Фредгольмовый оператор

[Dauletfromast1996]

При каких условиях на функцию $a$ оператор $(Ax)(t)=a(t)x(t)$ является фредгольмовым оператором в $C\left [ a, b \right ] (a \in C\left [ a, b \right ])?$
В тех случаях, когда оператор фредгольмов, вычислить $\alpha (A), \beta (A)$ и $\operatorname{ind}(A)$. Где $\alpha (A)=\dim \operatorname{Ker}(A), \beta (A)=\operatorname{codim} \operatorname{Im}(A)$.

Я вот так начинал свои рассуждения:
Если $a(t)\equiv0 \Rightarrow \operatorname{Ker}A = \left \{x(t):x(t) \in C[a,b] \right \}\Rightarrow \dim \operatorname{Ker}A=\infty\Rightarrow$ оператор не Фредгольмов.
Если $a(t)\not\equiv0 \Rightarrow$
1) $a(t)\neq 0 \forall t\in \left [ a, b \right ] \Rightarrow \operatorname{Ker}A= \left \{ 0 \right \} \Rightarrow$$\dim \operatorname{Ker}A=0, \operatorname{codim} \operatorname{Im}A=0$, т.е.
$\alpha (a)=\beta (a)=\operatorname{ind}(a)=0$, следовательно, оператор Фредгольмов.
2) $a(t_{0})=0$ для некоторого $t_{0} \in \left [ a, b \right ]...$
Дальше не знаю. Подскажите, что и как дальше делать?

[Dan B-Yallay]

Дауль, тут нет халявы, как и в Вашем университете (Назарбаевский - Астана?).
Давайте самостоятельные попытки решения.

[Karan]

И формулы поправьте, надо писать не $dim Ker$, а $\dim \operatorname{Ker}$

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Karan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[DeBill]

Dauletfromast1996
По п.1) : немного поспешили. Надо сначала проверить замкнутость образа, а уж потом считать размерности (да докажите его обратимость - и все дела)
По п.2: не будет, за счет незамкнутости образа. Но тут придется попотеть...
Рассмотрите для начала что-нить конкретное, например, $a(t) = t$, на отрезке $[0,1]$. Ясно, что в образ попадают лишь те $y(t)$, которые в нуле равны нулю. Но: все ли такие - попадают? Например, $\sqrt{t}$ ? Попробуйте теперь эту нехорошую - непопадающую - приблизить последовательностью попадающих...
Ну, а потом уже можно и общий случай посмотреть - в том же духе...

[Dauletfromast1996]

DeBill в сообщении #1129980 писал(а):

Dauletfromast1996
Попробуйте теперь эту нехорошую - непопадающую - приблизить последовательностью попадающих...

Приблизить рядом Тейлора?

[DeBill]

Dauletfromast1996 в сообщении #1131498 писал(а):

Приблизить рядом Тейлора?

Не, рядом Тейлора - нехорошо. Лучше так
$x_n(t) = \sqrt{t}-\frac{1}{n}$ при $t> \frac{1}{n^2}$, и равную 0 при $t \leqslant \frac{1}{n^2}$. Они все лежат в образе, и сходятся по норме к $x(t)=\sqrt{t}$(проверить!)
Ну, и остается еще общий случай...

[Dauletfromast1996]

Спасибо большое! Дорешал сам.