Пространство Фока. Представление Фока-Баргмана

[Alex-Yu]

WolfAlone в сообщении #1128844 писал(а):

Вы утверждаете, что это новое пр-во еще не есть фоковское, потому что там нет вакуума. Так? Но там, в каждом из этих подпространств есть свои состояния с наименьшей энергией.

Состояние с одной частицей в основном состоянии --- это не вакуум. Вакуум --- это когда частиц нет вообще.

-- Сб июн 04, 2016 20:32:19 --

WolfAlone в сообщении #1128844 писал(а):

И вновь, вопрос про векторWolfAlone в сообщении #1128459

писал(а):

$$ \left( \begin{array}{l} \mathrm{const}\;\text{(вакуум)}\\ 0\\ \Psi^{(2)}(x_1,x_2)\\0\\ \Psi^{(4)}(x_1,x_2,x_3,x_4)\\0 \\ 0\\ \vdots \end{array} \right), $$

Если смотреть той колокольни, что я описал выше, то что здесь делает 2-частичная функция, когда она уже есть в 4-частичной.

Не исключено (но не знаю наверняка), что вот именно это заблуждение Вас и запутывает. 2-частичная функция ни в коем случае не "сидит" в 4-частичной. Никогда и ни в коем случае!!!! Более того ЛЮБОЕ 2-частичное состояние ортогонально ЛЮБОМУ 4-частичному. Совершенно безотносительно к тому, какие именно это состояния.

У меня большое подозрение, что все это происходит из "каши", которую Вы устроили из полевой (осцилляторной) и "частичной" картины. Вот в осциллятрной картине основное состояние --- это когда все осцилляторы в основном состоянии. Но это не относится к "частичной" картине.

-- Сб июн 04, 2016 20:38:31 --

WolfAlone в сообщении #1128844 писал(а):

Может это связано с вырождением вакуумов для всех более чем 1-частичных квантовых механик?

Нет. В n-частичной КМ (в любой, хоть с одной, хоть с двумя хоть сколько еще частицами) НИКАКОГО ВАКУУМА НЕТ ВООБЩЕ!!!! По той простой причине, что само понятие вакуума относится к к теории с произвольнм числом (включая ноль) частиц или к теории поля.

Здесь беда в том, что, рассматривая осциллятор в рамках простой одночастичной КМ и и предвосхищая теорию поля, иной раз вакуумом НЕКОРРЕКТНО называют основное состояние. Тут бы надо писать "вакуум" в кавычках, это не настоящий вакуум.

-- Сб июн 04, 2016 20:41:22 --

WolfAlone в сообщении #1128844 писал(а):

То есть, если формально строить 4-частичную КМ, то не нужно отдельно строить 2-частичную. Она есть в предыдущей. Просто нужно свернуть все по 3-й и 4-й координате.

Это все абсолютно неверно. И я уже устал... Ну вот как это, берете совершенно с потолка какое-то страннное утверждение, что в 4-частичной КМ уже сидит 2-частичная... Ну нету такого, и никогда не было.

-- Сб июн 04, 2016 20:43:34 --

WolfAlone в сообщении #1128844 писал(а):

Если бы нужно было иметь, скажем, КМ для 333 частиц, просто взяли бы 333 симметрическую степень 1-частичного $\mathbb H$.

Совершенно верно. Но какое это имеет отношение к теории ЛЮБОГО числа частиц? Теория любого числа частиц это совсем не то же самое, что много отдельных теорий n частиц, разных для разных n.

-- Сб июн 04, 2016 20:44:50 --

WolfAlone в сообщении #1128844 писал(а):

Если смотреть той колокольни,

А вот не надо смотреть с неправильной колокольни!!!

