Пространство Фока. Представление Фока-Баргмана

[Munin]

Идея такая. Берём вторичное квантование, $n$-частичные волновые функции. Выкидываем все пространственные переменные. Симметризуем все функции, как требует бозонность. В итоге, получаем коммутационные соотношения на операторы, переводящие один "этаж" в другой - ровно такие, как в осцилляторе. Можно повторить с фермионами и больцманонами.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #1129418 писал(а):

Идея такая. Берём вторичное квантование, $n$-частичные волновые функции. Выкидываем все пространственные переменные. Симметризуем все функции, как требует бозонность. В итоге, получаем коммутационные соотношения на операторы, переводящие один "этаж" в другой - ровно такие, как в осцилляторе. Можно повторить с фермионами и больцманонами.

Как я уже говорил, я догадываюсь, что Вы имеете в виду. Но я АБСОЛЮТНО уверен, что ТС из этого не поймет ничего. И даже хуже --- родит какую-нибудь бредятину в качестве "понимания" того, что Вы написали.

[Munin]

Ладно. Тогда всё зачеркнуть, и ему не показывать.

[WolfAlone]

Munin в сообщении #1129418 писал(а):

Идея такая. Берём вторичное квантование, $n$-частичные волновые функции. Выкидываем все пространственные переменные. Симметризуем все функции, как требует бозонность. В итоге, получаем коммутационные соотношения на операторы, переводящие один "этаж" в другой

Вот в этом как раз нет проблем понять. Кроме слов "Выкидываем все пространственные переменные". Не понятно, что скрыто за этой фразой. Построили башню $n$-частичных КМ. (Вторично квантованная теория - это в точности "наш строящийся Фок" или "неполный" (конечно-частичные КМ еще без вакуума)?) Симметризуем, как требует бозонность. А вот откуда

Munin в сообщении #1129418 писал(а):

... получаем коммутационные соотношения на операторы, переводящие один "этаж" в другой

???

[Alex-Yu]

WolfAlone в сообщении #1129429 писал(а):

???

Не заморачивайтесь. Лучше разберитесь каким полевым волновым функциям соответствуют векторы состояния (функциональные матрицы-столбцы) в картине частиц. Ясно, что вакууму т.е столбцу

$$ \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \dots \end{array} \right) $$

сответствует функция $\phi_0(q_1)\phi_0(q_2)\dots$ где через $\phi_n(q_i)$ я обозначил $n$-ое состояние $i$-того социллятора. Для нулевого $n$ это просто гауссиан.

А вот чему соответсвует одночастичное состояние:

$$ \left( \begin{array}{c} 0 \\ \psi(x) \\ 0 \\ \dots \end{array} \right) $$

какой функции от бесконечного набора $q_i$?

Думаю, что дальше станет понятно по аналогии.

[WolfAlone]

Alex-Yu в сообщении #1128885 писал(а):

ной раз вакуумом НЕКОРРЕКТНО называют основное состояние. Тут бы надо писать "вакуум" в кавычках, это не настоящий вакуум

Вот я смотрю разные книжки и кое-кого поспрашивал, так употребляют вакуум в "некорректном" (т.е. вашем) смысле слова сплошь и рядом. Все-таки отождествлять вакуум с "отсутствие частиц в смысле по Фоку" мне больше нравится. Даже в wikipedia есть смешение: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0 ... 0%BB%D1%8F. Но, кстати, там про соотношение состояние/оператор написано почти в точь как я приводил цитату из Нов-Тайм. Оператор есть, подействовали на вакуум, получили состояние. Вывод оператор определяет однозначно состояние. Серьезнее, пока, проблема в том, что каковы операторы перехода с этаж на этаж в Фоке? Может они имеют свои прямые аналоги/представители в осцилляторных описаниях поля. То есть операторы рождения/уничтожения возбуждений 1-частичных осцилляторов, грубо говоря, можно "перегнать" в рождение-уничтожение Фоковских этажей?

[Alex-Yu]

WolfAlone в сообщении #1129434 писал(а):

Серьезнее, пока, проблема в том, что каковы операторы перехода с этаж на этаж в Фоке?

