Расширение пространства операций

[AD]

Ну и что вы этим хотели сказать? Какое это имеет отношение к теме?

[STilda]

то, что введение новых операции так, как здесь предлагается, не несут той новизны, к которой, возможно, интуитивно и стремятся авторы. (как и в многоэтажных полях - функцию добавили а этаж не получили все равно. забыли тот самый интересный элемент).

[AD]

STilda писал(а):

к которой, возможно, интуитивно и стремятся авторы.

Ну вы телепат ... Эту вашу новизну вам пришлось мне растолковывать на две страницы.

STilda писал(а):

функцию добавили а этаж не получили все равно. забыли тот самый интересный элемент

В этой теме ведь обобщается именно переход от сложения к умножению, а при таком переходе новые элементы не появляются, а, скорее, наоборот, убираются.

[shust]

К обсуждаемой теме привожу цитату из выступления участника Ignorant http://forum.nad.ru/cgi-bin/forum.pl?forum=mat&mes=23737, в которой емко, образно и кратко описывается эволюция понятия числа и операций:

"Пришел в голову следующий вопрос, ответа на который найти в учебниках не смог.
Расширения понятия числа вводятся в математике по одному и тому же принципу:
Вводятся целые числа и операция прибавления 1.
Дальше все по шаблону:
1. Операция прибавления 1 N раз – получаем сложение, сложение в обратную сторону – получаем вычитание. Чтобы вычитание было возможно всегда, добавляем к числам знак.
2. Операция сложения числа само с собой N раз – получаем умножение, умножение в обратную сторону – деление. Чтобы деление было возможно всегда, вводим рациональные числа.
3. Операция умножения числа само на себя N раз – получаем возведение в степень, возведение в обратную сторону – логарифм и корень. Чтобы корни всегда были возможны – добавляем к числам угол, получаем комплексные числа.
4. Операция возведения числа в степень того-же числа N раз – что это за операция? Эту операцию можно так же вычислять в “обратную сторону”. Будет ли эта обратная операция определена для любых чисел? Если нет, то пытался ли кто-нибудь выполнить такое расширение, что это за числа и как они называются? "

Что может ему ответить классическая математика в лице ее славных представителей? И, вообще, кто, что может сказать по поводу этого выступления и ответить на интересующие участника вопросы?

[Azog]

Если я правильно понял в пункте 4 подразумевается извелечение степени? Тогда Комплексные числа подходят.

[STilda]

расширяейте лучше количесвто единиц в системе, чем колво функций. без добавления единиц имеем замкнутость поля комплексных чисел.

[shwedka]

shust

Цитата:

4. Операция возведения числа в степень того-же числа N раз – что это за операция? Эту операцию можно так же вычислять в “обратную сторону”. Будет ли эта обратная операция определена для любых чисел? Если нет, то пытался ли кто-нибудь выполнить такое расширение, что это за числа и как они называются? "

Вы имеете в виду функции $x^x$, $x^{x^x}$ и тд??
Рассматривать, конечно, их можно, первая из них даже у меня в связи с одной матфизической задачей недавно встретилась. Втречается она и в теории информации. Но с обращением их плохо. Например, на интервале между нулем и единицей функция $x^x$ принимает каждое свое значение, кроме одного, по два раза, так что обращать неуютно. С $x^{x^x}$ еще хуже. Я не считала, но похоже, что при положительных х некоторые значения принимаются по три раза. С другой стороны, $x^x$ представляет лишь маргинальный интерес, дальнейшие -никакого. Так что нужды в их анализе нет. Вот когда Вы выйдете за рамки определений, найдете интересные приложения таких функций, то тогда и интерес к ним возникнет. А пока -- одно слово, маргинально, вещь в себе.

[AD]

STilda писал(а):

расширяейте лучше количесвто единиц в системе, чем колво функций. без добавления единиц имеем замкнутость поля комплексных чисел.

Извините, но ни у какой бинарной операции не может быть более одной единицы. Действительно, если $e_1$ и $e_2$ -- единицы, то $e_1=e_1\cdot e_2$, поскольку $e_2$ - единица, и $e_2=e_1\cdot e_2$, поскольку $e_1$ - единица, следовательно $e_1=e_2$.

[Hottabych]

Это не совсем так. Если операция не коммутативна, то в кольце может быть несколько левых или правых единиц.

[AD]

Согласен. Но ведь STilda имел(а) ввиду двусторонние единицы, правда*?
Но одна двусторонняя единица в поле комплексных чисел уже в любом случае есть.

