Равенство вторых смешанных производных

[antonk]

В изложенных ниже заключениях я пришел к противоречию. Помогите пожалуйста найти ошибку в моих рассуждениях.
Рассмотрим функции сферических координат от прямоугольных:

$$B = \arctg{\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}}$$

$$L=\arctg{\frac{y}{x}}$$

$$ R = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$$

Эти функции имеют непрерывные вторые производные по прямоугольным координатам, следовательно, смешанные вторые производные должны быть равны между собой. Эти равенства смешанных производных должны соблюдаться в любой системе координат.
Рассмотрим систему координат в некоторой точке $A(B_0,L_0,R_0)$. Начало этой системы совпадает с точкой $A$, ось $X$ – касательная к меридиану ( совпадает с направлением вектора $\overline{\operatorname{grad}B}$ ) , ось $Y$ – касательная к параллели ( совпадает с направлением вектора $\overline{\operatorname{grad}L}$ ) , а ось $Z$ – лежит в радиальном направлении и направлена в сторону уменьшения радиуса ( противоположна направлению вектора $\overline{\operatorname{grad}R}$ ). Назовем (лишь в целях определенности при последующем изложении) эту систему локальной системой координат точки $A$.
В этой системе координат $\frac{dB}{dx} = |\overline{\operatorname{grad}B}| = \frac1R$. Все остальные первые производные по $x$ равны 0, т.к. $\frac{dB}{ds} = |\overline{\operatorname{grad}B}|\,\cos{(\overline{\operatorname{grad}B},s)}$, а $\cos{(\overline{\operatorname{grad}B},x)}=1$ , $\cos{(\overline{\operatorname{grad}B},y)}=0$ , $\cos{(\overline{\operatorname{grad}B},z)}=0$. Аналогично $\frac{dL}{dy} = |\overline{\operatorname{grad}L}| = \frac1{R\,\cos{B}}$ и $\frac{dR}{dz} = -|\overline{\operatorname{grad}R}| = -1$ , а все остальные производные по $y$ и $z$ равны 0. Поставим своей задачей найти вторые смешанные производные $\frac{dL}{dx\,dy}$ и $\frac{dL}{dy\,dx}$ :

$$\frac{dL}{dy\,dx} = \frac{d|\overline{\operatorname{grad}L}|}{dx}\,\cos{(\overline{\operatorname{grad}L},y)} + |\overline{\operatorname{grad}L}| \, \frac{d\cos{(\overline{\operatorname{grad}L},y)}}{dx} $$

$\cos{(\overline{\operatorname{grad}L},y)}=1$ Учитывая, что при движении по $X$ ( т.е из т. $A(B_0,L_0,R_0)$ в т. $B(B_0+dB,L_0,R_0)$ происходит поворот локальной системы координат на угол $dB$ вокруг оси $Y$ , $\cos{(\overline{\operatorname{grad}L},y)}$ при перемещении из т.$A$ в т.$B$ не изменится и $\frac{d\cos{(\overline{\operatorname{grad}L},y)}}{dx}=0$ Следовательно:

$$\frac{dL}{dy\,dx} = \frac{d|\overline{\operatorname{grad}L}|}{dx} = \frac{d(\frac{1}{R\,\cos{B}})}{dx} = \frac{d(\frac{1}{R\,\cos{B}})}{dB} \, \frac{dB}{dx} = \frac{1}{R^2}\,\frac{\sin{B}}{\cos^2B} $$

Теперь рассмотрим следующую производную

$$\frac{dL}{dx\,dy} = \frac{d|\overline{\operatorname{grad}L}|}{dy}\,\cos{(\overline{\operatorname{grad}L},x)} + |\overline{\operatorname{grad}L}| \, \frac{d\cos{(\overline{\operatorname{grad}L},x)}}{dy} $$