А вот решите довольно простую задачку, что я написал выше, и станет ясно. В полевом-то подходе (через осцилляторы) действие этих операторов очевидно.

-- Пн июн 06, 2016 16:59:05 --

WolfAlone в сообщении #1129434 писал(а):

То есть операторы рождения/уничтожения возбуждений 1-частичных осцилляторов, грубо говоря, можно "перегнать" в рождение-уничтожение Фоковских этажей?

Естественно. Если установить соответствие между "фоковскими этажами" и полевой картиной (осцилляторными волновыми функциями). Что я Вас и попросил выше сделать в качестве упражнения в ограниченном, одночастичном варианте.

Не разобрав эту задачку, вряд ли здесь можно что-нибудь понять. Лучше самому решить, но если не получится, я напишу ответ. Но попробуйте самостоятельно, так лучше.

Конечно, можно и чисто аксиоматически определить действие операторов рождения/уничтожения сразу на "фоковской этажерке". Так делается, например, в "Квантовой теории поля" Вайнберга. Но потом и у Вайнберга устанавливается соответствие между "фоковской этажеркой" и состояниями набора осцилляторов. Это НУЖНО. Как раз для того, чтобы понять что такое частицы в полевом подходе. Но, естественно, теорию можно устраивать разными (но эквивалентными) способами. Что взять за определение, а что за теорему --- это наш произвол, как хотим, так и делаем. Но в физике нужно понимать ВСЕ варианты. И понимать их эквивалентность.

-- Пн июн 06, 2016 17:22:28 --

WolfAlone в сообщении #1129434 писал(а):

Вывод оператор определяет однозначно состояние.

Оператор определяет состояние ---- это одно, состояние есть оператор ---- совсем другое. Первое верно, если уточнить как именно определяет. Второе --- бред сивой кобылы.

[WolfAlone]

Судя по всему (я склоняюсь) вопрос о переходе с полевого в фоковский есть в точности взаимнооднозначный переход от одного представления к другому. Тогда одно есть представление другого, причем представление в аккуратном мат смысле. Тогда нестыковка с предыдущим

Alex-Yu в сообщении #1127958 писал(а):

WolfAlone в сообщении #1127937
писал(а):
Совершенно не то, что "представление в базисе сф некоторого оператора"

О! У меня в молодости была та же самая проблема. Я тоже (ошибочно) пытался понимать это в смысле "представление в базисе сф некоторого оператора".

снимается. Главное поаккуратней прописать, что понимается под "частичное состояние", что является элементами и какого пр-ва и, как осуществляется переход от конечно-частичной КМ к бесконечночастичной + отсутствие частиц. Где, кстати, в какой книжке именно этот переход описан на уровне учебника для начинающих? Подчеркиваю, не книжка, где употребляются слова "фок, частицы, вакуум, ...", а где описано поподробнее то, что здесь удалось установить?

-- 06.06.2016, 12:41 --

Alex-Yu в сообщении #1129435 писал(а):

Не разобрав эту задачку, вряд ли здесь можно что-нибудь понять. Лучше самому решить, но если не получится, я

Вот это я и хочу прощупать. Надо (время) спокойно сесть и поковырять. Чую, что должно быть не трудно.

[Alex-Yu]

WolfAlone в сообщении #1129441 писал(а):

Судя по всему (я склоняюсь) вопрос о переходе с полевого в фоковский есть в точности взаимнооднозначный переход от одного представления к другому. Тогда одно есть представление другого, причем представление в аккуратном мат смысле.

В общем да, только затруднительно сказать, какого оператора здесь собственные вектора. В обычой-то одночастичной КМ под представлениями (импульсном, координатном и т.д.) подразумевается именно это: разложение по собственным векторам оператора.

-- Пн июн 06, 2016 17:44:56 --

WolfAlone в сообщении #1129441 писал(а):

Где, кстати, в какой книжке именно этот переход описан на уровне учебника для начинающих?

А вот не знаю такой! Как-то считают самоочевидным. Хотя на самом деле это все не так просто.

