2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Фредгольмовый оператор
Сообщение07.06.2016, 18:21 


18/12/15
40
При каких условиях на функцию $a$ оператор $(Ax)(t)=a(t)x(t)$ является фредгольмовым оператором в $C\left [ a, b \right ] (a \in C\left [ a, b \right ])?$
В тех случаях, когда оператор фредгольмов, вычислить $\alpha (A), \beta (A)$ и $\operatorname{ind}(A)$. Где $\alpha (A)=\dim \operatorname{Ker}(A), \beta (A)=\operatorname{codim} \operatorname{Im}(A)$.

Я вот так начинал свои рассуждения:
Если $a(t)\equiv0 \Rightarrow \operatorname{Ker}A = \left \{x(t):x(t) \in C[a,b] \right \}\Rightarrow \dim \operatorname{Ker}A=\infty\Rightarrow$ оператор не Фредгольмов.
Если $a(t)\not\equiv0 \Rightarrow$
1) $a(t)\neq 0  \forall  t\in \left [ a, b  \right ] \Rightarrow \operatorname{Ker}A= \left \{ 0 \right \} \Rightarrow$$\dim \operatorname{Ker}A=0, \operatorname{codim} \operatorname{Im}A=0$, т.е.
$\alpha (a)=\beta (a)=\operatorname{ind}(a)=0$, следовательно, оператор Фредгольмов.
2) $a(t_{0})=0$ для некоторого $t_{0} \in \left [ a, b \right ]...$
Дальше не знаю. Подскажите, что и как дальше делать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Фредгольмовый оператор
Сообщение07.06.2016, 19:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
10083
Дауль, тут нет халявы, как и в Вашем университете (Назарбаевский - Астана?).
Давайте самостоятельные попытки решения.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение07.06.2016, 19:21 
Модератор


19/10/15
1196
И формулы поправьте, надо писать не $dim Ker$, а $\dim \operatorname{Ker}$

 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение08.06.2016, 09:23 
Модератор


19/10/15
1196
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Фредгольмовый оператор
Сообщение08.06.2016, 12:42 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
Dauletfromast1996
По п.1) : немного поспешили. Надо сначала проверить замкнутость образа, а уж потом считать размерности (да докажите его обратимость - и все дела)
По п.2: не будет, за счет незамкнутости образа. Но тут придется попотеть...
Рассмотрите для начала что-нить конкретное, например, $a(t) = t$, на отрезке $[0,1]$. Ясно, что в образ попадают лишь те $y(t)$, которые в нуле равны нулю. Но: все ли такие - попадают? Например, $\sqrt{t}$ ? Попробуйте теперь эту нехорошую - непопадающую - приблизить последовательностью попадающих...
Ну, а потом уже можно и общий случай посмотреть - в том же духе...

 Профиль  
                  
 
 Re: Фредгольмовый оператор
Сообщение14.06.2016, 14:11 


18/12/15
40
DeBill в сообщении #1129980 писал(а):
Dauletfromast1996
Попробуйте теперь эту нехорошую - непопадающую - приблизить последовательностью попадающих...


Приблизить рядом Тейлора?

 Профиль  
                  
 
 Re: Фредгольмовый оператор
Сообщение14.06.2016, 20:06 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
Dauletfromast1996 в сообщении #1131498 писал(а):
Приблизить рядом Тейлора?

Не, рядом Тейлора - нехорошо. Лучше так
$x_n(t) = \sqrt{t}-\frac{1}{n}$ при $t> \frac{1}{n^2}$, и равную 0 при $t \leqslant \frac{1}{n^2}$. Они все лежат в образе, и сходятся по норме к $x(t)=\sqrt{t}$(проверить!)
Ну, и остается еще общий случай...

 Профиль  
                  
 
 Re: Фредгольмовый оператор
Сообщение16.06.2016, 11:57 


18/12/15
40
Спасибо большое! Дорешал сам.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group