$\cos{(\overline{\operatorname{grad}L},x)}=0$. Теперь рассмотрим $\frac{d\cos{(\overline{\operatorname{grad}L},x)}}{dy} = \frac{d\cos{(\overline{\operatorname{grad}L},x)}}{dL}\,\frac{dL}{dy}$. При движении по $y$ ( т.е из т. $A(B_0,L_0,R_0)$ в т. $C(B_0,L_0+dL,R_0)$ происходит поворот локальной системы координат на угол $dL$, но данный поворот происходит не вокруг одной из осей, а в плоскости параллельной «экватору» (в плоскости $B=0$). Этот поворот можно представить в виде комбинации трех последовательных поворотов. Допустим угол $L$ растет по часовой стрелке, если смотреть из верхнего полюса $(B=90)$. Тогда локальная система координат в точке $A$ – правая и матрица перехода (поворота) из локальной системы координат т.$C$ в локальную систему координат т.$A$ будет произведением трех матриц поворота: поворота вокруг оси $Y$ на угол $-B$ ( широта точки $A$ ), поворота вокруг оси $Z$ на угол $+ dL$ и поворота вокруг оси $Y$ на угол $+B$. Результирующая матрица поворота будет иметь вид:

$$\left| \begin{array} {ccс} {\cos^2B\,\cos{dL} + \sin^2B} & { -\cos{B}\,\sin{dL}} & { -\cos{B}\,\sin{B} + \cos{B}\,\cos{dL}\,\sin{B}} \\ { \cos{B}\,\sin{dL}} & \cos{dL} & {\sin{B}\,\sin{dL}} \\ { -\cos{B}\,\sin{B} + \cos{B}\,\cos{dL}\,\sin{B} & {-\sin{B}\,\sin{dL}} & } {\cos^2B+ \cos{dL}\, \sin^2B} \end{array}\right| $$

Косинус угла между $\overline{\operatorname{grad}L}$ в т.$C$ и напралением оси $X$ в т.$A$ будет равен элементу этой матрицы , стоящему в первой строке и втором столбце : $-\cos{B}\,\sin{dL}$. Косинус угла между $\overline{\operatorname{grad}L}$ в т.$A$ и направлением оси $X$ в т.$A$ будет равен 0. Следовательно искомую производную косинуса можно вычислить следующим образом:

$$\frac{d\cos{(\overline{\operatorname{grad}L},x)}}{dL} = \lim\limits_{dL\to0} \frac{-\cos{B}\,\sin{dL} - 0}{dL} = -\cos{B}$$

Следовательно :

$$\frac{dL}{dx\,dy} = |\overline{\operatorname{grad}L}|\,\frac{d\cos{(\overline{\operatorname{grad}L},x)}}{dL}\,\frac{dL}{dy} = -\frac{1}{R^2\,\cos{B}} $$

Получается, что в локальной системе координат точки $A$ : $\frac{dL}{dx\,dy}\not=\frac{dL}{dy\,dx}$. А этого быть по идее не может. Я пришел к противоречию. Прошу Вас помочь мне разобраться.
Кстати , если идя этим путем, найти матрицу всех вторых производных функции L получим:

$$\left| \begin{array} {ccc} {\frac{dL}{dx\,dx}}&{\frac{dL}{dx\,dy}}&{\frac{dL}{dx\,dz}} \\ {\frac{dL}{dy\,dx}}&{\frac{dL}{dy\,dy}}&{\frac{dL}{dy\,dz}} \\ {\frac{dL}{dz\,dx}} &{\frac{dL}{dz\,dy}}&{\frac{dL}{dz\,dz}} \end{array}\right| = \left| \begin{array} {ccc} {0} & {-\frac{1}{R^2\,\cos{B}}} & {0} \\ {\frac{1}{R^2}\,\frac{\sin{B}}{\cos^2B}} & {0} & {\frac{1}{R^2\,\cos{B}}} \\ {0} & {-\frac{1}{R^2}\,\frac{\sin{B}}{\cos^2B}} & {0} \end{array}\right|$$

Получается , если эту матрицу «перевернуть» она станет «антисимметричной» ( диагонально противоположные элементы равны по модулю, но с противоположные по знаку ).
С матрицей производных функции B такого противоречия не возникает:

$$\left| \begin{array} {ccc} {\frac{dB}{dx\,dx}}&{\frac{dB}{dx\,dy}}&{\frac{dB}{dx\,dz}} \\ {\frac{dB}{dy\,dx}}&{\frac{dB}{dy\,dy}}&{\frac{dB}{dy\,dz}} \\ {\frac{dB}{dz\,dx}} &{\frac{dB}{dz\,dy}}&{\frac{dB}{dz\,dz}} \end{array}\right| = \left| \begin{array} {ccc} {0} & {0} & {\frac{1}{R^2}} \\ {0} & {\frac{1}{R^2}} & {0} \\ {\frac{1}{R^2}} & {0} & {0} \end{array}\right|$$

Помогите пожалуйcта разобраться в ситуации. Заранее спасибо!

