2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 
Сообщение12.04.2008, 11:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3823
tolstopuz писал(а):
Неприводимое кубическое уравнение с тремя действительными корнями не решается в вещественных радикалах.

Это означает, что
ShMaxG писал(а):
написать число в виде выражения с конечным числом арифметических действий, возведения в рациональную степень положительных чисел

не получится.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.04.2008, 11:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2748
Физтех
Ну смотрите. Вот уравнение: \[
4t^3  - 3t + \sin 36^ \circ   = 0
\]
, где \[
\sin 36^ \circ   = \frac{{\sqrt {10 - 2\sqrt 5 } }}
{4}
\]

Оно имеет три корня: \[\sin 12^ \circ\], \[
\sin 48^ \circ  
\], \[
\sin \left( { - 72^ \circ  } \right)
\].
Они - действительные. Значит имеем неприводимый случай. Однако,
\[
\sin 12^ \circ   = \frac{{\sqrt {10 + 2\sqrt 5 }  - \sqrt {15}  + \sqrt 3 }}
{8}
\],
\[
\sin 48^ \circ   = \frac{{\sqrt {7 - \sqrt 5  + \sqrt {30 - 6\sqrt 5 } } }}
{4}
\], \[
\sin \left( { - 72^ \circ  } \right) =  - \frac{{\sqrt {10 + 2\sqrt 5 } }}
{4}
\]

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.04.2008, 11:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Хороший пример. Это называется "повезло", и объясняется в конечном счёте тем, что угол в $12^\circ$ строится циркулем и линейкой, а $10^\circ$ - нет.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.04.2008, 12:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3823
Вы, видимо, не обратили внимание на слова "неприводимое кубическое уравнение". Это уравнение вида $f(x)=0$, где $f(x)$ - кубический многочлен с рациональными коэффициентами, не имеющий рациональных корней.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.04.2008, 12:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2748
Физтех
Да, согласен, не обратил. Но это дело не спасает.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.04.2008, 13:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3823
ShMaxG писал(а):
Но это дело не спасает.

В каком смысле? Ваш пример уже не годится, поскольку Ваш многочлен не с рациональными коэффициентами. Вообще, поле рациональных чисел я взял для простоты. Коэффициенты Вашего многочлена лежат в поле $\mathbb Q\left(\sqrt{10-2\sqrt5}\,\right)$ и в этом поле Ваш многочлен имеет корень.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.04.2008, 14:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2748
Физтех
А, кажется я понял. Значит, если дано кубическое уравнение \[
ax^3  + bx^2  + cx + d = 0
\], у которого все коэффициенты рациональные, и если известно, что корни не являются рациональными, то написать число в виде выражения с конечным числом арифметических действий, возведения в рациональную степень положительных чисел не получится никак. Правильно?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.04.2008, 14:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3823
ShMaxG писал(а):
Значит, если дано кубическое уравнение \[
ax^3  + bx^2  + cx + d = 0
\], у которого все коэффициенты рациональные, и если известно, что корни не являются рациональными, то написать число в виде выражения с конечным числом арифметических действий, возведения в рациональную степень положительных чисел не получится никак. Правильно?

Почти. Тут существенно, чтобы многочлен имел 3 вещественных корня. Правда, ещё надо потребовать, чтобы в нужное нам выражение входили только рациональные числа, т.е. числа вида $\pi$ не допускаются. Хотя может верно и при более слабых предположениях. Я не спец по теории алгебраических чисел и теории Галуа, поэтому не могу сказать наверняка.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.04.2008, 19:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2748
Физтех
Спасибо огромное! :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.04.2008, 20:25 
Экс-модератор


17/06/06
5004
ShMaxG писал(а):
Можно ли выразить число $\sin 10^ \circ $ в виде выражения с конечным числом арифметических действий и возведения в рациональную степень положительных чисел?
Че-то я не вполне понимаю условие. Почему выражение $\sin 10^ \circ=\sin 10^ \circ $не подходит? (здесь $\sin 10^ \circ$, стоящее справа - оно ведь само положительное число!).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.04.2008, 21:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2748
Физтех
Хорошо, выразить в виде выражения с конечным числом арифметических действий и возведения в рациональную степень рациональных положительных чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выражение синуса 10 градусов (sin pi/18)
Сообщение22.02.2011, 13:14 


06/01/10
61
Можно получить из выражения с использрванием чисел из $\mathbb{C}$.


$$
\sin \left( \frac{\pi}{10} \right) =
-\frac{1-i \sqrt{3}}{2 2^{2/3} \sqrt[3]{-1+i
   \sqrt{3}}}-\frac{1}{4} \sqrt[3]{\frac{1}{2} \left(-1+i
   \sqrt{3}\right)} \left(1+i \sqrt{3}\right).
$$

Циркулем и ленийкой можно строить лишь квадратичные иррациональности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выражение синуса 10 градусов (sin pi/18)
Сообщение26.04.2011, 13:04 


26/04/11
90
На всякий случай -- табличка со значениями тригонометрических функций от Pi-rational углов, которые выражаются через квадратные корни (случаи попроще, конечно, т.е. 17-угольника там нет): http://arxiv.org/abs/math/0403510

 Профиль  
                  
 
 Re: Выражение синуса 10 градусов (sin pi/18)
Сообщение27.08.2011, 20:02 


25/08/11

1074
Ответ следует из Теоремы Гаусса. Мы привыкли, что она о построении циркулем и линейкой правильного эн-угольника. Но это эквивалентно тому, что величины $\sin(\frac{2\pi}{n}), \cos(\frac{2\pi}{n})$ выражаются через конечное число радикалов. Гаусс нашёл все эн, когда это возможно. Случай $n=36$ к ним не относится. Вот и всё.
Кстати, можно так понимать его доказательство про 17-угольник, что кажется мне гораздо более эффектным, чем упоминания про геометрию и всякие там циркули: Гаусс просто вывел явные формулы через радикалы для $\sin(\frac{2\pi}{17}),\cos(\frac{2\pi}{17})$. Очень нравится мне такая чисто тригонометрическая формулировка.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 29 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group