2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Функции в моделях
Сообщение28.05.2016, 23:14 


28/05/16
33
Пожалуйста, помогите разобраться с заданием на модели.
Записать формулу $\varphi$, такую что $\left\langle\mathbb{R},+,\cdot\right\rangle\models\varphi(x)$ тогда и только тогда, когда $x\geqslant\sqrt{2}$
Я не совсем понимаю что тут нужно сделать и что можно использовать.
У нас есть модель на действительных числах со сложением и умножением. На данный момент мысли такие $\varphi(x)=\forall x(x - \sqrt{2} \geqslant 0). Но я не понимаю как нам этот ноль задать вместе с корнем из двух и правильно ли я вообще задание понял, ведь у нас эквивалентность не задана в модели?

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение28.05.2016, 23:18 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Кроме того, что Вы сами отметили, каждая формула должна начинаться на доллар, заканчиваться им и не содержать их в середине.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение28.05.2016, 23:42 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции в моделях
Сообщение29.05.2016, 01:00 
Аватара пользователя


01/12/06
760
рм
pink Elephant в сообщении #1126801 писал(а):
$\varphi(x)=\forall x(x - \sqrt{2} \geqslant 0)$
Почему квадратный корень входит в формулу? Нет же $\sqrt{\text{ }}$ в $\left\langle\mathbb{R},+,\cdot\right\rangle$. Мне кажется, из числа функциональных в неё должны входить только символы $+$ и $\cdot$

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции в моделях
Сообщение29.05.2016, 01:06 


28/05/16
33
gefest_md в сообщении #1126822 писал(а):
pink Elephant в сообщении #1126801 писал(а):
$\varphi(x)=\forall x(x - \sqrt{2} \geqslant 0)$
Почему квадратный корень входит в формулу? Нет же $\sqrt{\text{ }}$ в $\left\langle\mathbb{R},+,\cdot\right\rangle$. Мне кажется, из числа функциональных в неё должны входить только символы $+$ и $\cdot$

Ну $\sqrt{2}$ это же число? Хотя я сейчас подумал -- вроде в формулу вообще не могут входить какие-то числа, только иксы с игриками и подобное. Была идея с $\varphi(x) = x\cdot x\geqslant x + x$, но тогда сюда войдут все числа по модулю больше корня из двух и ноль.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции в моделях
Сообщение29.05.2016, 01:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9114
Цюрих
Уточните, что значит
pink Elephant в сообщении #1126801 писал(а):
у нас эквивалентность не задана в модели

По заданию - вам надо через $+, \cdot$, кванторы и логические связки записать формулу, в которой нет квантора по $x$ и есть кванторы по всем остальным входящим в нее переменным (т.е. $x$ входит свободно, остальные - связанно), которая истинна в точности на числах, $\geqslant\sqrt{2}$.
Попробуйте начать с выписывания аналогичной формулы, истинной только при $x = \sqrt{2}$, а также аналогичной формулы с двумя переменными $x$ и $y$, истинной при $x \geqslant y$.

edit: криво процитировал

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции в моделях
Сообщение29.05.2016, 01:25 


28/05/16
33
mihaild в сообщении #1126825 писал(а):
Уточните, что значит
pink Elephant в сообщении #1126801 писал(а):
у нас эквивалентность не задана в модели

По заданию - вам надо через $+, \cdot$, кванторы и логические связки записать формулу, в которой нет квантора по $x$ и есть кванторы по всем остальным входящим в нее переменным (т.е. $x$ входит свободно, остальные - связанно), которая истинна в точности на числах, $\geqslant\sqrt{2}$.
Попробуйте начать с выписывания аналогичной формулы, истинной только при $x = \sqrt{2}$, а также аналогичной формулы с двумя переменными $x$ и $y$, истинной при $x \geqslant y$.