[DeBill]

antonk

antonk в сообщении #1122653 писал(а):

плоскости параллельной «экватору» (в плоскости $B=0$).

В Вашей системе координат экватор имеет ур-е $B=90$
А северный полюс - $B=0 $

antonk в сообщении #1122653 писал(а):

Допустим угол $L$ растет по часовой стрелке, если смотреть из верхнего полюса $(B=90)$.

Ой! Как же по, когда - против...

[Munin]

antonk в сообщении #1122653 писал(а):

В этой системе координат $\frac{dB}{dx}$...

Простите, у вас там стоит $X$ большое или $x$ малое? В первом случае, это опечатка (и как тогда читать все ваши выкладки?), а во втором случае - это выражение имеет хоть какое-то отношение к "этой системе координат" $(X,Y,Z)$?

Кроме того, я ещё понимаю обозначение $\dfrac{\partial B}{\partial x}$, а вот с $\dfrac{dB}{dx}$ уже труднее.

[antonk]

"DeBill в сообщении #1122658" писал(а):
В Вашей системе координат экватор имеет ур-е $B=90$
А северный полюс - $B=0 $

Прошу прощения, здесь моя описка
В начале сообщения надо заменить уравнение $B = \arctg{\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}}$
на уравнение $B = \arctg{\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2}}}$ .
Однако при этой замене значение модуля градиента функции $B$ не изменится. $|\overline{\operatorname{grad}B}| = \frac1R$.
Поэтому все дальнейшие выкладки от этой замены не зависят.

Вы также писали, что L растет против часовой стрелки. Вы правы, это также моя описка.
Именно описка,потому что последующий вывод о том, что система координат правая
и знаки углов поворота я приводил исходя именно из того, что L растет против часовой стрелки.

Поэтому в силе остается тот же вопрос: почему у меня получилось $\frac{dL}{dx\,dy}\not=\frac{dL}{dy\,dx}$?
Помогите пожалуйста найти мою ошибку.

[Lia]

antonk
Используйте кнопку "Цитата" или кнопку "Вставка" для цитирования выделенного фрагмента текста.

[antonk]

Munin в сообщении #1122679 писал(а):

В этой системе координат $\frac{dB}{dx}$...
Простите, у вас там стоит $X$ большое или $x$ малое? В первом случае, это опечатка (и как тогда читать все ваши выкладки?), а во втором случае - это выражение имеет хоть какое-то отношение к "этой системе координат" $(X,Y,Z)$?

Кроме того, я ещё понимаю обозначение $\dfrac{\partial B}{\partial x}$, а вот с $\dfrac{dB}{dx}$ уже труднее.

Я бы отредактировал свое сообщение, чтобы сделать его более корректным, но почему-то исчезла кнопка "Править"
Поэтому объясню что имелось ввиду в новом сообщении:
1. $X$ и $x$ надо понимать как одно и то же. $X$ я использовал в названии координатной оси.
2. $\cos{(\overline{\operatorname{grad}B},x)}$ ( и все подобные выражения) надо понимать как $\cos{(\overline{\operatorname{grad}B},i)}$ , где $i$ - орт оси $x$

Прошу прощения за возможно неточные формулировки и обозначения.
Я не профессиональный математик.
Прошу Вас помочь найти ошибки в моих рассуждениях ( почему у меня получилось $\frac{dL}{dx\,dy}\not=\frac{dL}{dy\,dx}$ ?)

[svv]

Ответьте, пожалуйста, на вопрос, который задал Munin.
Начиная с некоторого места, все $x, y, z$ надо понимать как $X,Y,Z$?

antonk в сообщении #1122653 писал(а):

Рассмотрим систему координат в некоторой точке $A(B_0,L_0,R_0)$. Начало этой системы совпадает с точкой $A$, ось $X$ – касательная к меридиану ( совпадает с направлением вектора $\overline{\operatorname{grad}B}$ ) , ось $Y$ – касательная к параллели ( совпадает с направлением вектора $\overline{\operatorname{grad}L}$ ) , а ось $Z$ – лежит в радиальном направлении и направлена в сторону уменьшения радиуса ( противоположна направлению вектора $\overline{\operatorname{grad}R}$ ). Назовем (лишь в целях определенности при последующем изложении) эту систему локальной системой координат точки $A$.

