2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение11.05.2016, 12:36 


11/05/16
20
Есть нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка(Если совсем точно, то уравнение Хопфа).
$$\frac{du}{dt}+u\frac{du}{dx} =-u^3, u\Bigr|_{t=0}=f(x)$$
Нужно его решить и подобрать начальное условие такое, что бы оно решалось(типа $u\Bigr|_{t=0}=x$ и решать его при таком условии)
Используем метод характеристик
$$dt=\frac{dx}{u}=-\frac{du}{u^3}$$
Получаем систему(1)
$$
\begin{cases}
C_1=x-\frac{1}{u}\\
C_2=t-\frac{1}{2u^2}\\
u\Bigr|_{t=0}=f(x)
\end{cases}
$$
Для примера

$$
\begin{cases}
u\Bigr|_{t=0}=x\\
 C_1=\frac{x^2-1}{x}\\
C_2=-\frac{1}{2x^2}
\end{cases}
$$
И тогда
$$
\begin{cases}
x= \sqrt \frac{-1}{2C_2}\\
C_1= \frac{\frac{-1}{2C_2} -1}{\sqrt \frac{-1}{2C_2}} 
\end{cases}
$$
Подставляем вместо $C_1$ и $C_2$ оригинальные $C_1$ и $C_2$, которые получились в характеристической системе(1).
$$x-\frac{1}{u}=\frac{\frac{-1}{2(t-\frac{1}{2u^2})} -1}{\sqrt \frac{-1}{2(t-\frac{1}{2u^2})}}$$
Выразить u от туда вообще нереально(вольфрам тоже не справляется), поэтому нужно найти другую $f(x)$ и в этом и есть основная проблема($u=\frac{1}{x}$ нельзя использовать, слишком просто).
Попытка выражать u в системе без подстановки начальных условий(Не знаю как написать, просто выражаем в системе(1) $u$ и в $C_1$ и в $C_2$ складываем и вроде как после некоторых преобразований получаем ответ, но он неверен, слишком долго расписывать все преобразования тут)

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение11.05.2016, 13:49 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Большая просьба оформить все формулы, нижний индекс писать как нижний индекс: C_1, и не использовать звездочку вместо символа умножения. Символ умножения вообще необязателен.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение11.05.2016, 16:57 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение11.05.2016, 17:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11305
Hogtown
1) Пожалуйста, пишите частные производные используя символ $\partial $, а не $d$

2) Поищите кусочно-постоянную $f(x)=\left\{\begin{aligned} &u_1&&x<0,\\&u_2 &&x>0\end{aligned}\right. $, рассомтрите случаи $u_1 < u_2$ и $u_1 > u_2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение11.05.2016, 18:48 


11/05/16
20
Извините, я просто не нашёл эту букву(а на латекс помощник просто внимание не обратил)
Red_Herring в сообщении #1122844 писал(а):
2) Поищите кусочно-постоянную

Не совсем вас понял. Мне бы хоть какую-то функцию найти, которая при решении давала приемлемый $u$.
Может есть какие-то способы нахождения начальных условий без перебора всех подряд функций.
Я вот пробовал выражать $u$ из системы(1) получив что-то примерно такое.
$$ 
\begin{cases}
u^2 = \frac{1}{2(t-C_2)}\\
u^2 = \frac{1}{(x-C_1)^2}
\end{cases}
$$
При их сложении и выборе нужных мне констант $C_1$ и $C_2$
получил вот такое $u$
$$
u = \sqrt{\frac{1}{4t+1}+\frac{1}{2x^2}}
$$
Но несмотря на логичность действий оно при подстановке в уравнение даёт неверный ответ.
Может я где-то ошибся при нахождении общего решения, потому что вольфрам даёт немного другое $C_2$ .

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение11.05.2016, 20:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11305
Hogtown
MarshalBanana в сообщении #1122864 писал(а):
Я вот пробовал выражать... из системы(1) получив что-то примерно такое.

Нет у Вас системы (1)

MarshalBanana в сообщении #1122864 писал(а):
Мне бы хоть какую-то функцию найти, которая при решении давала приемлемый $u$.

К примеру $f=0$. Или любая другая константа. Но это малоинтересно. А вот кусочно-постоянная это стандартный toy-model. В зависимости от соотношения значений справа и слева получается либо задача об ударной волне, либо о распаде разрыва

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение11.05.2016, 21:28 


11/05/16
20
Red_Herring в сообщении #1122889 писал(а):
Нет у Вас системы (1)

Вот она.
MarshalBanana в сообщении #1122776 писал(а):
Получаем систему(1)
$$
\begin{cases}
C_1=x-\frac{1}{u}\\
C_2=t-\frac{1}{2u^2}\\
u\Bigr|_{t=0}=f(x)
\end{cases}
$$


Red_Herring в сообщении #1122889 писал(а):
А вот кусочно-постоянная это стандартный toy-model. В зависимости от соотношения значений справа и слева получается либо задача об ударной волне, либо о распаде разрыва

Извините, если честно, я не могу представить/понять как мне поступить тогда с кусочной-заданной функцией.
Можете объяснить чуть-чуть подробнее, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение11.05.2016, 22:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11305
Hogtown
С кусочно-постоянными я не прав(привык к правой части 0). Поищем автомодельное решение. Вопрос: допустим $u(x,t)$ удовлетворяет уравнению.

