Теорема Дини

[SCW]

Здравствуйте

Сформулирую такую теорему: если монотонная последовательность $\{f_n(x)\}$ непрерывных числовых функций на счетно компактном топологическом пространстве $K$ поточечно сходится к непрерывной функции $f(x)$, то сходимость равномерна.

Ясно, что в случае компактного пространства следует рассмотреть $\varphi_n(x)=|f(x)-f_n(x)|$ и $D_n=\{x \in K | \varphi_n(x)<\varepsilon\}$. Всякое $D_n$ будет открыто в $K$. Кроме того, $\{\varphi_n\} \searrow 0$. Следовательно, $\{D_n\}\nearrow$. Поскольку $K$ компакт, $\exists \{D_{n_1}, ..., D_{n_j}\}$ такая, что $D_{n_j}$ покроет весть $K$. Отсюда, $\forall n \geqslant{n_j} \, \, \forall x \in K \, \, |f(x) -{f_n}(x)| ={\varphi _n}(x) < \varepsilon$.

Догадываюсь, что для счетно компактного пространства стоит взять счетную систему открытых множеств $\{G_n\}$, покрывающих $K$, и доказательство проводить по аналогии. Интересно, правильно ли такое рассуждение, и если да, то какими нужно выбрать $G_n$?

[g______d]

SCW в сообщении #1127978 писал(а):

для счетно компактного пространства

Напишите здесь определение счётно компактного пространства.

[SCW]

g______d, порядок слов сыграл свою роль. Естественно, следует говорить о счетной системе множеств, покрывающей $K$.

[g______d]

Ну тогда догадайтесь,

SCW в сообщении #1127978 писал(а):

какими нужно выбрать G_n

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
Заключайте формулы в знаки долларов.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[SCW]

g______d, закономерно предположить, что $G_n = D_n$, поскольку $n \in \mathbb{N}$