На мой взгляд, Вы не задали систему координат. Лишь описали, как направлены касательные к координатным линиям в одной точке — в начале координат. Запишите, как связаны $X,Y,Z$ с декартовыми либо сферическими координатами.

[Munin]

antonk в сообщении #1122705 писал(а):

Поэтому объясню что имелось ввиду в новом сообщении:
1. $X$ и $x$ надо понимать как одно и то же. $X$ я использовал в названии координатной оси.

Тогда мы можем просто наплевать на всю геометрию, и считать производные чисто по формулам.

[svv]

Извините, не заметил ответа. Но тогда одно из трёх: или неверны формулы перехода от $B,L,R$ к $x,y,z$ в начале первого сообщения, или направление координатных линий $X, Y, Z$ в произвольно выбранной точке $A$ не такое, как описано, или $(x, y, z)$ и $(X, Y, Z)$ — разные системы координат.

[Munin]

+1.

[DeBill]

antonk в сообщении #1122705 писал(а):

$X$ и $x$ надо понимать как одно и то же.

Видимо, так, но не везде: в начале, видимо, это все таки не так.
Ну, дальше: вводятся ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ (вот их бы я и обозначил большими буквами), каждое из которых - градиент соответствующей сферической координаты (т.е., мы таки отождествляем вектора и ковектора - ну и ладненько, ибо есть у нас изначально евклидова структура ). От функции $L$ считаем смешанные производные (по нашим векторным полям).
Вопрос ТС: почему они не совпали?
А у меня - контрвопрос - а с фига ли они должны совпадать???? Ведь они (поля), небось, даже и не коммутируют....

[antonk]

svv в сообщении #1122794 писал(а):

Извините, не заметил ответа. Но тогда одно из трёх: или неверны формулы перехода от $B,L,R$ к $x,y,z$ в начале первого сообщения, или направление координатных линий $X, Y, Z$ в произвольно выбранной точке $A$ не такое, как описано, или $(x, y, z)$ и $(X, Y, Z)$ — разные системы координат.

1.формулы перехода от $B,L,R$ к $x,y,z$ хорошо известны, в них навряд ли может быть ошибка.
2.$(x, y, z)$ и $(X, Y, Z)$ — надо понимать как одно и тоже ( я бы поправил свое
исходное сообщение, чтобы избежать этих неточностей, но , к сожалению оно почему-то недоступно для внесения изменений)
3. направление координатных линий $x, y, z$ (в новых сообщениях буду использовать только строчные буквы для определенности) у меня выбраны следующим образом: ось $x$ касательная к "меридиану" и направлена "на север" ( совпадает с направлением вектора $\overline{\operatorname{grad}B}$ ) , ось $y$ – касательная к "параллели" и направлена "на восток" ( совпадает с направлением вектора $\overline{\operatorname{grad}L}$ ) , а ось $z$ – лежит в радиальном направлении и направлена в сторону уменьшения радиуса ( противоположна направлению вектора $\overline{\operatorname{grad}R}$ ). По сути, систему координат (направление осей) можно задать какую угодно, вопрос в том, как я в дальнейшем вычисляю производные $\frac{d\cos{(\overline{\operatorname{grad}L},y)}}{dx}$ и $\frac{d\cos{(\overline{\operatorname{grad}L},x)}}{dy}$ . Правильно ли я вычисляю для данной системы координат?
-При перемещении по $x$ у нас происходит поворот системы координат в плоскости "меридиана" вокруг оси $y$ на угол $+dB$ , следовательно $\cos{(\overline{\operatorname{grad}L},y)}$ не меняется и остается равным 1. Поэтому $\frac{d\cos{(\overline{\operatorname{grad}L},y)}}{dx}=0$.
- При перемещении по $y$ у нас происходит поворот системы координат в плоскости, параллельной "экватору". Если направление L растет "на восток" ( против часовой стрелки, если смотреть из "северного полюса") - то наша система координат $(x,y,z)$ - правая, и поворот системы координат в плоскости, параллельной "экватору" можно представить как последовательность трех поворотов : поворота вокруг оси $Y$ на угол $-B$, поворота вокруг оси $Z$ на угол $+ dL$ и поворота вокруг оси $Y$ на угол $+B$ . Далее (см. исходное сообщение ) находится матрица поворота и производная , как предел.
По п.3 - прошу Вас проверить логику моих умозаключений и , если логика верна, формулы я уже детально перепроверю сам.
(Кстати, даже если я ошибся в знаке какого-нибудь угла поворота - это ( как я думаю ) не изменит ситуацию, т.к. $\frac{dL}{dx\,dy}$ отличается от $\frac{dL}{dy\,dx}$ не только знаком. )