-- Сб июн 04, 2016 20:49:59 --

WolfAlone в сообщении #1128844 писал(а):

хотел бы пока обратить внимание, что я специально писал здесь физические координаты $x$, поскольку они в точности (??) настоящие физические координаты частиц, участвующих в игре. Абстрактные осцилляторные $q$ пока не употребляю

Если Вы не употребляете полевые осцилляторы, то причем здесь гауссианы??? Частица может быть вовсе и не в квадратичном потенциале, в конце концов. И еще раз (и уж хватит об этом!!!) основное состояние частицы (и даже любого фиксированного числа частиц) не имеет НИКАКОГО отношения к вакууму! Это вот в теории поля вакуум --- основное состояние поля. Но поля, а не n частиц!!! При этом возбуждений поля (которые и есть частицы) нет вообще. Ни одной. Не смешивайте картину частиц и картину поля!!!! Они изоморфны, но нельзя из них гибрид устраивать!

-- Сб июн 04, 2016 20:54:33 --

WolfAlone в сообщении #1128844 писал(а):

Я читаю к книжке Новиков-Тайманов "Современные структуры и поля" на стр 251. "Согласно представлениям физики XX в, частицам сопоставляются операторы". Далее идут стандартные формулы про коммутаторы бозонов и антикоммутаторы фермионов. Мне было не понятно как понимать "частице сопоставляется оператор".

Ну, если понимать дословно, то бред в этой книжке написан! Но можно понимать в том смысле, что состояние с одной частицей можно сделать из вакуума, подействовав ОДНИМ оператором рождения. Ну в таком разве смысле....


А вообще что еще за Новиков с Таймановым... Не знаю таких. И, суда по фразе, не хочу знать и не надо их знать. Впрочем, от отдельных придурочных фраз никто не застрахован, и у весьма приличных людей найти можно Тут надо целиком все читать. Но я этого делать не буду, некогда мне.

-- Сб июн 04, 2016 20:57:52 --

WolfAlone в сообщении #1128844 писал(а):

Обдумываю тщательно эту мысль... Ни к тем 1-частичным $L^2$, ни к конечной сумме симметрических произведений ($N$-частичных квантовых механик)? Как бы здесь поподробнее...

А чего тут можно подробнее??? И я не могу даже представить себе, что можно обдумывать по поводу СТОЛЬ ТРИВИАЛЬНОЙ фразы.

-- Сб июн 04, 2016 21:02:04 --

WolfAlone в сообщении #1128844 писал(а):

Сам базисный вектор-вакуум - он один же? Если один, то понятно, что он входит в какое-то состояние с каким-то множителем. А что на счет вырождения вакуума. У нас же все-таки будет потом каждая частица 3-мерная. Или, если не один, то неединственность вакуума сидит уже в 1-мерном случае, который мы пока разбирали выше?

Вакуум один. И ни одно (!!!) n-частичное состояние вакуум не является. Более того, любое такое ссотояние (если в нем именно n частиц $n \ne 0$) ортогонально вакууму.


Вообще-то бывает вырожденный вакуум. А то вдруг найдете такие слова и интерпретировать возметесь Но это относится лишь к очень специальным теориям поля. Вам до этого ну очень далеко, не заморачивайтесь. Для "нормальных" полей вакуум единственен.

-- Сб июн 04, 2016 21:04:56 --

WolfAlone в сообщении #1128857 писал(а):

Состояние - это функция-ряд по операторам рождения $\psi=\psi(a^+)=\sum c_n (\hat a^+)^n$

Нет у Дирака такого (во всяком случае я не помню), и даже если есть, то это просто неверно. Но вот если справа дописать еще вакуум, то станет правильно.

-- Сб июн 04, 2016 21:07:31 --

WolfAlone в сообщении #1128862 писал(а):

но что такое 0-частичная квантовая механика,

А зачем она нужна??? Ну если Вам так уж хочется, то можно устроить. Это вырожденная КМ, в которой только одно состояние, все операторы есть операторы умножения на нуль.

Только не надо говорить, что действие оператора рождения на вакуум нуля не дает. В любой квантовой механики фиксированного числа частиц нет никаких опрераторов рождения/уничтожения ЧАСТИЦ. Ну есть в теории осциллятора, но это совсем другие операторы. Их вообще не вполне правильно так называть. Ну да их так и не называют, нормальные люди их называют операторы рождения/уничтожения возбуждений. Рождение частицы и рождение возбуждения --- не одно и тоже (в неполевой тоерии).

