уравнение в целых числах

[NoSmoking!]

С чего можно начать решение следующей задачи:

Цитата:

Найдите все пары целых x и y, удовлетворяющие равенству
$ x^2 - xy + 2y^2 - 3y - 2x + 2 = 0 $

Подскажите, пожалуйста

[Бодигрим]

Это уравнение кривой второго порядка на плоскости. Согласны? Так что это то ли эллипс, то ли парабола, то ли гипербола. Стандартный подход аналитической геометри - это приведение к главным осям. Согласно нему вам надо переписать исходное уравнение в виде $(a_1x+b_1y+c_1)^2+(a_2x+b_2y+c_2)^2=d$.

Простите, ерунду написал - не заметил слово "целых".

[Echo-Off]

Очевидно, что $(2,\,2)$ - решение. Далее я бы применил метод секущей (т.е. сделал бы замену $y = t(x-2)+2$) и получил бы все рациональные решения, а затем вычленил бы из них только целые.

[NoSmoking!]

Echo-Off писал(а):

Очевидно, что $(2,\,2)$ - решение.

После подстановки - безусловно. А нет ли более тривиального и тупого подхода?

[Echo-Off]

NoSmoking! писал(а):

После подстановки - безусловно. А нет ли более тривиального и тупого подхода?

По-моему, без нахождения частного решения едва ли обойтись. А вообще почитайте это - там много чего написано про такие уравнения.

[Someone]

Можно привести к виду $(x-y)^2+(x-2)^2+3(y-1)^2=3$.

[NoSmoking!]

Someone писал(а):

Можно привести к виду $(x-y)^2+(x-2)^2+3(y-1)^2=3$.

Да, действительно, спасибо.

Echo-Off писал(а):

Далее я бы применил метод секущей (т.е. сделал бы замену $y = t(x-2)+2$)

А это вообще входит в школьную программу?..

[Бодигрим]

Цитата:

А это вообще входит в школьную программу?..

Не думаю. Хотя в продвинутую - м. б.

[Sergic Primazon]

NoSmoking! писал(а):

С чего можно начать решение следующей задачи:

Цитата:

Найдите все пары целых x и y, удовлетворяющие равенству
$ x^2 - xy + 2y^2 - 3y - 2x + 2 = 0 $

Подскажите, пожалуйста

Перепишем уравнение :
$ x^2 -(2+y) x +( 2y^2 - 3y + 2) = 0 $ - это квадратное относительно Х уравнение с дискриминантом : $ D = -7y^2 +16y-4 $;
$D\ge\ 0 $ при y = 1 или y = 2 $
поэтому единственное решение : $ x = 2 , y = 2 $ ;

[Echo-Off]

NoSmoking! писал(а):

А это вообще входит в школьную программу?..

Едва ли - я об этом узнал уже в универе, хоть и на первом курсе. Однако же нигде не написано "решить школьными методами"

[NoSmoking!]

Цитата:

Перепишем уравнение :
$ x^2 -(2+y) x +( 2y^2 - 3y + 2) = 0 $ - это квадратное относительно Х уравнение с дискриминантом : $ D = -7y^2 +16y-4 $;
$D\ge\ 0 $ при y = 1 или y = 2 $
поэтому единственное решение : $ x = 2 , y = 2 $ ;

Да, так, по-моему, лучше всего

Цитата:

Однако же нигде не написано "решить школьными методами"

Ну да, не написал. Задача была на вступительных (для платников) на ВМиК. Понятное дело, что там не примут решение с использованием материала выходящего за рамки школьной программы...