* объясняю: по опыту общения ясно, что STilda имел(а) ввиду что-то глубоко своё, типа базисных векторов, которые еще к тому же нельзя на -1 умножать. Но придраться к использованию общепринятого термина в необщепринятом смысле я по-прежнему фанатично считаю необходимым.

Кстати,

STilda писал(а):

имеем замкнутость поля комплексных чисел.

Кошмар, правда? Как вообще можно работать с замкнутым полем??

[STilda]

Я имею ввиду, что добавлять новую операцию нужно так, чтобы появлялся нейтральный элемент по этой операции. Например такой ряд:
(-)*(-)=(+), (+) - нейтральный по умножению.
(-)+(+)=(0), (0) - нейтральный по сложению.
добавляю
(-)#(+)#(0)=(Q), (Q) - нейтральный по решеточке.
тут # - тернарная операция. (Q) - НОВЫЙ элемент в алгебраической структуре.
появляются другие законы дистрибутивности. Появляются другие числа типа (+)2#(0)7.

AD писал(а):

Кошмар, правда? Как вообще можно работать с замкнутым полем??

То был ответ на вопрос

shust писал(а):

Эту операцию можно так же вычислять в “обратную сторону”. Будет ли эта обратная операция определена для любых чисел? Если нет, то пытался ли кто-нибудь выполнить такое расширение, что это за числа и как они называются?

[AD]

STilda писал(а):

(+) - нейтральный по умножению.

Ну тяжелый случай, ну что я могу сказать.

[STilda]

Сочувствую

[shust]

shwedka писал(а):

shust

Цитата:

4. Операция возведения числа в степень того-же числа N раз – что это за операция? Эту операцию можно
так же вычислять в “обратную сторону”. Будет ли эта обратная операция определена для любых чисел? Если нет,
то пытался ли кто-нибудь выполнить такое расширение, что это за числа и как они называются? "

Вы имеете в виду функции $x^x$, $x^{x^x}$ и тд??

Я, думаю, что участник Ignorant, цитату из выступления которого я привел, наверно это и подразумевал в этом
пункте своих вопросов. Это четвертое действие или tetration по английски (см. http://en.wikipedia.org/wiki/Tetration).

shwedka писал(а):

Рассматривать, конечно, их можно, первая из них даже у меня в связи с одной матфизической
задачей недавно встретилась. Втречается она и в теории информации. Но с обращением их плохо. Например, на
интервале между нулем и единицей функция $x^x$ принимает каждое свое значение, кроме одного,
по два раза, так что обращать неуютно.

Возможно, Вы имели виду, что функция $x^x$ принимает каждое свое значение при двух различных значениях аргумента $x$ указанного интервала?

shwedka писал(а):

С $x^{x^x}$ еще хуже. Я не считала, но похоже, что при положительных $x$ некоторые значения принимаются по три раза.

Эта фраза совсем непонятна. Функция $x^{x^x}$ при положительных $x$ строго монотонно возрастает, в чем легко убедиться посмотрев синюю кривую на графике, расположенным в правом верхнем углу страницы со ссылкой http://en.wikipedia.org/wiki/Tetration(для увеличения изображения графика можно щелкнуть левой кнопкой мыши на нем).
Так, что проблем с её обращением совсем нет.

shwedka писал(а):

Вот когда Вы ...найдете интересные приложения таких функций, то тогда и интерес к ним возникнет.

Вы имеете в виду прикладной интерес к изучению этих функций? Лично мне они интересны с чисто познавательной точки зрения. В частности мне интересно почему семейство этих функций имеет точку бифуркации - разветвления при числе "этажей" стремящемся к бесконечности, о чем говорилось в выступлении по адресу http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=96645&sid=f3f00e6b0fa9873d6ee708e5bd870766#96645 .
Кстати говоря по ссылке http://en.wikipedia.org/wiki/Tetration на втором рисунке ниже, который появился совсем недавно, можно увидеть часть кривой, о которой я говорил в теме "Интересная кривая" (http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=11269) и которая навлекла столько гонений на мою голову.

[shwedka]

shust

Цитата:

Эта фраза совсем непонятна. Функция $x^{x^x}$ при положительных $x$ строго монотонно возрастает, в чем легко убедиться посмотрев синюю кривую на графике,

да, промахнулась я здесь. но функции с четным числом этажей необратимы.

Цитата:

Вы имеете в виду прикладной интерес к изучению этих функций?

Нет, приложения внутри математики. А до тех пор, пока эти функции только картинки дают будут они вещью малоинтересной для общественности.