-- Сб июн 04, 2016 21:14:41 --

Munin в сообщении #1128863 писал(а):

0-частичная квантовая механика тривиальна. Её вектор состояния 0-мерен, а гамильтониан тождественен.

Неверно. Вектор состояния 1-мерен, а гамильтониан нулевой. Впрочем, энергию можно и не от нуля отсчитывать. Но тогда будет все равно не единичен, а кратен единичному.

-- Сб июн 04, 2016 21:18:31 --

WolfAlone в сообщении #1128867 писал(а):

В КМ конечного числа частиц вакуума нет

Естественно, в КМ фиксированного конечного числа частиц его нет А в теории любого числа частиц --- есть. Это РАЗНЫЕ теории. То, что n-частичная теория является неким, как говорят, "сектором" теории произвольного числа частиц не делает эти теори одинаковыми. Это, собственно, очевидно, сектор чего-то --- это никак не это что-то целиком.

[Munin]

Собственно.
1. Берём КМ фиксированного числа частиц.
2. Берём суперпозицию таких КМ, и получаем вторично-квантованную КМ.
3. Добавляем операторы, переводящие между собой разные секторы с разным числом частиц. Добавляем их в гамильтониан. Теперь система может сама "расти" и "уменьшаться". При естественном введении таких операторов ("рождения" и "уничтожения"), они позволяют добавлять сколько угодно частиц, и уменьшать их число до нуля.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #1128863 писал(а):

WolfAlone в сообщении #1128862

писал(а):
В самом деле, что такое уравнение Шредингера, когда нет частицы? Какая константа? Как только ур-е Шредингера, то сразу есть зависимость $\psi(x)$ и мы имеем понятие частица.
Простите, вы чего-нибудь о векторах состояния слышали? Откуда у вас такая любовь именно к $\psi(x)$?

Вот именно поэтому я всегда был большим противником того, чтобы излагать начала КМ в терминах "волновых функций" а не векторов состояния. "Состояние квантовой системы описывается волновой функцией" ---- ну это же полный бред! Для некоторых систем можно и функцией, как континуальным набором коэффициентов разложения вектора по базису. А для других систем никаих "волновых функций" и быть не может. Может, например, быть конечный набор состояний. Тогда вместо функции просто конечный набор чисел. Или матрица-столбец. Где тут функция, во всяком случае в "школьном" понимании этого слова... То, что мы тут рисовали для пространства Фока тоже функцией не очень-то назовешь. Хоть функции и фигурируют, но вся конструкция --- ну никак никакая не функция.

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #1128957 писал(а):

Вот именно поэтому я всегда был большим противником того, чтобы излагать начала КМ в терминах "волновых функций" а не векторов состояния.

При некоторой минимальной сообразительности слушателя, разница исчезающе мала. Ну есть абстрактное пространство, ну знакомимся мы с ним для начала на простом и наглядном образе, что тут такого? Ещё и считать удобно, задачки всякие, типа прямоугольной ямы или барьера.

Имхо, ученику должны быть скормлены (насильно) и такой и сякой учебники. Скажем, ЛЛ и ФЛФ.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #1128960 писал(а):

Ещё и считать удобно, задачки всякие, типа прямоугольной ямы или барьера.

Уж извините, но я выскажу "крамольную" мысль. ИМХО утилитаризм-прагматизм --- самый омерзительный способ мышления, какой только может быть. Да в науке его и не бывает на самом деле. Но почему-то считается хорошим тоном "рядиться в утилитаристко-прагматические одежды".

Кстати, задачки типа ямы совершенно бесполезны для понимания КМ. Может даже вредны, если решать их СЛИШКОМ РАНО.

-- Вс июн 05, 2016 00:18:17 --

Munin в сообщении #1128960 писал(а):

При некоторой минимальной сообразительности слушателя, разница исчезающе мала.

Значит в молодости я не обладал минимальной сообразительностью? Не могу согласиться.