edit: криво процитировал

Насчет первого -- насколько я помню, отношение эквивалентности должно быть прямо указано в модели, аналогчично вроде и с выделенными символами типа $0, 1$. Чтобы сравнивать должно быть что-то вроде $\left\langle\mathbb{R},+,\cdot,\geqslant\right\rangle$.
Второе -- я представляю как сделать для корня из двух, используя двойку и ноль как выделенные символы, но используя только кванторы и плюс с умножением не знаю. Могу только так $\varphi(x) = (x\cdot x\cdot x = x + x)$, но сюда и ноль входит. А со сравнением пока не представляю как реализовать. Получается надо будет в этом случае сравнение использовать, а его нам не дают. Или я неправильно понимаю понятие модели? Я лекции читал -- там именно так было, т. е. сравнение должно быть в скобках записано.
UPD Хотя действительные имеют линейный порядок сами по себе. Думаю, наверное $1$ и $0$ тоже можно использовать. Правда тогда формула будет $\varphi(x)=(x\geqslant y )$? Тогда с использованием $0$ и $1$ и $\geqslant$ формула для $x\geqslant\sqrt{2}$ будет $\varphi(x) =  (x\cdot x\cdot x \geqslant x + x)\wedge(x \geqslant 1)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции в моделях
Сообщение29.05.2016, 01:51 
Аватара пользователя


01/12/06
760
рм
pink Elephant в сообщении #1126827 писал(а):
сравнение должно быть в скобках записано
Не нужно. Как Вы запишете $x>y$ без сравнения на $\mathbb{N}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции в моделях
Сообщение29.05.2016, 02:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9114
Цюрих
pink Elephant в сообщении #1126827 писал(а):
отношение эквивалентности должно быть прямо указано в модели

В сигнатуре теории может быть специальный значок $=$, обозначающий равенство - тогда у теории могут быть нормальные модели, в которых предикатному символу $=$ сопоставлен предикат равенства элементов.
В данном случае, скорее всего, предполагается что равенство в сигнатуре есть (иначе у нас совсем нет предикатных символов, и мы не можем записать ни одну формулу).

Как, используя $+, \cdot$ и $=$, выразить утверждение $x = 0$? А $x > 0$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции в моделях
Сообщение29.05.2016, 02:27 


28/05/16
33
mihaild в сообщении #1126832 писал(а):
pink Elephant в сообщении #1126827 писал(а):
отношение эквивалентности должно быть прямо указано в модели

В сигнатуре теории может быть специальный значок $=$, обозначающий равенство - тогда у теории могут быть нормальные модели, в которых предикатному символу $=$ сопоставлен предикат равенства элементов.
В данном случае, скорее всего, предполагается что равенство в сигнатуре есть (иначе у нас совсем нет предикатных символов, и мы не можем записать ни одну формулу).

Как, используя $+, \cdot$ и $=$, выразить утверждение $x = 0$? А $x > 0$?

Так, ну $x = 0$ я могу) $\varphi(x)=(x+x=x)$. С $x > 0$ не знаю. Я не понимаю как можно получить в итоге знак неравенства, используя только иксы и знак равенства. Можно подсказку?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции в моделях
Сообщение29.05.2016, 02:30 


20/03/14
12041
 i  pink Elephant
Настоятельная просьба избегать избыточного цитирования. В случае, когда нет необходимости цитировать сообщение полностью, используйте кнопку "Вставка", предварительно выделив нужный фрагмент.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции в моделях
Сообщение29.05.2016, 02:31 


28/05/16
33
gefest_md в сообщении #1126831 писал(а):
pink Elephant в сообщении #1126827 писал(а):
сравнение должно быть в скобках записано
Не нужно. Как Вы запишете $x>y$ без сравнения на $\mathbb{N}$?

То есть эквивалентность можно использовать даже если ее нет в модели, но само ядро(или как там основное множество называется? Просто6 утра, голова не варит) имеет порядок? Просто тогда задача слишком простой будет, я в такое не верю :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции в моделях
Сообщение29.05.2016, 02:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9114
Цюрих
pink Elephant, например, как выразить утверждение "число - четное" в $\mathbb{N}$, используя только сложение и равенство? И, как предложил gefest_md, как через сложение и равенство выразить $>$?
(попробуйте использовать вспомогательные переменные - не забыв связать их нужным квантором)

pink Elephant в сообщении #1126837 писал(а):
ядро

Носитель модели.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции в моделях
Сообщение29.05.2016, 02:46 


28/05/16
33
Четность довольно просто. $\varphi(x)=\exists t(x=t+t)$ Я тогда до утра подумаю на счет сравнения, а то в сон клонит уже.
UPD А нет, пока шел понял как с нулем делать. $\varphi(x)=\exists t(x=t\cdot t)\wedge\neg(x+x=x)$ C произвольным получается $\varphi(x)=\exists t(x+t\cdot t = y)$ Строгость можно обеспечить отрицанием равенства между $x$ и $y$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции в моделях
Сообщение29.05.2016, 02:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10894
Crna Gora
pink Elephant
Ну попросили же: не цитируйте зазря.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group