В заключении сообщения опишу цель, которую я преследую. Мне нужны формулы для вычисления вторых производных функций $B$ и $L$ по координатам $x,y,z$ для любой точки $A(B,L,R)$. Причем система координат ( названая в исходном сообщении локальной системой координат ) в каждой точке своя, а формула должна быть общей - это возможно, т.к. локальная система координат для любой точке $A$ зависит только от значения функций $B,L,R$ в этой точке $A$. Единственный способ решить эту задачу, который пришел мне в голову - описан в исходном сообщении. Может быть есть какой-нибудь другой алгоритм, а может быть - где-то можно взять уже готовы формулы для этих производных?

[svv]

Если у Вас $x, y, z$ — декартовы координаты, притом связанные со сферическими стандартными формулами преобразования, у Вас уже не может быть никакой свободы направить так или эдак оси декартовой системы по отношению к сферической. Направить их иначе возможно только за счёт изменения формул преобразования.

[Someone]

antonk в сообщении #1122653 писал(а):

смешанные производные $\frac{dL}{dx\,dy}$ и $\frac{dL}{dy\,dx}$

Человек, похоже, даже обозначений производных не знает. Об чём диспут-то?

[antonk]

DeBill в сообщении #1122835 писал(а):

antonk в сообщении #1122705 писал(а):

$X$ и $x$ надо понимать как одно и то же.

А у меня - контрвопрос - а с фига ли они должны совпадать???? Ведь они (поля), небось, даже и не коммутируют....

Я, к сожалению, (прошу отнестись к этому с пониманием ) не знаком с понятием "коммутирующие поля".
В курс высшей математики в институте этот радел не входил.
Тем не менее, думаю что можно решить мой вопрос, ограничившись теми понятиями, которыми я оперировал в исходном сообщении.
1. Любые смешанные производные функций $B,L,R$ должны быть равны между собой в точке $A$, если эти производные в этой точке непрерывны.
2. По сути, я векторные поля не вводил и не интересовался свойствами этих полей.
Я, конечно использовал градиент, но только для вычисления производных $\frac{dL}{dx\,dy}$ и $\frac{dL}{dy\,dx}$, и пользовался только одной известной формулой $\frac{dB}{ds} = |\overline{\operatorname{grad}B}|\,\cos{(\overline{\operatorname{grad}B},s)}$ (производная по направлению равна проекции градиента на это направление ).
Так вот, если эта формула верна в любой системе координат ( в том числе и в описанной в исходном сообщении локальной системе координат точки $A$) - то при помощи этой формулы ( продифференцировав ее ) можно корректно вычислить производные $\frac{dL}{dx\,dy}$ и $\frac{dL}{dy\,dx}$ , а согласно п.1 эти производные должны быть равны между собой. Разве не так?

В заключении повторюсь, что $X,Y,Z$ и $x,y,z$ в исходном сообщении и ссылках на него надо понимать ка одно и то же ( абсолютно везде)

-- Ср май 11, 2016 21:55:30 --

svv в сообщении #1122910 писал(а):

Если у Вас $x, y, z$ — декартовы координаты, притом связанные со сферическими стандартными формулами преобразования, у Вас уже не может быть никакой свободы направить так или эдак оси декартовой системы по отношению к сферической. Направить их иначе возможно только за счёт изменения формул преобразования.

Но ведь я при вычислении производных в локальной системе координат пользуюсь только градиентами ( и формул преобразования не использую).
Модули градиентов не зависят от системы координат, а направления градиентов и производные этих направлений я вычисляю именно для локальной системы координат точки $A$.

Уравнения, связывающие сферические и прямоугольные координаты (в начале сообщения) я использую только для вычислений модулей градиентов.
Что именно я делаю неправильно?