-- Вс июн 05, 2016 00:21:34 --

Munin в сообщении #1128960 писал(а):

ну знакомимся мы с ним для начала на простом и наглядном образе, что тут такого?

Так можно (хотя мне не нравится). Но вот что тогда нужно сделать обязательно. В какой-то момент сказать что-то вроде: "а теперь все это забыть, это был всего лишь простой пример, наводящие соображения". И изложить уже как надо. И ТОЛЬКО ПОСЛЕ этого переходить к всяким там вторичным квантованиям. Даже раньше: уже спин после такого перехода.

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #1128965 писал(а):

Уж извините, но я выскажу "крамольную" мысль. ИМХО утилитаризм-прагматизм --- самый омерзительный способ мышления, какой только может быть. Да в науке его и не бывает на самом деле. Но почему-то считается хорошим тоном "рядиться в утилитаристко-прагматические одежды".

Кстати, задачки типа ямы совершенно бесполезны для понимания КМ. Может даже вредны, если решать их СЛИШКОМ РАНО.

Я в принципе могу согласиться с омерзением от "утилитаризма-прагматизма". Но только в принципе.

Давайте о конкретике. Студент приходит на КМ, просиживать новые фланелевые штаны. Что он знает о новом квантовом мире? Да ничего. Пугать его абстракциями - он так ни шиша и не поймёт.

Ему надо показать, наглядно, на задачах, что:
- квантовая частица иногда ведёт себя как классическая. Это берём гауссовский пакет, и пускаем его в квазиклассическом режиме.
- иногда бывают разные там другие фефекты. С ними надо познакомить с каждым индивидуально, подвести за ручку, и "Алиса - это Пудинг".
- бывает стационарное состояние в яме;
- бывает туннелирование через барьер;
- бывает интересное взаимодействие с ямой, особенно с имеющей внутри себя уровни, виртуальные уровни;
- бывает всякая дисперсия-шмисперсия;
- ну и вообще, чего только не бывает. Например, орбитали в водороде. Например, прецессия спина.

Как это совместить с изложением концептуального курса - вопрос сложный. Не моего ума. Но концептуальный курс без всего вышеперечисленного - даёт на выходе пустослова со стеклянными глазами и непробиваемым самомнением, будто он знает, что такое квантовая механика.

Alex-Yu в сообщении #1128965 писал(а):

Значит в молодости я не обладал минимальной сообразительностью? Не могу согласиться.

Ну, сейчас-то вы разобрались? А во время обучения, у каждого могут быть запинки и затыки, в самых непредсказуемых местах.

Может, да, это надо акцентировать: все представления эквивалентны. Но мне как-то хватило, насколько это было ясно по ходу изложения.

Alex-Yu в сообщении #1128965 писал(а):

И изложить уже как надо.

"Как надо" - это в смысле абстрактных векторов?

Вы не забывайте, что это две стороны одной медали. В 1926 году они так и назывались: матричная механика и волновая механика. Потом слились воедино. Абстракция полезна, но и видеть за этим что-то конкретное, буквально измеримое, - тоже полезно.

Alex-Yu в сообщении #1128965 писал(а):

И ТОЛЬКО ПОСЛЕ этого переходить к всяким там вторичным квантованиям.

Ну ето разумеется. Кто ж спорит.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #1129016 писал(а):

Но концептуальный курс без всего вышеперечисленного - даёт на выходе пустослова со стеклянными глазами и непробиваемым самомнением, будто он знает, что такое квантовая механика.

Беда только в том, что если ТОЛЬКО решать УШ --- тоже получится пустослов. Это вообще все теория дифуравнений, а к КМ имеет довольно косвенное отношение. Нет, дифуры решать уметь нужно, но причем здесь КМ...

Ладно, это все слишком сложные вопросы, обсуждать которые здесь не место и не время. Просто мне показалось (точнее я почти уверен), что проблемы ТС как раз и происходят из изложения КМ через функции и дифуравнения.

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #1129023 писал(а):

Беда только в том, что если ТОЛЬКО решать УШ --- тоже получится пустослов.

Ну да, безусловно.

