Ответ следует из Теоремы Гаусса. Мы привыкли, что она о построении циркулем и линейкой правильного эн-угольника. Но это эквивалентно тому, что величины

выражаются через конечное число радикалов. Гаусс нашёл все эн, когда это возможно. Случай

к ним не относится. Вот и всё.
Кстати, можно так понимать его доказательство про 17-угольник, что кажется мне гораздо более эффектным, чем упоминания про геометрию и всякие там циркули: Гаусс просто вывел явные формулы через радикалы для

. Очень нравится мне такая чисто тригонометрическая формулировка.