Равенство вторых смешанных производных

[svv]

$L(x, y)=\arctg\frac y x$
$\frac{\partial L}{\partial x}=-\frac {y}{x^2+y^2}$
$\frac{\partial L}{\partial y}=\,\;\;\frac {x}{x^2+y^2}$
$\frac{\partial^2 L}{\partial y\,\partial x}=\frac{\partial^2 L}{\partial x\,\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}$

-- Ср май 11, 2016 22:03:12 --

antonk в сообщении #1122653 писал(а):

ось $Y$ – касательная к параллели ( совпадает с направлением вектора $\overline{\operatorname{grad}L}$ )

Я согласен, что градиент $L$ касателен к параллели, но как Вы отсюда делаете вывод, что ось $Y$ касательна к параллели? Да ещё и в любой точке.

[DeBill]

Сначала - критика

antonk в сообщении #1122918 писал(а):

повторюсь, что $X,Y,Z$ и $x,y,z$ в исходном сообщении и ссылках на него надо понимать ка одно и то же ( абсолютно везде)

Да нет же: вы сами пишете, что

antonk в сообщении #1122918 писал(а):

Уравнения, связывающие сферические и прямоугольные координаты (в начале сообщения) я использую только для вычислений модулей градиентов.

- а здесь они - не те.

antonk в сообщении #1122918 писал(а):

думаю что можно решить мой вопрос, ограничившись теми понятиями, которыми я оперировал в исходном сообщении.

Можно, да. Однако, у этих понятий есть и названия. И названия эти - векторные поля.

antonk в сообщении #1122918 писал(а):

смешанные производные функций $B,L,R$ должны быть равны

Верно. Однако здесь речь о частных производных (по координатам).

antonk в сообщении #1122918 писал(а):

я векторные поля не вводил

Вводил-вводил: Ваши "локальные координаты" - это и есть поля, вдоль которых Вы дифференцируете.

Итого: все проблемы - из-за путаницы : частных производных, производной вдоль вектора (она равна скалярному произведению градиента на вектор) и производных по направлению (это - производная вдоль ЕДИНИЧНОГО вектора).
Судя по тексту,

antonk в сообщении #1122918 писал(а):

(производная по направлению равна проекции градиента на это направление )

Вы используете как раз дифференцирование по направлению. Для случая евклидовых координат (тех самых, в которых Вы считаете градиенты), диф-я вдоль единичных векторов, направленных вдоль осей, в точности совпадают с частными производными, и потому перестановочны. В случае произвольных координат, частные производные совпадают с производными вдоль ВЕКТОРОВ, направленных вдоль осей, и по модулю равных градиентам соответствующих координат (я в своем предыдущем посте предполагал, что так Вы и делаете. Но был не прав...). Такие производные тоже коммутируют (перестановочны), как это и положено частным производным. Однако производные вдоль НАПРАВЛЕНИЙ координатных осей вовсе не обязаны быть перестановочными - как Вы и показали. Так что - никакого парадокса нет....