Уравнение x^2-n y^2=2, n -- простое

[evzhur]

Помогите пожалуйста с уравнением $x^2-n y^2=2$, $n$ -- простое нечетное число. Надо доказать, что оно имеет решение в целых числах тогда и только тогда, когда $n\equiv -1 (\mod 8)$. Вычисления в matlab показывают именно это.

В одну сторону я доказал. Если решение $(x,y)$ существуют, то $x$ и $y$ -- нечетные числа и $x^2=8k+1$ и $y^2=8m+1$, для некоторых целых $k, m$, так как квадраты нечетных чисел сравнимы с $1$ по модулю $8$. Подставляем: $8k+1-n(8m+1)=2$, $n=8(k-nm)-1$ сравнимо с $-1$ по модулю $8$.

Обратно никак не могу. Пытался свести к уравнению Пелля u^2-nv^2=1, которое разрешимо.

И второй вопрос (неделю бьюсь головой). Не могу найти ошибку в рассуждениях.
Фактор-кольцо $Z[\sqrt{n}]/<2>$ изоморфно $Z_2[\sqrt{n}]$, для нечетного простого числа $n$.

Кольцо $Z_2[\sqrt{n}]$ -- не поле, так как $(1+\sqrt{n})^2=\bar{1}+\bar{n}+\bar{2}\sqrt{n}=\bar{0}$, следовательно, $<2>$ -- не максимальный идеал (ибо фактор-кольцо с единицей по максимальному идеалу есть поле), следовательно, $2$ -- составное число (не простое).

Но в $Z[\sqrt{5}]$ число 2 -- простое. Я думал проблема в неоднозначности разложения на простые множители, но $Z[\sqrt{5}]$ -- евклидово кольцо, а в евклидовых кольцах однозначность есть.

[Otta]

evzhur
Я не специалист в этой теме, но немного, и вполне серьезно было здесь «Диофантовы уравнения 2 степени, обобщения уравнений Пелля».
И может быть, что будет даже достаточно вот этих соображений.

[evzhur]

Спасибо. Я эти ссылки прочитал (и многие другие) прежде чем тему создавать. Ответа там не нашел. Нашел без доказательства вот здесь https://sites.google.com/site/tpiezas/008 Результат принадлежит A. Cunningham, R. Christie, ссылки на источник нет:(

[Otta]

evzhur
Процитируйте, пожалуйста, что Вы имеете в виду. Результат принадлежит Лежандру, если верить двум источникам.

[victor.l]

Гаусс,вычет $+2$, там все понятно.

[evzhur]

По ссылке https://sites.google.com/site/tpiezas/008 пункт 4

4. A. Cunningham, R. Christie

By doing the transformations a) $\{x\sqrt{2}, y\sqrt{2}\}$ = $\{p, q\}$, and b) $\{x\sqrt{-2}, y\sqrt{-2}\} = \{p, q\}$, on the Brouncker-Wallis theorem, we get the variants,



$(p^2-1)^2 - d(pq)^2 = 1$, if $p^2-dq^2 = 2$

$(p^2+1)^2 - d(pq)^2 = 1$, if $p^2-dq^2 = -2$



If $d = 8n+r$ is prime, then the ff always have solns:



$d = 8n+1$ for $u^2-dv^2 = -1$;

$d = 8n+3$ for $p^2-dq^2 = -2$;

$d = 8n+5$ for $u^2-dv^2 = -1$;

$d = 8n+7$ for $p^2-dq^2 = 2$.



Theorem: “Primes of form $d = 4n+1$solve $x^2-dy^2 = -1$, while those of form $d = 4n-1$ solve one case of $x^2-dy^2 = ±2$ (Legendre). For such $d$, the fundamental soln to $x^2-dy^2 = ±2$ leads to the one for $u^2-dv^2 = 1$.”

-- 05.06.2016, 01:22 --

victor.l в сообщении #1129030 писал(а):

Гаусс,вычет $+2$, там все понятно.

Не понял. О чем речь? Если $x^2-ny^2=2$, то $x^2\equiv 2(\mod n)$?

[victor.l]

Из рассуждений Гаусса о вычете $+2$ следует что диофантово уравнение вида $x^2-2=py^2$ имеет решения только тогда когда $p=8n-1$.

[Andrey A]

evzhur в сообщении #1128939 писал(а):

$x^2-n y^2=2$, $n$ -- простое нечетное число.

По-школьному:
$x^2\equiv 2\mod n$, следовательно $n$ (простое вида $p^2-2q^2$) сравнимо или с единицей по $\mod 8$ (при четном $q$) или с $-1$ (при нечетном $q$). Нужно доказать, что при $n\equiv 1\mod 8$ уравнение $x^2-n y^2=2$ не разрешимо. Подставляя вместо n единицу, получаем $x^2-y^2\equiv 2$. Тогда $x^2 \equiv y^2+2 $ - либо $2$, либо $3$, либо $6 \mod8$. Таких квадратов, как известно, не бывает.

[evzhur]

Спасибо. Но проблема-то как доказать в обратную сторону. Если $n\equiv -1 (mod 8)$, то почему уравнение $x^2-n y^2=2$ разрешимо?

[Andrey A]

Хм. Кажется, утверждения
"... имеет решение в целых числах тогда и только тогда, когда простое $n\equiv -1 \mod 8$"
и
"... разрешимо для любого простого $n\equiv -1 \mod 8$"
не равнозначны.
В первом случае достаточно "обратное не верно" $+$ один какой-нибудь пример разрешимости, если под решением понимать бесконечную последовательность. На счет второго, простите, не знаю.

[Cash]

Доказательство есть в Венков, Б.А. Элементарная теория чисел. Гл.2, параграф 12.

[evzhur]

Cash в сообщении #1129146 писал(а):

Доказательство есть в Венков, Б.А. Элементарная теория чисел. Гл.2, параграф 12.

Спасибо. То что надо.

[Andrey A]

Andrey A в сообщении #1129141 писал(а):

Кажется... не равнозначны

Я, кажется, неловко выразился, но это важно: рассуждая по аналогии, задача "Доказать, что уравнение $x^2-ny^2=-1$ имеет решение в целых числах тогда и только тогда, когда $n$ - сумма двух целых квадратов" не предполагает необходимости доказывать разрешимость уравнения для всех $n=p^2+q^2$. Тем более, что в общем случае это не верно, а первое верно. В случае простого $n$ верно и то и другое, но в рамках задачи доказательство второго факта избыточно.

[evzhur]

Спасибо за советы.

[Cash]

Andrey A в сообщении #1129356 писал(а):

задача "Доказать, что уравнение $x^2-ny^2=-1$ имеет решение в целых числах тогда и только тогда, когда $n$ - сумма двух целых квадратов" не предполагает необходимости доказывать разрешимость уравнения для всех $n=p^2+q^2$.

Именно, что предполагает. В конструкции тогда и только тогда "только тогда" отвечает за то, что нет других решений, кроме...; а "тогда" - за то, что имеет решение при любом таком.

Andrey A в сообщении #1129356 писал(а):

Тем более, что в общем случае это не верно, а первое верно.

Например. Утверждение (по вашему справедливое)
уравнение $x^2-ny^2=-1$ имеет решение в целых числах тогда , когда $n$ - сумма двух целых квадратов
подразумевает также и справедливость утверждения
уравнение $x^2-ny^2=-1$ имеет решение в целых числах тогда , когда $n=5^2+3^2$