Alex-Yu в сообщении #1129023 писал(а):

Это вообще все теория дифуравнений, а к КМ имеет довольно косвенное отношение.

Конечно, надо решать не УШ. Надо решать физические задачи при помощи УШ.

Alex-Yu в сообщении #1129023 писал(а):

Просто мне показалось (точнее я почти уверен), что проблемы ТС как раз и происходят из изложения КМ через функции и дифуравнения.

Возможно. А возможно, просто из общей недоученности.

[WolfAlone]

Кажется начинает проясняться (с пространством Фока и вакуумом). В основном из-за того, что главное было не сказано и не досказано (это типичная ситуация). Теперь вопрос про полевой подход. Я правильно понял, что в подходе через бесконечное семейство осцилляторов, т.е. в формулировке теории через не пр-во Фока, а через

$$\mathbb H\odot\mathbb H\odot\mathbb H\odot\cdots$$

понятия вакуума (= отсутствие частиц) нет? Что там вместо него? Точнее низшее (по энергиям каждого осциллятора) состояние имеет вроде бесконечное значение гамильтониана. ...?

[Alex-Yu]

WolfAlone в сообщении #1129391 писал(а):

Теперь вопрос про полевой подход. Я правильно понял, что в подходе через бесконечное семейство осцилляторов, т.е. в формулировке теории через не пр-во Фока, а через

$$\mathbb H\odot\mathbb H\odot\mathbb H\odot\cdots$$

понятия вакуума (= отсутствие частиц) нет?

Ну во-первых это о же самое пространство Фока "только в профиль". Ну, если хотите, изоморфное фоковскому пространство. Я же Вам явно приводил конструкцию, в которой из такого пространства получается пространство Фока в картине частиц.

Во-вторых. Как я Вас ранее понял, точкой в кружке Вы обозначаете симметризованное произведение. В полевом подходе никакой симметризации делать не нужно. Просто прямое произведение. Все осцилляторы различимы. Это же нормальные моды поля, которые есть просто плоские волны, и у них разная длина волны (в физическом, в $x$- а не в $q$-пространстве). Волны с разной длиной волны всяко можно отличить друг от друга. Нет неразличимости --- нет и симметризации (антисимметризации тоже нет).

В третьих. Вакуум, естественно, есть. ВОТ ТЕПЕРЬ, В ЭТОЙ КАРТИНЕ он есть основное состояние поля (поля, но не физических частиц!!!). Т.е. в $q$-представлении произведение (по модам поля, осцилляторам) столь любимых Вами гауссианов: $e^{-q_1^2}e^{-q_2^2}\dots$. Обратите внимание, что в гауссианах стоят $q$, а не $x$ (если написать $x$, то получится бред, во всяком случае в рамках установившегося у нас здесь стиля обозначений))

-- Пн июн 06, 2016 14:57:43 --

WolfAlone в сообщении #1129391 писал(а):

Точнее низшее (по энергиям каждого осциллятора) состояние имеет вроде бесконечное значение гамильтониана. ...?

Ну и пусть. Энергию можно отсчитывать от любого уровня. Вот от этого бесконечного значения и будем. Важно лишь то, чт о меньше чем такая энергия не бывает. А само это значение --- по барабану.

[WolfAlone]

Alex-Yu в сообщении #1129393 писал(а):

Ну во-первых это о же самое пространство Фока "только в профиль"

Нет, нет. Если постоянно иметь в виду известный изоморфизм между "разными" $\mathbb H$, то исчезнет вся наука целиком. Любые "отсылки" на него мало интересны. Меня интересуют именно тонкости различий в реализациях. Даже частичные структуры "сумма симметризованных произведений" (Фок) и "просто несимметризованное бесконечное произведение" (поле) не для красоты сидят в основе. Без них ведь даже за понятие частицы, 1-частичного не возможно зацепиться. Пока мне не ясно отчетливо смысл понятия "частица, состояние частицы" в 1-м и во 2-м подходе. В 1-м бозонность сидит в симметризованных слагаемых башни Фока. Во 2-м имеется бесконечное произведение, но симметризации нет, иначе все моды $q_k$ были бы одинаково наблюдаемы. То есть, грубо говоря, одна степень свободы. То есть они должны быть разными независимыми "фазовыми" переменными теории. Так? Где тогда здесь скрыта бозонность. В коммутаторах $[a_k,a^+_k]$? Но где они скрывались, когда мы строили

$$\mathbb H\otimes\mathbb H\otimes\mathbb H\otimes\cdots?$$

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #1129393 писал(а):

