2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Теорема Дини
Сообщение01.06.2016, 16:36 


29/05/16
34
Здравствуйте

Сформулирую такую теорему: если монотонная последовательность $\{f_n(x)\}$ непрерывных числовых функций на счетно компактном топологическом пространстве $K$ поточечно сходится к непрерывной функции $f(x)$, то сходимость равномерна.

Ясно, что в случае компактного пространства следует рассмотреть $\varphi_n(x)=|f(x)-f_n(x)|$ и $D_n=\{x \in K | \varphi_n(x)<\varepsilon\}$. Всякое $D_n$ будет открыто в $K$. Кроме того, $\{\varphi_n\} \searrow 0$. Следовательно, $\{D_n\}\nearrow$. Поскольку $K$ компакт, $\exists \{D_{n_1}, ..., D_{n_j}\}$ такая, что $D_{n_j}$ покроет весть $K$. Отсюда, $\forall n \geqslant{n_j} \, \, \forall x \in K \, \, |f(x) -{f_n}(x)| ={\varphi _n}(x) < \varepsilon$.

Догадываюсь, что для счетно компактного пространства стоит взять счетную систему открытых множеств $\{G_n\}$, покрывающих $K$, и доказательство проводить по аналогии. Интересно, правильно ли такое рассуждение, и если да, то какими нужно выбрать $G_n$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Дини
Сообщение01.06.2016, 16:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
SCW в сообщении #1127978 писал(а):
для счетно компактного пространства


Напишите здесь определение счётно компактного пространства.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Дини
Сообщение01.06.2016, 16:51 


29/05/16
34
g______d, порядок слов сыграл свою роль. Естественно, следует говорить о счетной системе множеств, покрывающей $K$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Дини
Сообщение01.06.2016, 17:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Ну тогда догадайтесь,
SCW в сообщении #1127978 писал(а):
какими нужно выбрать G_n

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение01.06.2016, 17:10 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
Заключайте формулы в знаки долларов.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение01.06.2016, 17:39 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Дини
Сообщение01.06.2016, 17:43 


29/05/16
34
g______d, закономерно предположить, что $G_n = D_n$, поскольку $n \in \mathbb{N}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group