Пространство Фока. Представление Фока-Баргмана

[WolfAlone]

Посмотрел опять Вайнберга 4.2. Полухрень. Определяет абстрактно оператор, который "просто добавляет частицу с квантовыми числами ...". Смесь птиче-интерпретационного языка с математическим. Хуже и того и другого.

-- 06.06.2016, 13:57 --

Munin в сообщении #1129459 писал(а):

А надо смотреть одну книжку, но серьёзно, от начала до хотя бы середины

Не надейтесь! Я работаю с многими книжками одновременно насколько могу и компилирую понимание. Но вам даже не советую, т.к. 1) это ( = работать с одной) принципиально/концептуально порочный тип изучения (для известного типа птиц) 2) вам такой (противоположный) стиль тоже не светит... поздно.

-- 06.06.2016, 14:15 --

Munin в сообщении #1129459 писал(а):

У вас острый случай незнакомства с абстрактной, "матричной" КМ. ... пока вы эту КМ не освоите

По КМ у меня был хороший препод. Много чего сказал/просвятил, чего нет в книжках. КТП изучаю сам, от вас пока (здесь) толку не много; хотя что-то есть, поощряю.

[Alex-Yu]

WolfAlone в сообщении #1129460 писал(а):

Посмотрел опять Вайнберга 4.2. Полухрень. Определяет абстрактно оператор, который "просто добавляет частицу с квантовыми числами ...". Смесь птиче-интерпретационного языка с математическим.

Как раз математики подобный подход очень любят. Абстрактно определили, и дело с концом. Но дело в другом. Естественно, что совершенно неясно с какого бы перепуга вводить такие операторы (математически абсолютно корректно, но зачем). Но это неясно ТОЛЬКО если взять этот параграф сам по себе (впрочем, если дойти до теоремы связаной с формулой (4.2.8), то кое-что становится понятным; а если еще вводную часть главы прочитать...). Но если вдумчиво прочитать целиком хотябы главы 4 и 5, то очень даже ясно. Увы, в содержательных теориях мотивировки не всегда такие, что можно на страничку уложить. Иной раз и целой книжки мало. Ну нет в серьезной физике линейного пути. Тут скорее нужно "бродить по сетке" (а не по одной "нитке"). И только когда "сетку" основательно обтопчешь, что-то становится ясным. И что написал Вайнберг --- тоже ясным. Но только ПОСЛЕ того, как изучишь страниц так две-три тысячи разных книг.

[WolfAlone]

Alex-Yu в сообщении #1129462 писал(а):

Как раз математики подобный подход очень любят. Абстрактно определили, и дело с концом

А еще, только что, посмотрел Логунов-Боголюбов. Вообще грустно стало. Какие бы и когда я книжки Боголюбова не смотрел, всегда отторжение с первых страниц. Хотя все говорят - хорошие.

-- 06.06.2016, 14:35 --

Alex-Yu в сообщении #1129462 писал(а):

... нужно "бродить по сетке" (а не по одной "нитке"). И только когда "сетку" основательно обтопчешь, что-то становится ясным

Вот так я и живу

WolfAlone в сообщении #1129460 писал(а):

... работаю с многими книжками одновременно насколько могу и компилирую понимание

и ничего лучшего не знаю ("и знать не хочу" Л. Толстой).

[Alex-Yu]

WolfAlone в сообщении #1129466 писал(а):

А еще, только что, посмотрел Логунов-Боголюбов. Вообще грустно стало.

А вот Логунова, даже вместе с Боголюбовым, ни в коем случае не читать!!!! Правильно, что грустно, иначе и быть не может.

Книги Боголюбова --- очень хорошие. Но всеже не для начала. Помнится Вильсон в своей нобелевской лекции вспоминал свою молодость и "Введение..." Боголюбова-Ширкова прямо называл книгой загадочной или что-то вроде того. Хотя конечно, эта книга для Вильсона (и даже для людей попроще, меня, например) со временем перестала быть загадочной. Опять же она уж очень старая по нынешним временам.

Всетаки имейте в виду, что Вы взялись за изучение весьма не простой теории. Всякие там электроники-радиотехники (как и одночастичная КМ) ---- просто элементарно-наивные детские игры по сравнению с этой, действительно серьезной наукой.

