Функции в моделях

[pink Elephant]

Пожалуйста, помогите разобраться с заданием на модели.
Записать формулу $\varphi$, такую что $\left\langle\mathbb{R},+,\cdot\right\rangle\models\varphi(x)$ тогда и только тогда, когда $x\geqslant\sqrt{2}$
Я не совсем понимаю что тут нужно сделать и что можно использовать.
У нас есть модель на действительных числах со сложением и умножением. На данный момент мысли такие $\varphi(x)=\forall x(x - \sqrt{2} \geqslant 0). Но я не понимаю как нам этот ноль задать вместе с корнем из двух и правильно ли я вообще задание понял, ведь у нас эквивалентность не задана в модели?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Кроме того, что Вы сами отметили, каждая формула должна начинаться на доллар, заканчиваться им и не содержать их в середине.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[gefest_md]

pink Elephant в сообщении #1126801 писал(а):

$\varphi(x)=\forall x(x - \sqrt{2} \geqslant 0)$

Почему квадратный корень входит в формулу? Нет же $\sqrt{\text{ }}$ в $\left\langle\mathbb{R},+,\cdot\right\rangle$. Мне кажется, из числа функциональных в неё должны входить только символы $+$ и $\cdot$

[pink Elephant]

gefest_md в сообщении #1126822 писал(а):

pink Elephant в сообщении #1126801 писал(а):

$\varphi(x)=\forall x(x - \sqrt{2} \geqslant 0)$

Почему квадратный корень входит в формулу? Нет же $\sqrt{\text{ }}$ в $\left\langle\mathbb{R},+,\cdot\right\rangle$. Мне кажется, из числа функциональных в неё должны входить только символы $+$ и $\cdot$

Ну $\sqrt{2}$ это же число? Хотя я сейчас подумал -- вроде в формулу вообще не могут входить какие-то числа, только иксы с игриками и подобное. Была идея с $\varphi(x) = x\cdot x\geqslant x + x$, но тогда сюда войдут все числа по модулю больше корня из двух и ноль.

[mihaild]

Уточните, что значит

pink Elephant в сообщении #1126801 писал(а):

у нас эквивалентность не задана в модели

По заданию - вам надо через $+, \cdot$, кванторы и логические связки записать формулу, в которой нет квантора по $x$ и есть кванторы по всем остальным входящим в нее переменным (т.е. $x$ входит свободно, остальные - связанно), которая истинна в точности на числах, $\geqslant\sqrt{2}$.
Попробуйте начать с выписывания аналогичной формулы, истинной только при $x = \sqrt{2}$, а также аналогичной формулы с двумя переменными $x$ и $y$, истинной при $x \geqslant y$.

edit: криво процитировал

[pink Elephant]

mihaild в сообщении #1126825 писал(а):

Уточните, что значит

pink Elephant в сообщении #1126801 писал(а):

у нас эквивалентность не задана в модели

По заданию - вам надо через $+, \cdot$, кванторы и логические связки записать формулу, в которой нет квантора по $x$ и есть кванторы по всем остальным входящим в нее переменным (т.е. $x$ входит свободно, остальные - связанно), которая истинна в точности на числах, $\geqslant\sqrt{2}$.
Попробуйте начать с выписывания аналогичной формулы, истинной только при $x = \sqrt{2}$, а также аналогичной формулы с двумя переменными $x$ и $y$, истинной при $x \geqslant y$.

