2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2
 
 
Сообщение12.04.2008, 11:06 
Аватара пользователя
tolstopuz писал(а):
Неприводимое кубическое уравнение с тремя действительными корнями не решается в вещественных радикалах.

Это означает, что
ShMaxG писал(а):
написать число в виде выражения с конечным числом арифметических действий, возведения в рациональную степень положительных чисел

не получится.

 
 
 
 
Сообщение12.04.2008, 11:33 
Аватара пользователя
Ну смотрите. Вот уравнение: \[
4t^3  - 3t + \sin 36^ \circ   = 0
\]
, где \[
\sin 36^ \circ   = \frac{{\sqrt {10 - 2\sqrt 5 } }}
{4}
\]

Оно имеет три корня: \[\sin 12^ \circ\], \[
\sin 48^ \circ  
\], \[
\sin \left( { - 72^ \circ  } \right)
\].
Они - действительные. Значит имеем неприводимый случай. Однако,
\[
\sin 12^ \circ   = \frac{{\sqrt {10 + 2\sqrt 5 }  - \sqrt {15}  + \sqrt 3 }}
{8}
\],
\[
\sin 48^ \circ   = \frac{{\sqrt {7 - \sqrt 5  + \sqrt {30 - 6\sqrt 5 } } }}
{4}
\], \[
\sin \left( { - 72^ \circ  } \right) =  - \frac{{\sqrt {10 + 2\sqrt 5 } }}
{4}
\]

 
 
 
 
Сообщение12.04.2008, 11:51 
Аватара пользователя
Хороший пример. Это называется "повезло", и объясняется в конечном счёте тем, что угол в $12^\circ$ строится циркулем и линейкой, а $10^\circ$ - нет.

 
 
 
 
Сообщение12.04.2008, 12:07 
Аватара пользователя
Вы, видимо, не обратили внимание на слова "неприводимое кубическое уравнение". Это уравнение вида $f(x)=0$, где $f(x)$ - кубический многочлен с рациональными коэффициентами, не имеющий рациональных корней.

 
 
 
 
Сообщение12.04.2008, 12:48 
Аватара пользователя
Да, согласен, не обратил. Но это дело не спасает.

 
 
 
 
Сообщение12.04.2008, 13:54 
Аватара пользователя
ShMaxG писал(а):
Но это дело не спасает.

В каком смысле? Ваш пример уже не годится, поскольку Ваш многочлен не с рациональными коэффициентами. Вообще, поле рациональных чисел я взял для простоты. Коэффициенты Вашего многочлена лежат в поле $\mathbb Q\left(\sqrt{10-2\sqrt5}\,\right)$ и в этом поле Ваш многочлен имеет корень.

 
 
 
 
Сообщение12.04.2008, 14:04 
Аватара пользователя
А, кажется я понял. Значит, если дано кубическое уравнение \[
ax^3  + bx^2  + cx + d = 0
\], у которого все коэффициенты рациональные, и если известно, что корни не являются рациональными, то написать число в виде выражения с конечным числом арифметических действий, возведения в рациональную степень положительных чисел не получится никак. Правильно?

 
 
 
 
Сообщение12.04.2008, 14:16 
Аватара пользователя
ShMaxG писал(а):
Значит, если дано кубическое уравнение \[
ax^3  + bx^2  + cx + d = 0
\], у которого все коэффициенты рациональные, и если известно, что корни не являются рациональными, то написать число в виде выражения с конечным числом арифметических действий, возведения в рациональную степень положительных чисел не получится никак. Правильно?

Почти. Тут существенно, чтобы многочлен имел 3 вещественных корня. Правда, ещё надо потребовать, чтобы в нужное нам выражение входили только рациональные числа, т.е. числа вида $\pi$ не допускаются. Хотя может верно и при более слабых предположениях. Я не спец по теории алгебраических чисел и теории Галуа, поэтому не могу сказать наверняка.

 
 
 
 
Сообщение12.04.2008, 19:05 
Аватара пользователя
Спасибо огромное! :)

 
 
 
 
Сообщение12.04.2008, 20:25 
ShMaxG писал(а):
Можно ли выразить число $\sin 10^ \circ $ в виде выражения с конечным числом арифметических действий и возведения в рациональную степень положительных чисел?
Че-то я не вполне понимаю условие. Почему выражение $\sin 10^ \circ=\sin 10^ \circ $не подходит? (здесь $\sin 10^ \circ$, стоящее справа - оно ведь само положительное число!).

 
 
 
 
Сообщение12.04.2008, 21:39 
Аватара пользователя
Хорошо, выразить в виде выражения с конечным числом арифметических действий и возведения в рациональную степень рациональных положительных чисел.

 
 
 
 Re: Выражение синуса 10 градусов (sin pi/18)
Сообщение22.02.2011, 13:14 
Можно получить из выражения с использрванием чисел из $\mathbb{C}$.


$$
\sin \left( \frac{\pi}{10} \right) =
-\frac{1-i \sqrt{3}}{2 2^{2/3} \sqrt[3]{-1+i
   \sqrt{3}}}-\frac{1}{4} \sqrt[3]{\frac{1}{2} \left(-1+i
   \sqrt{3}\right)} \left(1+i \sqrt{3}\right).
$$

Циркулем и ленийкой можно строить лишь квадратичные иррациональности.

 
 
 
 Re: Выражение синуса 10 градусов (sin pi/18)
Сообщение26.04.2011, 13:04 
На всякий случай -- табличка со значениями тригонометрических функций от Pi-rational углов, которые выражаются через квадратные корни (случаи попроще, конечно, т.е. 17-угольника там нет): http://arxiv.org/abs/math/0403510

 
 
 
 Re: Выражение синуса 10 градусов (sin pi/18)
Сообщение27.08.2011, 20:02 
Ответ следует из Теоремы Гаусса. Мы привыкли, что она о построении циркулем и линейкой правильного эн-угольника. Но это эквивалентно тому, что величины $\sin(\frac{2\pi}{n}), \cos(\frac{2\pi}{n})$ выражаются через конечное число радикалов. Гаусс нашёл все эн, когда это возможно. Случай $n=36$ к ним не относится. Вот и всё.
Кстати, можно так понимать его доказательство про 17-угольник, что кажется мне гораздо более эффектным, чем упоминания про геометрию и всякие там циркули: Гаусс просто вывел явные формулы через радикалы для $\sin(\frac{2\pi}{17}),\cos(\frac{2\pi}{17})$. Очень нравится мне такая чисто тригонометрическая формулировка.

 
 
 [ Сообщений: 29 ]  На страницу Пред.  1, 2


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group