ВОТ ТЕПЕРЬ, В ЭТОЙ КАРТИНЕ он есть основное состояние поля (поля, но не физических частиц!!!).

Я бы даже подчеркнул, что основное состояние осцилляторов.

(в сторону)

Потому что случайно вернувшись в координатное представление для поля, мы не увидим там ни осцилляторов, ни основого состояния...

И $q$ там - осцилляторые $q,$ то есть в переводе на русский - плоские волны заданной длины, направления и поляризации. В основном состоянии (гауссиан) каждая из них имеет полностью неопределённую фазу и минимально возможную амплитуду (лень искать), и соответствующую ей энергию $E_0=\dfrac{\hbar\omega}{2}.$

-- 06.06.2016 11:31:25 --

WolfAlone в сообщении #1129405 писал(а):

Меня интересуют именно тонкости различий в реализациях.

Сначала освойте сами реализации, а потом копайтесь в тонкостях различий.

[Alex-Yu]

WolfAlone в сообщении #1129405 писал(а):

Нет, нет. Если постоянно иметь в виду известный изоморфизм между "разными" $\mathbb H$, то исчезнет вся наука целиком. Любые "отсылки" на него мало интересны.

Это было бы именно так, если бы я говорил об общей теореме об изоморфности, а не о явной конструкции, позволяющей устроить этот (именно этот, а не какой-либо другой) изоморфизм. Почитайте 4-ю страницу ветки.

Можно написать явную формулу для функции от всех этих $q$ (полевой подход) соответствующуюю, скажем, такому функциональному стобцу:

$$ \left( \begin{array}{c} 0 \\ \psi(x) \\ 0 \\ 0 \\ \dots \end{array} \right) $$

в картине частиц. Сами сообразите как?

-- Пн июн 06, 2016 15:36:31 --

WolfAlone в сообщении #1129405 писал(а):

Где тогда здесь скрыта бозонность. В коммутаторах $[a_k,a^+_k]$?

Да, в коммутаторах. Из того, что для $i \ne j$ оказывается $[a_i,a_j]=[a^+_i,a^+_j]=[a^+_i,a_j]=[a_i,a^+_j]=0$ следует, что возбуждения поля (т.е. физические частицы) обладают свойством бозонности.

[Munin]

WolfAlone в сообщении #1129405 писал(а):

В 1-м бозонность сидит в симметризованных слагаемых башни Фока. Во 2-м имеется бесконечное произведение, но симметризации нет, иначе все моды $q_k$ были бы одинаково наблюдаемы. То есть, грубо говоря, одна степень свободы. То есть они должны быть разными независимыми "фазовыми" переменными теории. Так? Где тогда здесь скрыта бозонность. В коммутаторах $[a_k,a^+_k]$?

Просто-напросто почитайте теорию гармонического осциллятора. Там "бозонность" сидит в том, что у осциллятора одна лестница уровней. Именно разные $a^+,$ применённые к осциллятору, между собой неразличимы - как бозоны.

(в сторону)

А у фермионов другие осцилляторы - с антикоммутаторами и со всего двумя уровнями: 0 и 1.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #1129412 писал(а):

Просто-напросто почитайте теорию гармонического осциллятора. Там "бозонность" сидит в том, что у осциллятора одна лестница уровней. Именно разные $a^+,$ применённые к осциллятору, между собой неразличимы - как бозоны.

Этого даже я не понимаю Нет, я примерно догадываюсь, какую тут можно устроить длинную цепочку рассуждений. Но это очень длинная цепочка, а я давно не студент.