Помогите пожалуйста с уравнением

,

-- простое нечетное число. Надо доказать, что оно имеет решение в целых числах тогда и только тогда, когда

. Вычисления в matlab показывают именно это.
В одну сторону я доказал. Если решение

существуют, то

и

-- нечетные числа и

и

, для некоторых целых

, так как квадраты нечетных чисел сравнимы с

по модулю

. Подставляем:

,

сравнимо с

по модулю

.
Обратно никак не могу. Пытался свести к уравнению Пелля u^2-nv^2=1, которое разрешимо.
И второй вопрос (неделю бьюсь головой). Не могу найти ошибку в рассуждениях.
Фактор-кольцо
![$Z[\sqrt{n}]/<2>$ $Z[\sqrt{n}]/<2>$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/2/1/f21e5ee2a2ee7b074d4d890dc3ff90b482.png)
изоморфно
![$Z_2[\sqrt{n}]$ $Z_2[\sqrt{n}]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/d/b/adb45973ffc61c13b1b43782653a44a082.png)
, для нечетного простого числа

.
Кольцо
![$Z_2[\sqrt{n}]$ $Z_2[\sqrt{n}]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/d/b/adb45973ffc61c13b1b43782653a44a082.png)
-- не поле, так как

, следовательно,

-- не максимальный идеал (ибо фактор-кольцо с единицей по максимальному идеалу есть поле), следовательно,

-- составное число (не простое).
Но в
![$Z[\sqrt{5}]$ $Z[\sqrt{5}]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/d/a/0daa15ad92adbacf70e7d882fdfeacab82.png)
число 2 -- простое. Я думал проблема в неоднозначности разложения на простые множители, но
![$Z[\sqrt{5}]$ $Z[\sqrt{5}]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/d/a/0daa15ad92adbacf70e7d882fdfeacab82.png)
-- евклидово кольцо, а в евклидовых кольцах однозначность есть.