2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 уравнение в целых числах
Сообщение09.04.2008, 22:36 
С чего можно начать решение следующей задачи:

Цитата:
Найдите все пары целых x и y, удовлетворяющие равенству
$ x^2 - xy + 2y^2 - 3y - 2x + 2 = 0 $


Подскажите, пожалуйста

 
 
 
 
Сообщение09.04.2008, 23:19 
Аватара пользователя
Это уравнение кривой второго порядка на плоскости. Согласны? Так что это то ли эллипс, то ли парабола, то ли гипербола. Стандартный подход аналитической геометри - это приведение к главным осям. Согласно нему вам надо переписать исходное уравнение в виде $(a_1x+b_1y+c_1)^2+(a_2x+b_2y+c_2)^2=d$.

Простите, ерунду написал - не заметил слово "целых".

 
 
 
 
Сообщение09.04.2008, 23:35 
Аватара пользователя
Очевидно, что $(2,\,2)$ - решение. Далее я бы применил метод секущей (т.е. сделал бы замену $y = t(x-2)+2$) и получил бы все рациональные решения, а затем вычленил бы из них только целые.

 
 
 
 
Сообщение10.04.2008, 00:12 
Echo-Off писал(а):
Очевидно, что $(2,\,2)$ - решение.

После подстановки - безусловно. А нет ли более тривиального и тупого подхода?

 
 
 
 
Сообщение10.04.2008, 00:33 
Аватара пользователя
NoSmoking! писал(а):
После подстановки - безусловно. А нет ли более тривиального и тупого подхода?

По-моему, без нахождения частного решения едва ли обойтись. А вообще почитайте это - там много чего написано про такие уравнения.

 
 
 
 
Сообщение10.04.2008, 00:38 
Аватара пользователя
Можно привести к виду $(x-y)^2+(x-2)^2+3(y-1)^2=3$.

 
 
 
 
Сообщение10.04.2008, 14:11 
Someone писал(а):
Можно привести к виду $(x-y)^2+(x-2)^2+3(y-1)^2=3$.

Да, действительно, спасибо.

Echo-Off писал(а):
Далее я бы применил метод секущей (т.е. сделал бы замену $y = t(x-2)+2$)

А это вообще входит в школьную программу?..

 
 
 
 
Сообщение10.04.2008, 16:01 
Аватара пользователя
Цитата:
А это вообще входит в школьную программу?..

Не думаю. Хотя в продвинутую - м. б.

 
 
 
 Re: Найти пары x и y
Сообщение10.04.2008, 16:41 
NoSmoking! писал(а):
С чего можно начать решение следующей задачи:

Цитата:
Найдите все пары целых x и y, удовлетворяющие равенству
$ x^2 - xy + 2y^2 - 3y - 2x + 2 = 0 $


Подскажите, пожалуйста

Перепишем уравнение :
$ x^2 -(2+y) x +( 2y^2 - 3y  + 2) = 0 $ - это квадратное относительно Х уравнение с дискриминантом : $ D = -7y^2 +16y-4 $;
$D\ge\ 0 $ при y = 1 или y = 2 $
поэтому единственное решение : $ x = 2  , y = 2 $ ;

 
 
 
 
Сообщение10.04.2008, 21:36 
Аватара пользователя
NoSmoking! писал(а):
А это вообще входит в школьную программу?..

Едва ли - я об этом узнал уже в универе, хоть и на первом курсе. Однако же нигде не написано "решить школьными методами" :)

 
 
 
 Re: Найти пары x и y
Сообщение10.04.2008, 22:05 
Цитата:
Перепишем уравнение :
$ x^2 -(2+y) x +( 2y^2 - 3y  + 2) = 0 $ - это квадратное относительно Х уравнение с дискриминантом : $ D = -7y^2 +16y-4 $;
$D\ge\ 0 $ при y = 1 или y = 2 $
поэтому единственное решение : $ x = 2  , y = 2 $ ;


Да, так, по-моему, лучше всего :)

Цитата:
Однако же нигде не написано "решить школьными методами"

Ну да, не написал. Задача была на вступительных (для платников) на ВМиК. Понятное дело, что там не примут решение с использованием материала выходящего за рамки школьной программы...

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group