Шаг 1. При каких значениях показателей $\beta, \gamma$ $u_{\lambda}(x,t)=\lambda^\gamma u(\lambda x,\lambda^\beta t)$ также удовлетворяет уравнению при любых $\lambda >0$ ?

Шаг 2. После того как нашли $\beta, \gamma$ напишите условие автомодельности
$u(x,t)= u_{\lambda}(x,t) $ для всех $\lambda >0$ и исключите $\lambda$, получив $u(x,t)= t^\sigma uv (x t^{-\nu} ) $. Какие будут показатели $\sigma,\nu$ ?

Шаг 3. Подставьте результат шага 2 в уравнение, получите ОДУ для $v$ и решите его

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение11.05.2016, 22:55 


11/05/16
20
Red_Herring в сообщении #1122929 писал(а):
Поищем автомодельное решение.

Я вот нашел пример и честно пытался по шагам всё сделать, но что-то для меня сложновато.
делаю замену
$u'(x,t)=vu(x,t)$,
$x'=\lambda x$
$t'=\mu t$
Просто подставляем и получаем
$$
\frac{v \partial u(x,t)}{ \mu \partial (t)} + \frac{v^2u(x,t)}{\lambda } \frac{\partial u(x,t)}{ \partial (x)} = -v^3(u(x,t))^3
$$
Если именно так и надо было делать, то что дальше как отсюда условия для устойчивости масштабирования выразить, дифур этот решать? Я просто первый раз фразу 'автомодельное решение' слышу .
Если нет, то я и не знаю :(

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение11.05.2016, 23:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11305
Hogtown
Т.е. что мы имеем если сократим на $\nu/\mu$? $\nu\mu/\lambda =1$ и $\nu^3\mu =1$. Выразите $\mu,\nu$ как степени $\lambda$. И не шастайте по сайтам кулинарных техникумов (есть же в конце концов русская википедия)!

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение11.05.2016, 23:36 


11/05/16
20
Red_Herring в сообщении #1122948 писал(а):
$\nu\mu/\lambda =1$ и $\nu^3\mu =1$. Выразите $\mu,\nu$ как степени $\lambda$

Просто решаем дифур получается?
Тогда не совсем понял, а куда девается $u(x,t)$ , и наверно не $\nu^3\mu =1$$\nu^2\mu =1$
p.s Русская википедия немножко бесполезна в этом плане, как и английская в принципе.
А всё, разобрался откуда единицы берутся.Не надо дифур решать.
Получилось $ \lambda = \frac{1}{v} $

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение11.05.2016, 23:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11305
Hogtown
Ну так что получилось?
MarshalBanana в сообщении #1122957 писал(а):
Не надо дифур решать.
ОДУ решать будем после, Вы пока и первого шага не доделали

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение12.05.2016, 00:12 


11/05/16
20
Red_Herring в сообщении #1122963 писал(а):
Ну так что получилось?

Я что-то совсем ничего не понимаю
Вот получил $ \lambda = \frac{1}{v} $ . Подставляю в шаг 1: $ u(x,t)= ( \frac{1}{v})^\gamma u(\frac{x}{v},(\frac{1}{v}) ^\beta t $)
Я даже не уверен что правильно нашел $\lambda $ .

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение12.05.2016, 00:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11305
Hogtown
У Вас каша в голове.
$$
\frac{ \partial u(x,t)}{  \partial (t)} + \frac{\nu\mu u(x,t)}{\lambda } \frac{\partial u(x,t)}{ \partial (x)} = -\vu^2\mu(u(x,t))^3;
$$
$\nu\mu=\lambda , \nu^2\mu =1\implies \mu =\nu^{-2}, \lambda=\nu^{-1} $,
найдите все показатели, получим $\nu u(\nu^{-1}x,\nu^{-2}t)$ удовлетворяет тому же уравнению что и $u(x,t)$.

Поэтому автомодельное решение это такое что $\nu u(\nu^{-1}x,\nu^{-2}t)=u(x,t)$ для любых $\nu>0$. Берем $\nu=t^{1/2}$ и получаем

\begin{equation}u(x,t)=t^{-1/2} v (x t^{-1/2})\tag{*}\end{equation}

где $v(y)= u(y,1)$. Теперь (*) подставляем в исходное уравнение и получаем ОДУ для $v$.

Дальше сами

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение12.05.2016, 20:17 


11/05/16
20
Red_Herring в сообщении #1122972 писал(а):
Дальше сами

Я так понимаю вот это результат, мы зануляем производные, получаем это и выражаем от туда $v$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 52 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: eugensk


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group