[WolfAlone]

Alex-Yu в сообщении #1129435 писал(а):

можно и чисто аксиоматически определить действие операторов рождения/уничтожения сразу на "фоковской этажерке"

Даже по моим знаниям я считаю эту идею не хорошей. Потому, что понятие частица в этих картинах, так как они изначально реализованы и их соотношение с частицей в банальной КМ, РАЗНЫЕ. Представления разные -> интерпретации разные. А дОлжно искать инвариантное определение, включая инвариантное понимание "КМ-частица". Вот с последним нет проблем. А с "фоко-полевыми" требуются прояснения. Про это я то и ищу книжки. Я, кстати, вчера, изучал Вайнберга и ни хрена там не нашел про это. Толстый, конечно, где-то зарыто наверно.

-- 06.06.2016, 12:51 --

Alex-Yu в сообщении #1129435 писал(а):

Что взять за определение, а что за теорему

Меня интересуют объяснения и мотивировки к определениям. Я - homosapiens, а не попугай.

[Alex-Yu]

WolfAlone в сообщении #1129441 писал(а):

Надо (время) спокойно сесть и поковырять. Чую, что должно быть не трудно.

Да, это просто. И на стр.4 я Вам это почти (лишь почти) написал. Помните только, что здесь подразумевается, что каждому осциллятору $q_i$ соответствует плоская волна $e^{ik_ix}$ в "нормальном" $x$-пространстве. Ясно, что такие плоские волны составляют базисный набор в пространстве функций одного аргумента.

В принципе, не обязательно брать плоские функции как базисные. Но если взять другие базисные функции, то и осцилляторы нужно взять другие (ЭТО ОЧЕНЬ ВАЖНО). Т.е. каждый оператор рождения (и соответсвующий ему оператор уничтожения) определяется по отношению к некому базисному набору функций одного аргумента. Иногда даже так и пишут: $a(f(x))$ (так, собственно, точнее). Но давайте ограничимся случаем, когда все $f(x)$ это $e^{ik_ix}$. Тогда (и только тогда) операторы можно просто различать индексом $i$.

-- Пн июн 06, 2016 17:54:51 --

WolfAlone в сообщении #1129444 писал(а):

Меня интересуют объяснения и мотивировки к определениям. Я - homosapiens, а не попугай.

Это очень хороший подход. Но в достаточно сложных науках (а КТП --- сложная наука) зачастую бывает так, что мотивировки не понять до того, как эта наука хоть на каком-то уровне усвоена. Тут только один выход: изучать итерациями и на младших итерациях быть немного "попугаем".

[WolfAlone]

Alex-Yu в сообщении #1129442 писал(а):

В общем да, только затруднительно сказать, какого оператора здесь собственные вектора

А мне оператор и не обязателен. Достаточно увидеть переход между базисами/векторами. Это и будет для меня нужным оператором. Для 1-частичного осциллятора переход $x$-координатное <-> $z$-баргмановское - это кажется преобразование Баргмана или, где то говорят, голоморфное представление

-- 06.06.2016, 12:58 --

Alex-Yu в сообщении #1129442 писал(а):

Как-то считают самоочевидным. Хотя на самом деле это все не так просто.

Ни фига себе. За десятилетия написаны десятки, если не сотни книжек/учебников по КТП. Неужели нельзя простой основе уделить максимум 1-2 полноценных страниц. Значит мои "мучения" были не на пустой почве.

[Alex-Yu]

WolfAlone в сообщении #1129444 писал(а):

Я, кстати, вчера, изучал Вайнберга и ни хрена там не нашел про это. Толстый, конечно, где-то зарыто наверно.

Что именно? Оперделение операторов на "фоковской этажерке"? Ну сейчас гляну... Параграф 4.2 в первом томе. Вообще глава 4 --- это как "сделать" квантовое поле из частиц (обычно делают наоборот).

