу Кавальери, объём цилиндра вычисляется как произведение площади основания на высоту:
Почему получилась такая разница ровно в 2 раза?! Обратимся вновь к формуле площади круга, которую вывели выше:
Исходя из первого рисунка, круг состоит из отрезков, проведённых из его центра к каждой точке ограничивающей этот круг окружности (отрезков, вращающихся вокруг точки на плоскости), именуемых радиусами. Таким образом, возможно провести радиусов в количестве с, но из формулы видим, что площадь круга связана с радиусом через коэффициент
. Поэтому, для вращения прямоугольника
вокруг оси
следовало бы записать формулу объёма:
Теперь наша формула совпадает с формулой Кавальери, учтём коэффициент на будущее…
Подведя итог, можно сделать вывод, что при вращении пространство оказывается плотнее к центру и более рассеяно к окружности, с коэффициентом
, по сравнению с прямоугольными плоскими фигурами, так как для измерения площади изначально человеком взяты квадратные единицы измерения. Расчёт объёма также страдает, так как его находят через те же квадратные единицы:
. Наверное, правильнее было бы измерять площадь в количестве масштабируемых точек, причём толщину границы выбирать равной размеру точки, при этом границы должно рассматривать как часть фигуры…
Следуя найденному принципу, исследуем ещё некоторые тела вращения:
Конус образован вращением прямоугольного треугольника lhr относительно оси h. Каждой точке окружности основания длинной с, соответствует свой треугольник. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. Найдём объём конуса, используя установленный коэффициент кругового сжатия
:
Тогда площадь боковой поверхности:
Снова парадокс.
Шар радиусом r образован вращением полукруга АОВ вокруг оси АВ. Найдём объём шара, рассчитав площадь полукруга АОВ и применяя коэффициент кругового сжатия
:
где S – площадь диаметрального сечения, с – диаметральная окружность, r – радиус шара.
Площадь поверхности шара определим как произведение длины дуги АВ на коэффициент
:
Отсюда отношение:
При том, что по каноническим формулам получаем соотношение
, это очередной парадокс.