[WolfAlone]

Тут возник вопрос. Вайнберг пишет, что вторичное квантование - это когда волновые функции 1-частичной КМ (ур-е Дирака $\psi(x)$, например) рассматриваются как поля (классические $\psi(x)$) и далее они вновь квантуются по осцилляторам (?). Т.е. типа $\psi(x) \to \{q_k\}\to\{a_k,a_k^+\}$. С другой стороны как это состыковать с тем, что представление Фока имеет второе название "вторичное квантование"? а Munin писал, что конечномерные КМ -> вторично квантуем

Munin в сообщении #1129418 писал(а):

...Берём вторичное квантование, $n$-частичные волновые функции

[Munin]

WolfAlone в сообщении #1129460 писал(а):

Не надейтесь! Я работаю с многими книжками одновременно насколько могу и компилирую понимание.

Ну вот очень хреново у вас получается "компилировать".

Я сам советую именно это - но не в вашем случае. Надо добиваться хоть какого-то понимания, чтобы потом мочь сопоставлять между собой разные книжки. А у вас об этом можно только мечтать.

WolfAlone в сообщении #1129460 писал(а):

По КМ у меня был хороший препод. Много чего сказал/просвятил, чего нет в книжках.

Да пожалуйста. Я и не говорю, что плохой. Я говорю, что вы сейчас, в том состоянии, которое вы демонстрируете, - вы не готовы к чтению КТП.

(В принципе, ничего страшного. Я тоже был не готов, когда впервые схватился. И долго мучился, пока, наконец, не созрел и не "схватил". Но всё-таки вёл себя по отношению к своим учителям менее заносчиво (надеюсь).)

(Оффтоп)

Alex-Yu в сообщении #1129468 писал(а):

Книги Боголюбова --- очень хорошие. Но всеже не для начала. Помнится Вильсон в своей нобелевской лекции вспоминал свою молодость и "Введение..." Боголюбова-Ширкова прямо называл загадочной или что-то вроде того.

Кроме "толстого" Боголюбова-Ширкова "Введение...", есть ещё "тонкий" Б-Ш, который называется просто "квантовые поля".

Вот это неплохая книжка "на пальцах", правда, объясняющая кусочно-разрывно, и в стиле "тут играть, тут не играть, тут селёдку заворачивали". Для меня наиболее ценными в ней были "приложения" :-)

Думаю, талант Боголюбова сказался на этой книжке в меньшей степени.

-- 06.06.2016 15:47:24 --

WolfAlone в сообщении #1129471 писал(а):

С другой стороны как это состыковать с тем, что представление Фока имеет второе название "вторичное квантование"? а Munin писал, что конечномерные КМ -> вторично квантуем

Слово "вторичное квантование" лучше освоить по Ландау-Лифшицу-3. А в Вайнберга залезать не раньше, чем будет понято, что написано там.

-- 06.06.2016 15:48:30 --

(Оффтоп)

Alex-Yu в сообщении #1129468 писал(а):

Всетаки имейте в виду, что Вы взялись за изучение весьма не простой теории. Всякие там электроники-радиотехники (как и одночастичная КМ) ---- просто элементарно-наивные детские игры по сравнению с этой, действительно серьезной наукой.

Ну дык. Я в своё время ошалел, когда понял, что пространство состояний КТП имеет размерность бесконечность в степени бесконечность. Правда, всё равно гильбертово :-)

[Alex-Yu]

WolfAlone в сообщении #1129471 писал(а):

Тут возник вопрос. Вайнберг пишет, что вторичное квантование - это когда волновые функции 1-частичной КМ (ур-е Дирака $\psi(x)$, например) рассматриваются как поля (классические $\psi(x)$) и далее они вновь квантуются по осцилляторам (?). Т.е. типа $\psi(x) \to \{q_k\}\to\{a_k,a_k^+\}$. С другой стороны как это состыковать с тем, что представление Фока имеет второе название "вторичное квантование"? а Munin писал, что конечномерные КМ -> вторично квантуем

А наплюйте! Это чисто исторические "заморочки". Когда-то очень давно Дирак затеял такую игру: а давай обычную 1-частичную волновую функцию сделаем оператором, и посмотрим что из этого получится. Это очень формальная и действительно непонятная затея. Впрочем, затея Гайзенберга была еще непонятней. Вайнберг (а нобелевский лауреат как ни как!) как-то писал, что он долго пытался, но так и не смог понять мотивы, приведшие Гайзенберга к его великой работе, положившей начало КМ. Но это же все было в те времена, когда все это только создавалось! Первоначальные творения всегда неуклюжие.

