Выражение синуса 10 градусов (sin pi/18)

[RIP]

tolstopuz писал(а):

Неприводимое кубическое уравнение с тремя действительными корнями не решается в вещественных радикалах.

Это означает, что

ShMaxG писал(а):

написать число в виде выражения с конечным числом арифметических действий, возведения в рациональную степень положительных чисел

не получится.

[ShMaxG]

Ну смотрите. Вот уравнение:

\[ 4t^3 - 3t + \sin 36^ \circ = 0 \]

, где

\[ \sin 36^ \circ = \frac{{\sqrt {10 - 2\sqrt 5 } }} {4} \]

Оно имеет три корня:

\[\sin 12^ \circ\]

,

\[ \sin 48^ \circ \]

,

\[ \sin \left( { - 72^ \circ } \right) \]

.
Они - действительные. Значит имеем неприводимый случай. Однако,

\[ \sin 12^ \circ = \frac{{\sqrt {10 + 2\sqrt 5 } - \sqrt {15} + \sqrt 3 }} {8} \]

,

\[ \sin 48^ \circ = \frac{{\sqrt {7 - \sqrt 5 + \sqrt {30 - 6\sqrt 5 } } }} {4} \]

,

\[ \sin \left( { - 72^ \circ } \right) = - \frac{{\sqrt {10 + 2\sqrt 5 } }} {4} \]

[ИСН]

Хороший пример. Это называется "повезло", и объясняется в конечном счёте тем, что угол в $12^\circ$ строится циркулем и линейкой, а $10^\circ$ - нет.

[RIP]

Вы, видимо, не обратили внимание на слова "неприводимое кубическое уравнение". Это уравнение вида $f(x)=0$, где $f(x)$ - кубический многочлен с рациональными коэффициентами, не имеющий рациональных корней.

[ShMaxG]

Да, согласен, не обратил. Но это дело не спасает.

[RIP]

ShMaxG писал(а):

Но это дело не спасает.

В каком смысле? Ваш пример уже не годится, поскольку Ваш многочлен не с рациональными коэффициентами. Вообще, поле рациональных чисел я взял для простоты. Коэффициенты Вашего многочлена лежат в поле $\mathbb Q\left(\sqrt{10-2\sqrt5}\,\right)$ и в этом поле Ваш многочлен имеет корень.

[ShMaxG]

А, кажется я понял. Значит, если дано кубическое уравнение

\[ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \]

, у которого все коэффициенты рациональные, и если известно, что корни не являются рациональными, то написать число в виде выражения с конечным числом арифметических действий, возведения в рациональную степень положительных чисел не получится никак. Правильно?

[RIP]

ShMaxG писал(а):

Значит, если дано кубическое уравнение

\[ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \]

, у которого все коэффициенты рациональные, и если известно, что корни не являются рациональными, то написать число в виде выражения с конечным числом арифметических действий, возведения в рациональную степень положительных чисел не получится никак. Правильно?

Почти. Тут существенно, чтобы многочлен имел 3 вещественных корня. Правда, ещё надо потребовать, чтобы в нужное нам выражение входили только рациональные числа, т.е. числа вида $\pi$ не допускаются. Хотя может верно и при более слабых предположениях. Я не спец по теории алгебраических чисел и теории Галуа, поэтому не могу сказать наверняка.

[ShMaxG]

Спасибо огромное!

[AD]

ShMaxG писал(а):

Можно ли выразить число $\sin 10^ \circ $ в виде выражения с конечным числом арифметических действий и возведения в рациональную степень положительных чисел?

Че-то я не вполне понимаю условие. Почему выражение $\sin 10^ \circ=\sin 10^ \circ $не подходит? (здесь $\sin 10^ \circ$, стоящее справа - оно ведь само положительное число!).

[ShMaxG]

Хорошо, выразить в виде выражения с конечным числом арифметических действий и возведения в рациональную степень рациональных положительных чисел.

[Yakov]

Можно получить из выражения с использрванием чисел из $\mathbb{C}$.

$$ \sin \left( \frac{\pi}{10} \right) = -\frac{1-i \sqrt{3}}{2 2^{2/3} \sqrt[3]{-1+i \sqrt{3}}}-\frac{1}{4} \sqrt[3]{\frac{1}{2} \left(-1+i \sqrt{3}\right)} \left(1+i \sqrt{3}\right). $$

Циркулем и ленийкой можно строить лишь квадратичные иррациональности.

[Farest2]

На всякий случай -- табличка со значениями тригонометрических функций от Pi-rational углов, которые выражаются через квадратные корни (случаи попроще, конечно, т.е. 17-угольника там нет): http://arxiv.org/abs/math/0403510

[sergei1961]

Ответ следует из Теоремы Гаусса. Мы привыкли, что она о построении циркулем и линейкой правильного эн-угольника. Но это эквивалентно тому, что величины $\sin(\frac{2\pi}{n}), \cos(\frac{2\pi}{n})$ выражаются через конечное число радикалов. Гаусс нашёл все эн, когда это возможно. Случай $n=36$ к ним не относится. Вот и всё.
Кстати, можно так понимать его доказательство про 17-угольник, что кажется мне гораздо более эффектным, чем упоминания про геометрию и всякие там циркули: Гаусс просто вывел явные формулы через радикалы для $\sin(\frac{2\pi}{17}),\cos(\frac{2\pi}{17})$. Очень нравится мне такая чисто тригонометрическая формулировка.