-- Пн июн 06, 2016 18:02:47 --

WolfAlone в сообщении #1129447 писал(а):

Для 1-частичного осциллятора переход $x$-координатное <-> $z$-баргмановское - это кажется преобразование Баргмана или, где то говорят, голоморфное представление

Не-а. Вопрос не в этом. Как устроить соответствие между полевой теорией и теорией произвольного числа частиц. Вы правильно заметили, что достаточно устроить соответсвие между базисными векторами, дальше очевидно (продолжение по линейности). А преобразование Баргмана --- это изоморфизм 1-частичного $L^2$ на столь же одночастичное пространство аналитических функций одного аргумента. Совсем из другой оперы.

-- Пн июн 06, 2016 18:07:01 --

WolfAlone в сообщении #1129447 писал(а):

Alex-Yu в сообщении #1129442

писал(а):
Как-то считают самоочевидным. Хотя на самом деле это все не так просто. Ни фига себе. За десятилетия написаны десятки, если не сотни книжек/учебников по КТП. Неужели нельзя простой основе уделить максимум 1-2 полноценных страниц. Значит мои "мучения" были не на пустой почве.

Ну я не говорил, что такой книжки нет. Я сказал что я такой не знаю. Быть может потому, что мне это все и так понятно, сам дошел на основе обрывочных сведений из книжек, где детально не разбирается.

[WolfAlone]

С голоморфным я имел в виду чисто КМ-пример перехода от привычной $x$-реализации к нефизичной баргмановской $z$. Какая мне разница, к какой "нехорошей" переменной мы перешли от "хорошей/физичной" $x$ (или полный набор их)? Лишь бы был однозначный переход и скобка пересчитывалась. Если я имею такой переход, то это и есть для меня "реализация квантовой частицы". В конце концов я и в простой КМ механике могу с дуру выбрать координату $X=x+p$ и жить на языке $\psi(X)$. Мерить в эксперименте я, один черт, буду не много каких наблюдаемых величин. Да и обобщенные координаты классической механики квантовая механика не отменяет.

[Munin]

WolfAlone в сообщении #1129429 писал(а):

Кроме слов "Выкидываем все пространственные переменные". Не понятно, что скрыто за этой фразой.

У вас острый случай незнакомства с абстрактной, "матричной" КМ. Просто констатирую. Исправлять сейчас это уже поздно. Или можно дать вам в зубы учебник, и потребовать отложить Фока и КТП на полсеместра минимум, пока вы эту КМ не освоите.

WolfAlone в сообщении #1129434 писал(а):

Вот я смотрю разные книжки и кое-кого поспрашивал

Это верный способ обзавестись кашей в голове. А надо смотреть одну книжку, но серьёзно, от начала до хотя бы середины. Дело в том, что написано в них разное, не в том смысле, что противоречит друг другу, а в том смысле, что пляшется от разных печек. И вот тут вы только запутаетесь.

WolfAlone в сообщении #1129434 писал(а):

Даже в wikipedia есть смешение

Википедию вообще закройте и зарекитесь открывать. Это мешанина из десятка учебников, причём на протяжении даже одного абзаца.

WolfAlone в сообщении #1129444 писал(а):

Даже по моим знаниям я считаю эту идею не хорошей. Потому, что понятие частица в этих картинах, так как они изначально реализованы и их соотношение с частицей в банальной КМ, РАЗНЫЕ.

Нет, они только в вашей каше в голове разные.

WolfAlone в сообщении #1129444 писал(а):

А дОлжно искать инвариантное определение, включая инвариантное понимание "КМ-частица". Вот с последним нет проблем.

А вот про это забудьте. КТП-частица - не имеет (почти) ничего общего с КМ-частицей. Тут вам привычка и какая-то интуиция может только помешать.

WolfAlone в сообщении #1129447 писал(а):

Неужели нельзя простой основе уделить максимум 1-2 полноценных страниц.

На моей памяти, это удавалось только Фейнману, а он излагал это со стороны ещё одной печки, и на его версию сейчас перескакивать вам никак не стоит.

(Если что, на будущее, это называется "фейнмановский интеграл по траекториям", и наиболее просто изложено в последовательности книжек:
Фейнман. КЭД: странная теория света и вещества. (популярная)
Фейнман, Хибс. Квантовая механика и интегралы по траекториям.
Фейнман. Квантовая электродинамика.
а занудно и с зубодробительными формулами - много где.)