Кстати, крайне (!!!) полезно прочитать "Историческое введение" в том же 1-ом томе Вайнберга.

У Вайнберга есть очень инересные соображения, изложенные во вводной части гл.4. И далее все главы 4 и 5 только лишь и служат для того, чтобы построить инструменты, необходимые для того, чтобы эти смутные соображения превратить в теорию.

[WolfAlone]

Munin в сообщении #1129473 писал(а):

... вёл себя по отношению к своим учителям менее заносчиво

Господин Munin, занимайтесь темой, которую обозначил TC, а не комментариями в его адрес. Ваше желание поучить "про волновую $\psi(x)$ и абстрактную КМ" уже просто надоело. Поэтому гладко обтекаемых "объяснений" типа

Munin в сообщении #1114695 писал(а):

Фоковское и есть просто гильбертово. Просто это некая его интерпретация,

мне не прокатят. Да и перлы типа

Munin в сообщении #1128863 писал(а):

Речь только о конечном числе частиц, но неограниченном

тоже лучше не выбрасывать сюда. Мусора и без того много. А вот это

WolfAlone в сообщении #1128867 писал(а):

Почему необходимо добавлять особый вектор $|A_0\rangle$

(и не только) пока еще висит в воздухе. Имеется в виду добавлять к $|1\rangle$, $|12\rangle$, $|123\rangle$ ... вакуум $|A_0\rangle$.

[Munin]

WolfAlone в сообщении #1129480 писал(а):

Ваше желание поучить "про волновую $\psi(x)$ и абстрактную КМ" уже просто надоело.

Ну, ещё бы не надоело, если вы всё время отмахиваетесь от того, чтобы сесть и поработать.

WolfAlone в сообщении #1129480 писал(а):

(и не только) пока еще висит в воздухе.

Ответ был дан. А почему вы его не услышали - отдельный вопрос.

(Оффтоп)

Alex-Yu в сообщении #1129477 писал(а):

Когда-то очень давно Дирак затеял такую игру: а давай обычную 1-частичную волновую функцию сделаем оператором, и посмотрим что из этого получится. Это очень формальная и действительно непонятная затея.

И боюсь, из неё до сих пор растут корни у всяких путаниц состояний с операторами.

[Alex-Yu]

WolfAlone в сообщении #1129480 писал(а):

WolfAlone в сообщении #1128867

писал(а):
Почему необходимо добавлять особый вектор $|A_0\rangle$ (и не только) пока еще висит в воздухе. Имеется в виду добавлять к $|1\rangle$, $|12\rangle$, $|123\rangle$ ... вакуум $|A_0\rangle$.

Ох. Да вроде должно быть уже ясно.... Ну давайте еще раз. Вот возьмем, в качестве системы, ящик (мысленно выделим какой-то достаточно большой объем, за пределы которого на рассматриваемых временах точно ничего улетать не может), в котором может быть одна частица (во том или ином состоянии), две частицы, три.... А ни одной может быть? Вот пустой ящик, нет в нем никаких частиц. Очевидно может. Это состояние ящика? Конечно состояние. Таких состояний много или оно одно? Очевидно одно. Значит в гильбертовом пространстве состояний ящика должен быть в т.ч. один единственный орт, соответствующий пустому ящику. Это и есть вакуум.

И никакие математические правила тут абсолютно ни при чем. Это чисто физическое требование. Собственно структура пространства состояний ВСЕГДА определяется физическими требованиями. А уж какое это будет пространство с математической точки зрения... Какое физические требования потребуют, такое и будет! Если математики такого пространства еще не придумали, то сами придумаем! И математика нам не указ!

Не исключено, но точно знать не могу, что Ваши проблемы в том, что Вы ищите фундаментальные обоснования в математике. А так в физике не бывает!!! Физика --- самостоятельная наука. Хочу что-то из трудов математиков беру, не хочу --- не беру, сам придумываю. Конечно, чтобы брать-не брать, надо математику знать. Но, еще раз, то, что написано в математических книгах, ни в коем случае (!!!) не может быть основанием физических (в т.ч. теорфизических) построений.