edit: криво процитировал

Насчет первого -- насколько я помню, отношение эквивалентности должно быть прямо указано в модели, аналогчично вроде и с выделенными символами типа $0, 1$. Чтобы сравнивать должно быть что-то вроде $\left\langle\mathbb{R},+,\cdot,\geqslant\right\rangle$.
Второе -- я представляю как сделать для корня из двух, используя двойку и ноль как выделенные символы, но используя только кванторы и плюс с умножением не знаю. Могу только так $\varphi(x) = (x\cdot x\cdot x = x + x)$, но сюда и ноль входит. А со сравнением пока не представляю как реализовать. Получается надо будет в этом случае сравнение использовать, а его нам не дают. Или я неправильно понимаю понятие модели? Я лекции читал -- там именно так было, т. е. сравнение должно быть в скобках записано.
UPD Хотя действительные имеют линейный порядок сами по себе. Думаю, наверное $1$ и $0$ тоже можно использовать. Правда тогда формула будет $\varphi(x)=(x\geqslant y )$? Тогда с использованием $0$ и $1$ и $\geqslant$ формула для $x\geqslant\sqrt{2}$ будет $\varphi(x) = (x\cdot x\cdot x \geqslant x + x)\wedge(x \geqslant 1)$

[gefest_md]

pink Elephant в сообщении #1126827 писал(а):

сравнение должно быть в скобках записано

Не нужно. Как Вы запишете $x>y$ без сравнения на $\mathbb{N}$?

[mihaild]

pink Elephant в сообщении #1126827 писал(а):

отношение эквивалентности должно быть прямо указано в модели

В сигнатуре теории может быть специальный значок $=$, обозначающий равенство - тогда у теории могут быть нормальные модели, в которых предикатному символу $=$ сопоставлен предикат равенства элементов.
В данном случае, скорее всего, предполагается что равенство в сигнатуре есть (иначе у нас совсем нет предикатных символов, и мы не можем записать ни одну формулу).

Как, используя $+, \cdot$ и $=$, выразить утверждение $x = 0$? А $x > 0$?

[pink Elephant]

mihaild в сообщении #1126832 писал(а):

pink Elephant в сообщении #1126827 писал(а):

отношение эквивалентности должно быть прямо указано в модели

В сигнатуре теории может быть специальный значок $=$, обозначающий равенство - тогда у теории могут быть нормальные модели, в которых предикатному символу $=$ сопоставлен предикат равенства элементов.
В данном случае, скорее всего, предполагается что равенство в сигнатуре есть (иначе у нас совсем нет предикатных символов, и мы не можем записать ни одну формулу).

Как, используя $+, \cdot$ и $=$, выразить утверждение $x = 0$? А $x > 0$?

Так, ну $x = 0$ я могу) $\varphi(x)=(x+x=x)$. С $x > 0$ не знаю. Я не понимаю как можно получить в итоге знак неравенства, используя только иксы и знак равенства. Можно подсказку?

[Lia]

pink Elephant
Настоятельная просьба избегать избыточного цитирования. В случае, когда нет необходимости цитировать сообщение полностью, используйте кнопку "Вставка", предварительно выделив нужный фрагмент.

[pink Elephant]

gefest_md в сообщении #1126831 писал(а):

pink Elephant в сообщении #1126827 писал(а):

сравнение должно быть в скобках записано

Не нужно. Как Вы запишете $x>y$ без сравнения на $\mathbb{N}$?

То есть эквивалентность можно использовать даже если ее нет в модели, но само ядро(или как там основное множество называется? Просто6 утра, голова не варит) имеет порядок? Просто тогда задача слишком простой будет, я в такое не верю

[mihaild]

pink Elephant, например, как выразить утверждение "число - четное" в $\mathbb{N}$, используя только сложение и равенство? И, как предложил gefest_md, как через сложение и равенство выразить $>$?
(попробуйте использовать вспомогательные переменные - не забыв связать их нужным квантором)

pink Elephant в сообщении #1126837 писал(а):

ядро

Носитель модели.

[pink Elephant]

Четность довольно просто. $\varphi(x)=\exists t(x=t+t)$ Я тогда до утра подумаю на счет сравнения, а то в сон клонит уже.
UPD А нет, пока шел понял как с нулем делать. $\varphi(x)=\exists t(x=t\cdot t)\wedge\neg(x+x=x)$ C произвольным получается $\varphi(x)=\exists t(x+t\cdot t = y)$ Строгость можно обеспечить отрицанием равенства между $x$ и $y$.

[svv]

pink Elephant
Ну попросили же: не цитируйте зазря.