[WolfAlone]

Вот как раз, как только я недавно прочитал у Вайнберга "негатив" в адрес вторичного квантования ("исторический интерес") мне полегчало, потому что я на интуитивном уровне с подозрением относился к идее полевого квантования принципиально неклассического поля $\psi(x)$, да еще и принципиально линейного. Да, но книжек по вторичному написано много и там, разумеется, не пишется про "не очень убедительные" основы. Вот и кидайся в вычисления... Здесь же, в теме, мне сначала дали понять, что "представление" не в том смысле, что я ожидал. А теперь выясняется вроде, что все ок. Переход от Фока к полевым осцилляторам есть железный изоморфизм между представлениями. Если все так, то ради этого можно и поковыряться формулами. Немного забегая вперед, у меня теплится подозрение, что КТП - это, в грубом/концептуальном взгляде та же КМ ( которую я, худо-бедно понимаю), но с серьезным усложнением на бесконечномерность того, что в ней именуется фазовым классическим пространством. Именно это и было подоплекой моего вопроса выше про операторы, да и всей темы.

[Alex-Yu]

WolfAlone в сообщении #1129510 писал(а):

у меня теплится подозрение, что КТП - это, в грубом/концептуальном взгляде та же КМ ( которую я, худо-бедно понимаю), но с серьезным усложнением на бесконечномерность того, что в ней именуется фазовым пространством

В некотором смыле да. Иногда говрят, что КМ --- это одномерная КТП. Подразумевая, что есть только временная координата.

Может помогут такие слова. Конфигурационное пространство (все же не фазовое, фазовое --- это еще канонические импульсы (не путать с "нормальными" импульсами!)) --- это пространство полевых конфигураций т.е. полевых функций $u(x)$. При этом "волновая фукция" (аналог $\psi(x)$ в простой КМ) оказывается функционалом $\Psi[u(x)]$. Но нужно иметь в виду, что если в простой КМ опреатор координаты это оператор умножения на координату, то в КТП все сложнее: оператор поля в некоторой точке --- это вторичноквантованный оператор (линейный по операторам рождения/уничтожения).

-- Пн июн 06, 2016 22:32:45 --

WolfAlone в сообщении #1129510 писал(а):

потому что я на интуитивном уровне с подозрением относился к идее полевого квантования принципиально неклассического поля $\psi(x)$, да еще и принципиально линейного.

Здесь беда в том, что исторически обозначено той же буквой и при этом подразумевается то же самое поле, что и поле "волновой функции". Это, как Вы верно отметили, чепуха. Но, конечно, никто нам не запрещает рассмотреть КЛАССИЧЕСКОЕ поле, подчиняющееся да хоть уравнению Шредингера (по форме) и это поле проквантовать! Важно понимать: мы квантуем не волновую функцию, а именно полевую функцию! А то, что в классике полевая функция подчиняется такому же дифуравнению как 1-частичное уравнение Шредингера (практически всеже Дирака, но теоретически можно и Шредингера) --- дело абсолютно десятое. Может быть такое же уравнение, а может быть и не такое же.

-- Пн июн 06, 2016 22:41:36 --

WolfAlone в сообщении #1129510 писал(а):

"не очень убедительные" основы.

Тут скорее не очень точная (даже совсем неверная!) терминология. А основы как раз вполне убедительные. Если правильно рассматривать

Что делать, терминология освящена традицией. Против этого не попрешь. Просто нужно правильно слова интерпретироввать (не буквально). В конце концов, когда мы говорим "зеленый кварк" мы же не подразумеваем, что он зеленой краской ПФ-115 покрашен

[WolfAlone]

Про ящик с вакуумом. Мне уже многое стало проясняться, поэтому приведу свои соображения, как я (частично) понимаю. Ваш предыдущий пустой ящик и ящик с частицами, в такой голой формулировке, ортогональны друг другу по физике. И они останутся такими, даже если теория частиц есть КМ. Поэтому я не ищу математического обоснования (не математик по образованию), а физическую необходимость добавления к теории КМ-частиц состояния "нет частиц". До тех пор пока я сижу в банальной конечно-частичной КМ проблемы введения вакуума нет. У него нет физических мотиаов появляться в этой моей КМ. Это все равно, как если бы я, живя в 2-мерном мире пытался бы добавить 3-е измерение не имея физич данных, указывщих на это. Или, городил бы математический огород с пополнением до полноты некими предельными элементами, выходящими из 2-пространства. Их нет. 2-пространство "нормальное и полное". Но у нас есть физический факт: частицы исчезают,-аннигилируют. Рушится парадигма "этой моей КМ выше" и я должен: 1) переопределить мое старое понятие "КМ-частица, кол-во частиц", состояния частиц или дать им иную формулировку "переменное кол-во частиц в новой формулировке" + какой-то естественный способ превращения "новой теории" в предыдущую КМ и в классическую (принцип соответствия); 2) ввести состояние "нет частиц". Это все хорошо, осталось только добавить, что этот "вакуум" вводится постулированием. За этим постулированием нет и быть не может матемаьического обоснования; описано выше. Вот слов "постулирование, потому что аннигилируют + другое понятие "частица"" мне и не хватало. Представим на мгновение, что физика такова, что частицы "старое понимание" только рождаются. Быть может с трудом, чем их больше (для "разумности" такой физики). Тогда никакого вакуума не нужно, а теория квантовая и с переменным возрастающим числом частиц. Теорию теперь осталось обустроить в удобную иподходящую реализацию пространства состояний и это уже технический вопрос. Благо мы имеем бесконечномерность и известную бесконечновместимость кажущегося маленьким 1-частичного гильберта. Прошу любезно подтвердить, корректно ли я сформулировал. Очень похоже, что именно так и есть. Собака, видать была зарыта именно в двух пунктах выше

[Alex-Yu]

WolfAlone в сообщении #1129519 писал(а):

Про ящик с вакуумом. Мне уже многое стало проясняться, поэтому приведу свои соображения, как я (частично) понимаю. Ваш предыдущий пустой ящик и ящик с частицами, в такой голой формулировке, ортогональны друг другу по физике. И они останутся такими, даже если теория частиц есть КМ. Поэтому я не ищу математического обоснования (не математик по образованию), а физическую необходимость добавления к теории КМ-частиц состояния "нет частиц". До тех пор пока я сижу в банальной конечно-частичной КМ проблемы введения вакуума нет. У него нет физических мотиаов появляться в этой моей КМ.

Есть. В том случае, если взаимодействия такие, что частицы могут исчезать/возникать. Например, электрон может проанигиллировать с позитроном и элетрона (как и позитрона) не станет. Получится электрон-позитронный вакуум. Физически получится. С фотоном еще проще: он может просто поглотиться атомом (а еще лучше классическим током). И все, однфотонное состояние перешло в нульфотонное --- в фотонный вакуум. И как Вы это описывать будете, если вакуума нет? А еще вакуум может появляться в промежуточных состояниях. Для этого даже не надо чтобы энергия куда-то девалась.

Хотя в принципе, в нерелятивисткой КМ массивных частиц всегда можно обойтись n-частичной теорией. Там число частиц фиксировано (энергию покоя некуда девать). Но уж очень удобен матаппарат теории с переменным числом частиц. Что бы нам не вложить теорию n-частиц в более общую теорию любого числа частиц (в т.ч. без частиц). И тем самым получить мощнейший аппарат для вычислений: не надо вообще (!!!) заморачиваться на счет векторов состояний, их все делаем с помощью вакуума и операторов рождения. Фактически в теории тогда явно (но лишь явно) фигурирует лишь простенький и тривиальненький вакуум. Ну разве не прекрасно?

В релятивсткой теории без теории любого числа частиц (включающей вакуум) никуда, там реальное, физическое возникновение и исчезновение частиц на каждом шагу.

-- Пн июн 06, 2016 23:26:25 --

WolfAlone в сообщении #1129519 писал(а):

редставим на мгновение, что физика такова, что частицы "старое понимание" только рождаются.

Ну это нефизическая экзотика. И я не уверен, что такая теория не будет математически патологична (подозреваю, что тут будет нарушение унитарности). В конце концов, а как же с обратимостью времени???

-- Пн июн 06, 2016 23:27:50 --

WolfAlone в сообщении #1129519 писал(а):

Прошу любезно подтвердить, корректно ли я сформулировал.

Фактически я уже ответил.

-- Пн июн 06, 2016 23:44:04 --

WolfAlone в сообщении #1129519 писал(а):

Ваш предыдущий пустой ящик и ящик с частицами, в такой голой формулировке, ортогональны друг другу по физике.

И еще не забывайте, что состояния с разным числом частиц (например 4-частичное и 2-частичное, как уже фигурировало) тоже ортогональны по физике. Посто потому, что если частицы точно две, то никогда в (идеальном, без повторов счета) эксперименте Вы не насчитаете их четыре. Это и означает ортогональность.

[Pphantom]

WolfAlone - Вам настоятельно рекомендуется быть повежливее. Продолжать общение в том же стиле Вы не будете, и от Вас зависит только то, добровольно это будет или принудительно.